Objem a povrch
Objem a povrch
Objem telesa vyjadruje, koľko miesta v priestore teleso zaberá. Môžeme si ho predstaviť ako množstvo vody, ktoré by sme potrebovali, keby sme chceli teleso „napustiť“. Na vyjadrenie objemu využívame jednotky objemu.
Povrch telesa je súčet obsahov všetkých plôch, ktoré teleso ohraničujú. Môžeme si ho predstaviť ako veľkosť farebného papiera, ktorý potrebujeme na „polepenie“ telesa. Na vyjadrenie povrchu využívame jednotky obsahu.
Značenie vo vzorcoch
V | objem |
S | povrch |
S_p | obsah podstavy |
S_{pl} | obsah plášťa |
a, b, c | dĺžky strán |
r | polomer |
v | výška |
s | strana kužeľa |
Vzorce
Útvar | Objem | Povrch | |
---|---|---|---|
kocka | V = a^3 | S=6a^2 | |
kváder | V = abc | S = 2(ab+ac+bc) | |
guľa | V=\frac43\pi r^3 | S=4\pi r^2 | |
valec | V=S_p\cdot v =\pi r^2 v | S=2S_p+S_{pl} =2\pi r(r+v) | |
kužeľ | V=\frac{1}{3}S_p\cdot v =\frac13 \pi r^2 v | S =S_p+S_{pl} =\pi r(r+\sqrt{r^2+v^2})=\pi r^2 +\pi rs | |
ihlan | V=\frac{1}{3}S_p\cdot v | S=S_p+S_{pl} | |
pravidelný štvorboký ihlan | V=\frac{1}{3}S_p\cdot v=\frac{1}{3} a^2v | ||
hranoľ | V= S_p\cdot v | S=2\cdot S_p+S_{pl} |
Povrch hranatých telies
Povrch „hranatých“ telies je jednoducho súčet obsahov jednotlivých strán.
Hranol má dve rovnaké podstavy a plášť, povrch je teda S=2\cdot S_p+S_{pl}. Ihlan má jednu podstavu a plášť, povrch je teda S=S_p+S_{pl}.
Steny kvádra sú obdĺžniky, pričom sú vždy dve rovnako veľké. Povrch teda vypočítame ako S = 2(ab+ac+bc).
Kocka má šesť stien a všetky sú tvorené rovnakým štvorcom. Povrch je S=6a^2.
Povrch okrúhlych telies
Povrch „guľatých“ telies vypočítame s využitím konštanty \pi \approx 3{,}14159265. Vo vzorcoch označuje r polomer (gule či podstavy), v výšku valca, s stranu kužeľa.
- Povrch gule je S = 4\pi r^2.
- Povrch valca sa skladá z podstavy (dvakrát) a plášťa: S = 2\cdot \pi r^2 + 2\pi r v = 2\pi r (r+v).
- Povrch kužeľa sa skládá z podstavy a plášťa: S = \pi r^2 + \pi rs= \pi r(r+s).
Objem hranatých telies
Vzorce pre objem „hranatých“ telies vychádzajú z obsahu podstavy a výšky telesa.
Objem ľubovoľného hranola je súčin obsahu podstavy a výšky: V=S_p\cdot v.
Kváder a kocka sú špeciálne prípady hranola, ktorých podstava je obdĺžnik (štvorec) a výška je zvyšná hrana. Objem kvádra je teda súčin dĺžok jeho hrán: V = abc. Objem kocky vypočítame rovnakým spôsobom. Keďže sú v kocke všetky hrany rovnako dlhé, výraz sa zjednoduší na V = a^3.
Objem ihlanu je jedna tretina súčinu obsahu podstavy a výšky, teda V=\frac{1}{3}S_p\cdot v. Pre pravideľný štvorboký ihlan potom teda V=\frac{1}{3} a^2v.
Príklady:
- Kocka s hranou 4 m má objem V = 4^3 = 64 m³.
- Kváder s hranami 3, 6 a 10 cm má objem V = 3\cdot 6 \cdot 10 = 180 cm³.
- Pravidelný štvorboký ihlan s podstavou s hranou 6 cm a výškou 4 cm má objem V=\frac{1}{3} 6^2 \cdot 4 = 48 cm³.
Objem okrúhlych telies
Objem „guľatých“ telies vypočítame s využitím konštanty \pi \approx 3{,}14159265. Vo vzorcoch označuje r polomer (gule či podstavy) a v výšku valca.
- Objem gule je V = \frac43 \pi r^3.
- Objem valca je obsah (kruhovej) podstavy vynásobený výškou, teda V = S_p \cdot v = \pi r^2 v.
- Objem kužeľa je jedna tretina obsahu podstavy vynásobeného výškou, teda V = \frac13 S_p \cdot v = \frac13 \pi r^2 v.