Priama a nepriama úmernosť

Prejsť k cvičeniam s touto témou »

Priama úmernosť

Priama úmernosť je závislosť veličiny y od druhej veličiny x, kedy sa pri zvýšení veličiny x zvýši pomerne aj hodnota veličiny y. Priamu úmernosť teda môžeme popísať vzťahom y=k\cdot x, kde k je konštanta úmernosti. Grafom priamej úmernosti je priamka, ktorá prechádza počiatkom súradnic (bodom [0, 0]). Príklady priamej úmernosti:

  • Nákup: Čím viac rožkov kúpim, tým viac zaplatím (konštanta úmernosti je cena rožka).
  • Vzdialenosť: Čím dlhšie sa pohybujem, tým väčšiu vzdialenosť prekonám (konštanta úmernosti je rýchlosť, o priamu úmernosť ide len v prípade pohybu konštantnou rýchlosťou).
  • Obvod: Čím dlhšia strana štvorca, tým dlhší obvod štvorca (konštanta úmernosti je 4).

Príklad výpočtu:

  • Osem dračích vajec stojí 40 zlatých. Koľko stojí dvadsať dračích vajec?
  • Vypočítame cenu za jedno vajce (konštanta úmernosti k): 40:8 = 5 zlatých.
  • Celkovú cenu vypočítame jednoduchým násobením (k\cdot x): 5\cdot 20 = 100 zlatých.

Nepriama úmernosť

Nepriama úmernosť je závislosť veličiny y od druhej veličiny x, kedy sa pri zvýšení veličiny x zníži pomerne hodnota veličiny y. Nepriamu úmernosť teda môžeme popísať vzťahom y=\frac{k}{x}. Grafom nepriamej úmernosti je hyperbola. Príklady nepriamej úmernosti:

  • Doba práce a počet ľudí: Čím viac ľudí pracuje na natieraní plota, tým rýchlejšie je plot natretý.
  • Torta a deti: Čím viac detí je na oslave, tým menší kus torty každé z nich dostane.
  • Obdĺžnik: Ak berieme do úvahy obdĺžniky s rovnakým obsahom, potom platí medzi šírkou a výškou obdĺžnika nepriama úmernosť.

Príklad výpočtu:

  • Päťhlavý drak zje všetky zásoby na hrade za 12 dní. Za koľko dní zje tieto zásoby šesťhlavý drak?
  • Najskôr určíme, ako dlho by zásoby jedla jedna hlava: 5\cdot 12=60 dní.
  • Tento počet vydelíme počtom hláv v otázke: 60:6 = 10 dní.

Trojčlenka je grafický zápis výpočtu neznámého člena priamej alebo nepriamej úmernosti. Tri známe hodnoty a jednu neznámu napíšeme na dva riadky a doplníme šípky smerom od menších hodnôt k väčším hodnotám.

Trojčlenka pre priamu úmernosť

Príklad: 10\,000 lumíkov má spolu rovnakú hmotnosť ako dva medvede, koľko medveďov má spolu rovnakú hmotnosť ako 40\,000 lumíkov?

Šípky na obrázku idú smerom od menších hodnôt k väčším. Zapíšeme rovnice podľa smeru šípok a vypočítame x.

Prvá šípka vedie od 10\,000 k 40\,000, druhá šípka vedie od 2 k x. Rovnica je teda \frac{10\,000}{40\,000}=\frac{2}{x}.

Zlomok na ľavej strane je možné skrátiť \frac{10\,000}{40\,000}=\frac{1}{4}. Vynásobíme obe strany 4x (a predpokládame, že x\neq 0). Máme x=8. Výsledok je: 8 medveďov má spolu rovnakú hmotnosť ako 40\,000 lumíkov.

Trojčlenka pre nepriamu úmernosť

Príklad: 100 mravcov zje cukrík za tri dni. Ako dlho by ten istý cukrík jedlo 500 mravcov?

Šípky na obrázku idú smerom od menších hodnôt k väčším. Zapíšeme rovnice podľa smeru šípok a vypočítame x.

Prvá šípka vedie od 100 k 500, druhá od x k 3. Rovnica je \frac{100}{500}=\frac{x}{3}.

Vynásobíme obe strany 3\cdot 500. Dostaneme 300=500x, teda x=0{,}6. Výsledok je: 500 mravcov bude jesť cukrík 0{,}6 dní.

Pomer dvoch alebo viacerých kladných čísel je vzťah ich veľkostí.

V úvodnom precvičovaní sa stretneme s pojmami ako pomer v základnom tvare, postupný pomer, prevrátený pomer a zistíme, aký je rozdiel medzi pomerom a zlomkom.

Najjednoduchšie použitie pomeru je rozdelenie čísla na časti a zmena (zmenšenie alebo zväčšenie) čísla v zadanom pomere. Nasledujú pokročilejšie výpočty s pomermi, ktoré zahŕňajú aj slovné úlohy vedúce na riešenie rovníc.

Mierka mapy je špeciálny prípad pomeru. S pomermi ďalej súvisí téma podobnosť v geometrii.

Pomer dvoch kladných hodnôt, napr. 2:4, vyjadruje vzťah ich veľkostí.

  • Dedko našiel 10 dubákov a 1 bedľu. Pomer počtu dubákov k počtu bedieľ v dedkovom košíku je 10:1.

Podobne ako v prípade zlomkov môžeme pomery krátiť a rozširovať kladnými číslami.

  • Pomer počtu dubákov k počtu bedieľ 10:1 môže byť úplne rovnako vyjadrený ako 20:2 nebo 1:0{,}1.

Pomer, ktorý je vyjadrený dvomi celými číslami a nejde už viac skrátiť, je v základnom tvare.

  • Základný tvar pomeru 2:4 je 1:2.

Je možné zapísať aj pomer viac než dvoch hodnôt, potom ide o postupný pomer.

  • Kaleráby, reďkovky a mrkvy nám na záhrade vyrástli v pomere 2 : 10 : 11.

Prevráteným pomerom k pomeru a:b myslíme pomer b:a.

  • Pomer objemov sirupu a vody v nápoji je 1:10, prevrátený pomer 10:1 značí pomer objemov vody k sirupu.

Aký je rozdiel medzi pomerom a zlomkom? Pomer popisuje vzťah dvoch častí. Zlomok je časť z celku.

Pomery: zmena a rozdelenie čísla

Prejsť k cvičeniam s touto témou »

Zmena čísla

Zmena čísla v zadanom pomere a:b je vynásobenie čísla zodpovedajúcim zlomkom \frac{a}{b}.

  • Ak je a < b a teda \frac{a}{b}<1, budeme číslo zmenšovať.
  • Ak je a > b a teda \frac{a}{b}>1, budeme číslo zväčšovať.

Príklad: Zmena čísla 10 v pomere 2:5 znamená vynásobenie čísla 10 zlomkom \frac{2}{5}. Vyjde nám číslo 4.

Rozdelenie čísla

Rozdelenie čísla v zadanom pomere a:b znamená rozdelenie čísla na dve časti, ktoré sú v pomere a:b.

Príklad: Rozdelte číslo 30 v pomere 2:3. Celkovo budeme rozdelovať na 2+3=5 častí. Jedna časť sa teda rovná \frac{30}{5}=6. Výsledné čísla sú rovné 2 častiam, teda 2\cdot 6= 12, a 3 častiam, teda 3\cdot 6=18. Rozdelili sme číslo 30 v pomere 2:3 na 12 a 18.

Výpočty pri znalosti súčtu (rozdielu)

Hľadáme dve čísla, keď poznáme ich pomer a poznáme ich súčet (prípadne rozdiel, súčin, alebo nejaký iný výraz). V takom prípade nám väčšinou pomôže vypočítať si najskôr čomu zodpovedá jedna časť pomeru. Väčšinou pokračujeme výpočtom hľadaných čísel podľa toho, koľkým častiam v pomere zodpovedá prvé a druhé číslo.

Príklad: Pomer nabitých a vybitých batérií v Gargamelovom detektore šmolkov je 1:4. Vybitých batérií je pritom o 6 viac než nabitých. Koľko je nabitých a vybitých baterií?

Najskôr si spočítame, koľkým batériam zodpovedá jedna časť. Vieme, že vybitých batérií je o 6 viac než nabitých. Vybitých batérií sú pritom 4 časti a nabitých 1 časť, takže vybitých je o 4-1=3 časti viac než nabitých. Takže 3 časti zodpovedajú 6 batériám. Jedna časť zodpovedá \frac{6}{3}=2 batériám. Gargamel má teda 2 nabité batérie a 4 \cdot 2 = 8 vybité batérie.

Výsledok: Gargamel má dve nabité a osem vybitých batérií.

Výpočty pomocou rovníc

Ak nám už ide riešenie rovníc, môžeme pri riešení využiť zápis pomocou dvoch rovníc pre dve neznáme.

  • Prvú rovnicu zapíšeme zo známeho pomeru.
  • Druhú rovnicu zapíšeme z informácie o hodnote súčtu (alebo rozdielu, súčinu, atď.).

Príklad (ťažší príklad pre tých, ktorí už poznajú rovnice a obvod kruhu): Vieme, že polomery dvoch kruhov sú v pomere 2 : 5 a že súčet ich obvodov je 70 \pi. O aké polomery ide?

Označíme si polomery a a b a zapíšeme si rovnice. Poznáme pomer a : b = 2 : 5, takže máme prvú rovnicu \frac{a}{b}=\frac{2}{5}. Súčet obvodov kruhov s polomermi a,b je rovný 2a\cdot \pi + 2b\cdot \pi. Tento súčet poznáme, takže druhá rovnica je 2(a+b)\cdot\pi = 70 \pi.

Riešime sústavu rovníc. Prvú rovnicu vynásobíme 5b (má zmysel pre b\neq 0) a dostaneme 5a=2b. Vydelíme druhú rovnicu kladným číslom 2\pi a dostaneme a+b=35. Vyjadríme a z druhej rovnice a dosadíme do prvej. 5\cdot(35-b)=2b. Zjednodušíme a vypočítame b. 175= 7b, tedy b=25. Vypočítame druhý polomer a=35-b=10.

Výsledné polomery kruhov sú a=10,b=25.

Mierka mapy je špeciálny prípad pomeru. Ide o pomer, v ktorom je obraz krajiny na mape v pomere ku krajine v skutočnosti.

Príklady

  • Mapa s mierkou 1 : 10\,000. Centimeter na tejto mape zodpovedá 10\,000\ \text{cm} = 100\ \text{m} v skutočnosti.
  • Nákres, na ktorom je dĺžka päťmetrovej sochy 2\ \text{cm}, má mierku 2 : (100\cdot 5) = 2 : 500 = 1 : 250.

Algebraické výrazy a ich úpravy

Prejsť k cvičeniam s touto témou »

Algebraický výraz je tvorený z konštánt („čísla“) a premenných („písmena“), ktoré sú dokopy spojené pomocou algebraických operácií (napr. sčítania, násobenia) a zátvoriek. Premenná zastupuje čísla z určitého oboru hodnôt. Pomocou algebraických výrazov môžeme vykonávať všeobecné výpočty.

Príklad:

  • Vidiečan Vido má na dvore o ošípaných a s sliepok.
  • Výraz 4\cdot p + 2 \cdot s vyjadruje celkový počet nôh, ktoré zvieratá na dvore majú.
  • V tomto výraze sú čísla 4 a 2 konštanty, písmená p a s sú premenné, ktorých oborom sú prirodzené čísla.
  • Výraz môžeme upraviť do tvaru 2(2p+s). Táto úprava zachováva hodnotu výrazu pre všetky možné priradenia hodnôt premenných.

Dosadzovanie do výrazov

Prejsť k cvičeniam s touto témou »

Základný krok pri práci s algebraickými výrazmi je dosadenie hodnoty za premennú. Častým zdrojom chýb pri dosadzovaní sú „mínuska“, dávame si na ne teda obzvlásť pozor.

Príklad:

Výraz Hodnoty premenných Dosadenie
14-3n n=2 14-3\cdot 2 = 8
3x-y x=2, y=4 3\cdot2 - 4 = 2
2a+3b a=5, b=-1 2\cdot 5 + 3\cdot(-1) = 7
1-x-2y x=-5, y=7 1-(-5)-2\cdot 7 = 1+5-14=-8

Úpravy výrazov s jednou neznámou

Prejsť k cvičeniam s touto témou »

Vykonávame také úpravy výrazov, ktoré zachovávajú hodnotu výrazu pre všetky možné dosadenia za premenné. Príklady úprav:

Popis Výraz Upravený výraz
Sčítanie členov s premennou 3x+4+6x =9x+4
Roznásobenie zátvorky 3(x+2) =3x+6
Odčítanie zátvorky 1-(x-2) =1-x+2 =3-x
Vytknutie premennej x^2+2x+3 =x\cdot x +2x+3=x(x+2)+3
Umocnenie (x+1)^2 =(x+1)(x+1)=x^2+2x+1

Pozor na častú chybu v prípade odčítania zátvorky: nesmieme zabudnúť, že „mínus a mínus dáva plus“.

Úpravy výrazov s mnohočlenmi

Prejsť k cvičeniam s touto témou »

Vykonávame také úpravy výrazov, ktoré zachovávajú hodnotu výrazu pre všetky možné dosadenia za premenné. Príklady úprav:

Popis Výraz Upravený výraz
Sčítanie členov s rovnakou premennou 3x+2y+4x =7x+2y
Roznásobenie zátvorky x(y-2) =xy-2x
Vytknutie 4x-x^2y+3 =x(4-xy)+3
Umocnenie (a+b)^2 =(a+b)(a+b)=a^2+2ab+b^2
Roznásobenie dvoch zátvoriek (a+b)(a-b) =(a+b)(a-b)=a^2+ab-ab-b^2 = a^2-b^2

Úpravy výrazov so zlomkami

Prejsť k cvičeniam s touto témou »

Úpravy výrazov so zlomkami vykonávame rovnakými základnými postupmi ako ostatné úpravy výrazov, len pri tom používame ešte aj operácie špecifické pre zlomky, napr. krátenie zlomkov, sčítanie a odčítanie zlomkov, násobenie a delenie zlomkov. Príklady úprav:

Popis Výraz Upravený výraz
Krátenie zlomkov \frac{3x+6}{15} =\frac{x+2}{5}
Súčet zlomkov \frac{x}{2}+\frac{x}{3} =\frac{3x}{6}+\frac{2x}{6} = \frac{5x}{6}
Násobenie zlomkov \frac{x+1}{2} \cdot \frac{1}{3} =\frac{x+1}{6}

Lomený výraz má tvar zlomku, v menovateli ktorého je mnohočlen (výraz s premennou). Príkladom lomeného výrazu je \frac{x+2}{x^2-1}. S lomenými výrazmi počítame podobne ako so zlomkami.

Pri lomených výrazoch je treba brať do úvahy podmienky, za ktorých majú zmysel. Lomený výraz má zmysel pre všetky hodnoty premenných, pre ktoré je výraz v menovateli iný než nula. Príklady:

  • Výraz \frac{x+5}{x-3} má zmysel pre x \neq 3.
  • Výraz \frac{x^3}{x^2-1} má zmysel pre x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}, pretože x^2-1 = 0 pre hodnoty -1 a 1.
  • Výraz \frac{x^3}{x^2+1} má zmysel pre všetky reálne čísla, pretože x^2+1 je vždy väčšie ako nula.

Rovnica s neznámou x je zápis v tvare L(x) = P(x), kde L(x), P(x) sú výrazy s premennou x. L(x) je ľavá strana rovnice, P(x) je pravá strana rovnice. Riešiť rovnicu znamená nájsť všetky hodnoty premennej x, pre ktoré výrazy L(x) a P(x) nadobúdajú rovnaké hodnoty. Tieto čísla sa nazývajú korene rovnice. Výpočet hodnôt L(x) a P(x) pre konkrétne x sa nazýva skúška správnosti.

Príklad: riešme rovnicu 2x-7 = 5-4x.

ľavá strana L(x) = 2x - 7
pravá strana P(x) = 5-4x
koreň (riešenie) rovnice x=2
skúška správnosti L(x) = 2x-7 = 2\cdot 2 - 7= -3
P(x) = 5-4x = 5 - 4\cdot 2 = -3

Rovnice delíme podľa typu výrazov, ktoré sa v nich objavujú. Napríklad:

  • lineárne rovnice obsahujú len konštanty a násobky premennej x, napríklad 7- 2x = -1,

  • kvadratické rovnice obsahujú aj druhú mocninu x, napríklad x^2+x-2=0,

  • logaritmické rovnice obsahujú \log(x), napríklad \log_2(1-x)=16,

  • exponenciálne rovnice obsahujú umocňovanie, v ktorom je premenná x v exponente, napríklad 3^x -3 = 6,

  • goniometrické rovnice obsahujú goniometrické funkcie, napríklad \sin(2x) = 1.

Rovnice riešime ekvivalentnými úpravami, čo sú úpravy, ktoré nemenia množinu koreňov rovnice. Medzi také úpravy patria napríklad:

  • výmena ľavej a pravej strany rovnice,

  • pripočítanie alebo odčítanie rovnakého výrazu k obom stranám/od obchod strán rovnice,

  • vynásobenie alebo vydelenie oboch strán rovnice nenulovým číslom.

Najjednoduchšie rovnice ako x+2 = 5 alebo 3x = 15 vyžadujú jednokrokové riešenie, stačí teda vykonať jednu úpravu rovnice (napr. odčítanie čísla 2 od oboch strán rovnice v prvom prípade). Tieto rovnice je väčšinou možné ľahko riešiť aj intuitívnou úvahou (pre aké číslo platí, že keď k nemu pripočítam dvojku, dostanem päťku?). Slúžia tak ako dobrý východzí bod pre zoznámenie sa s rovnicami.

Základné rovnice s jednou neznámou

Prejsť k cvičeniam s touto témou »

Najjednoduchšie rovnice obsahujú len lineárne výrazy, vyskytujú sa v nich len konštanty a násobky premennej x. Rovnice upravujeme pomocou ekvivaletných úprav: pripočítanie a odčítanie rovnakého výrazu k obom stranám rovnice, úpravy výrazov na ľavej a pravej strane. Pomocou takých úprav ich prevedieme do tvaru x = a, kde a je riešenie.

Riešený príklad

Rovnicu 2x-7 = 5-4x môžeme riešiť týmito krokmi:

K obom stranám rovnice pripočítame 4x. 2x - 7 + 4x = 5 - 4x + 4x
6x - 7 = 5
K obom stranám rovnice pripočítame 7. 6x - 7 + 7 = 5 + 7
6x = 12
Obe strany rovnice vydelíme číslom 6. 6x : 6 = 12 : 6
x = 2
Riešenie rovnice je x=2.

Počet riešení

V prípade základných lineárnych rovníc môžu nastať tri prípady:

  • Rovnica nemá žiadne riešenie, napr. x+2=x+3.
  • Rovnica má nekonečne veľa riešení, napr. pri rovnici x+1+x = 2x+1 je riešením rovnice ľubovoľné číslo.
  • Rovnica má presne jedno riešenie, napr. vyššie uvedená rovnica 2x-7 = 5-4x má jediné riešenie x=2.

Časté chyby

Medzi časté chyby pri riešení rovníc patrí:

  • vykonanie úpravy (pripočítanie čísla, vydelenie čísel) len na jednej strane rovnice,
  • chybné skombinovanie konštánt a výrazov s premennou x, napr. úprava 3x + 2 na 5x,
  • zlé znamienko pri výraze počas prevádzania z jednej strany rovnice na druhú.

Rovnice so zátvorkami môžeme riešiť rovnakým spôsobom ako základné rovnice, len v prvom kroku odstránime zátvorky. Napríklad: rovnicu 2(x+3) = 12 - x môžeme riešiť takto:

Zadanie: 2(x+3) = 12 - x
Roznásobíme zátvorku na ľavej strane: 2x+6 = 12 - x
Následne riešime rovnako ako základnú rovnicu: 3x+6 = 12
3x = 6
x = 2

V niektorých prípadoch si však môžeme ušetriť prácu, ak zátvorky neroznásobíme. Napríklad v rovnici 3(x+1) = 18 je výhodnejšie najskôr rovnicu vydeliť číslom 3, čím dostaneme x+1 = 6, z čoho už ľahko dostaneme x=5.

Rovnice s neznámou v menovateli

Prejsť k cvičeniam s touto témou »

Ak rovnica obsahuje zlomok, v ktorom sa vyskytuje neznáma v menovateli, musíme rovnicu najskôr vynásobiť menovateľom (prípadne spoločným násobkom všetkých menovateľov). Tým rovnicu prevedieme na základnú rovnicu, ktorú riešime bežným postupom.

Riešený príklad

Zadanie: \frac{20}{x} +2 = 7
Vynásobíme obe strany rovnice menovateľom x: 20 + 2x = 7x
Ďalej riešime bežnými úpravami: 20 = 5x
x = 4

Rovnicu so zlomkami riešime rovnakými postupmi ako základné rovnice, len pritom používame operácie so zlomkami.

Často sa môžeme operáciam so zlomkami vyhnúť tak, že si celú rovnicu najskôr roznásobíme spoločným násobkom všetkých menovateľov zlomkov.

Riešený príklad

Zadanie: \frac{x}{2} - \frac{x}{3} = 2
Menovatele v zlomkoch sú 2 a 3, spoločný násobok je 6. Roznásobíme teda rovnicu číslom 6: 3x - 2x = 12
Riešenie: x=12

Rovnice s desatinnými číslami

Prejsť k cvičeniam s touto témou »

Rovnice s desatinnými číslami riešime rovnakými postupmi ako základné rovnice, len pri tom myslíme na pravidlá na sčítania, odčítania a násobenia a delenia desatinných čísel. Často si môžeme riešenie uľahčiť tým, že celú rovnicu vynásobíme desiatkou (prípadne vyššou mocninou desiatky).

Riešený príklad

Zadanie: 0{,}2x+2{,}1x=4{,}6
Vynásobíme desiatkou: 2x+21x=46
Riešime ako základnú rovnicu: 23x = 46
x = 2

Rovnice s lomenými výrazmi

Prejsť k cvičeniam s touto témou »

Rovnice s lomenými výrazmi riešime rovnakými postupmi ako základné rovnice.

Užitočným (nie však vždy nevyhnutným) prvým krokom býva roznásobenie oboch strán rovnice spoločným násobkom všetkých menovateľov lomených výrazov.

Podmienky riešiteľnosti

Aby lomený výraz dával zmysel, nesmie sa menovateľ rovnať nule. Po vyriešení rovnice teda musíme skontrolovať, že výsledné riešenie túto podmienku spĺňa pre všetky menovatele v rovnici.

Riešený príklad

Zadanie: \frac{-1}{2} = \frac{x+1}{1-x}
Menovatele sú 2 a 1-x, spoločný násobok je 2(1-x). Roznásobíme teda rovnicu 2(1-x). \frac{-1}{2}\cdot 2(1-x) = \frac{x+1}{1-x} \cdot 2(1-x)
Krátime obe strany. (-1)\cdot (1-x) = (x+1)\cdot 2
Roznásobíme obe strany. x-1 = 2x +2
Prevedieme x na jednu stranu, konštanty na druhú. x = -3

Dve rovnice o dvoch neznámych

Prejsť k cvičeniam s touto témou »

Sústava dvoch rovníc s dvomi neznámimi je podobná ako základná rovnica, len máme namiesto jednej premennej x ešte aj premennú y a rovnice sú dve. Podobne ako pri rovniciach s jednou premennou, aj tu môžeme nájsť viacero rôznych typov. Dve rovnice s dvomi neznámimi môžu byť lineárne, kvadratické, logaritmické a iné. Väčšinou sa však precvičujú len základne lineárne rovnice, keďže ak dobre zvládneme ich riešenie, môžeme naučené postupy použiť aj na zložitejšie rovnice. Základné metódy riešenia sústavy dvoch rovníc sú dosadzovacia metóda a sčítacia metóda.

Príklad sústavy dvoch rovníc s dvomi neznámimi: x+y=8
2x-y=1

Dosadzovacia metóda

Pri riešení dosadzovacou metódou vyjadríme z jednej rovnice jednu neznámu pomocou druhej. Toto vyjadrenie potom dosadíme do druhej rovnice, čím dostaneme jednu obyčajnú rovnicu s jednou neznámou. Ukážka postupu na uvedenom príklade:

Z prvej rovnice vyjadríme y: y = 8 -x
Dosadíme do druhej rovnice: 2x - y = 1
2x - (8-x) = 1
Riešime ako obyčajnú rovnicu: 3x = 9
x = 3
Nájdenú hodnotu dosadíme do výrazu pre y: y = 8 - x = 8 - 3 = 5

Sčítacia metóda

Pri riešení sčítacou metódou sčítame (či odčítame) oddelene ľavé a pravé strany oboch rovníc. Táto úprava vedie k cieľu, ak nám pri tejto operácii jedna z premenných vypadne. V niektorých prípadoch je preto nutné najskôr jednu z rovníc vynásobiť vhodným číslom. V prípade našej ukážkovej sústavy stačí rovnice jednoducho sčítať. Tým dostaneme 3x = 9, odtiaľ x=3 a dosadením potom už dopočítame y.

Kvadratická rovnica je rovnica, v ktorej se vyskytuje jedna neznáma v druhej mocnine. Základný tvar kvadratickej rovnice je: ax^2+bx+c=0, kde a, b, c sú reálne čísla a a\neq 0. Pri kvadratických rovniciach používame nasledujúce názvoslovie:

  • ax^2 je kvadratický člen,
  • bx je lineárny člen,
  • c je absolútny člen.

Príkladom kvadratickej rovnice je 2x^2+6x-20 = 0. V tejto rovnici je kvadratický člen 2x^2, lineárny člen 6x a absolútny člen -20. Korene tejto rovnice sú 2 a -5.

Špeciálne typy kvadratických rovníc:

  • Ak je b=0 nazýváme rovnicu rýdzo kvadratickou: ax^2+c=0.
  • Ak je c=0 hovoríme o rovnici bez absolútneho člena: ax^2+bx=0.

Riešenie kvadratickej rovnice

Každú kvadratickú rovnicu je možné riešiť pomocou výpočtu diskriminantu D. Preň platí: D=b^2-4\cdot a\cdot c. Môžu nastať 3 situácie:

  • D < 0 – rovnica nemá v reálnych číslach riešenie.
  • D=0 – rovnica má jeden dvojnásobný koreň.
  • D > 0 – rovnica má dva rôzne reálne korene.

Pre korene rovnice platí:

  • x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}
  • x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}

Kvadratické rovnice môžeme riešiť aj bez počítania diskriminantu za využitia Vietových vzťahov. Pre korene rovnice platí: x_1+x_2=-\frac{b}{a}, x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}. V prípade a=1: x_1+x_2=-b, x_1\cdot x_2=c.

Príklad riešenia kvadratickej rovnice

  • Riešime rovnicu x^2+2x-3=0.
  • Pre túto rovnicu a=1, b=2, c=-3.
  • Diskriminant D=b^2-4ac = 2^2-4\cdot 1\cdot(-3) = 4+12=16.
  • D>0, rovnica má teda dve riešenia.
  • x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \frac{-2+\sqrt{16}}{2\cdot 1} = 1
  • x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \frac{-2-\sqrt{16}}{2\cdot 1} = -3
  • Korene rovnice sú teda 1 a -3.

Exponenciálna rovnica má neznámu v exponente (mocniteli), napr. 3^{2x}-3^x=6.

Exponenciálnu rovnicu je možné riešiť rôznymi spôsobmi. Najjednoduchšie je riešenie rovnice s rovnakými základmi. Ak sa nám podarí rovnicu previesť na tvar a^{f(x)} = a^{g(x)}, môžeme sa zbaviť exponenciálnej funkcie a riešiť f(x) = g(x). Zložitejšie spôsoby riešenia exponenciálnych rovníc sú logaritmovanie a substitúcia.

Logaritmická rovnica je taká, kde neznáma vystupuje ako argument logaritmickej funkcie, napr. 2 \cdot \log_6(x-2) = \log_6(14-x).

Pri logaritmických rovniciach si musíme dávať pozor na podmienky riešenia. Argument každého logaritmu totiž musí byť vždy kladné číslo. V uvedenom príklade teda musí platiť x-2>0 a súčasne 14-x > 0.

Logaritmické rovnice riešime s využitím vlastností logaritmickej funkcie a jej vzťahu k exponenciálnej funkcii. Čiastkové spôsoby, ako riešiť logaritmické rovnice:

  • Prevedieme rovnicu na tvar \log_a f(x) = c. Potom musí platiť f(x) = a^c.
  • Prevedieme rovnicu na tvar \log_a f(x) = \log_a g(x). Potom musí platiť f(x) = g(x).

Vyjadrenie neznámej z rovnice

Prejsť k cvičeniam s touto témou »

Často máme rovnicu s niekoľkými neznámymi a potrebujeme vyjadriť jednu z nich. Typicky na takú situáciu narazíme vo fyzike. Máme napríklad vzorec pre výpočet dráhy na základe času: s = \frac{1}{2}gt^2. Z tejto rovnice chceme vyjadriť čas v závislosti od dráhy, teda t = \sqrt{\frac{2s}{g}}.

Pri riešení tohto problému používame rovnaké postupy ako pri riešení rovníc s číselnými koeficientami, len namiesto priamych výpočtov vykonávame úpravy výrazov.

Riešený príklad

Máme vyjadriť a z rovnice: c-(a+b)=2b
Zbavíme sa zátvorky: c-a-b=2b
Prevedieme všetky premenné okrem a na druhú stranu: -a=3b-c
Vynásobíme -1: a=c-3b

Slovné úlohy typu „myslím si číslo“ spočívajú v tom, že si niekto myslí tajné číslo, dá nám o ňom informácie a my musíme číslo odhaliť.

Príklad: Myslím si číslo. Keď od neho odoberiem 6 a výsledok vydelím dvomi, dostanem 2. Aké číslo si myslím?

Jednoduché úlohy tohto typu je možné riešiť z hlavy. V prípade zložitejších úloh je vhodné si úlohu zapísať pomocou rovnice.

Úlohy o zmesiach sú špeciálny typ slovných úloh, v ktorých pracujeme so zmesou dvoch (alebo viacerých) typov objektov, ktoré majú trochu iné vlasnosti. Môže ísť o zmes roztokov, čokolád, zeleniny alebo napríklad tučňiakov.

Príklad slovnej úlohy o zmesiach: Na Antarktíde žijú vedľa seba tučňiaky cisárske, ktoré vážia 35 kilogramov, a menšie tučňiaky okaté, tie vážia len 5 kilogramov. Včera objavilo 60 tučňiakov obrovskú starú váhu zo stroskotanej nákladnej obchodnej lode. Keď na ňu všetci vliezli, váha ukázala 840 kilogramov. Koľko bolo v objaviteľskej tučňiakovskej výprave tučňiakov okatých?

Úlohy o zmesiach riešime pomocou rovníc.

Úlohy o spoločnej práci sú špeciálny typ slovných úloh, v ktorých typicky vystupuje niekoľko ľudí a za úlohu máme určiť, ako dlho by im trvala práca spoločne.

Príklad úlohy o spoločnej práci: Na hodine bylinkárstva v Rokforte žiaci okopávali záhony s mandragorami. Nevillovi trvalo okopanie záhona 40 minút, Draco Malfoy zvládol rovnako veľký záhon za 24 minút. Koľko minút by im trvalo okopanie záhona, keby na ňom pracovali spoločne?

Úlohy o spoločnej práci riešime s využitím nepriamej úmery a zlomkov.

Aritmetická a geometrická postupnosť

Prejsť k cvičeniam s touto témou »

Aritmetická postupnosť je matematická postupnosť, v ktorej je stály rozdiel medzi dvomi po sebe idúcimi členmi. Tento rozdiel sa väčšinou značí d a nazýva sa diferencia.

  • rekurentný vzorec: a_n = a_{n-1} + d
  • vzorec pre n-tý člen: a_n = a_1+ (n-1)\cdot d
  • príklady:
    • 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... (a_1=1, d=2)
    • 20, 17, 14, 11, 8, ... (a_1=20, d=-3)
    • 300, 305, 310, 315, 320, ... (a_1=300, d=5)

Geometrická postupnosť je matematická postupnosť, v ktorej je stály pomer medzi dvomi po sebe idúcimi členmi. Tento podiel sa väčšinou značí q a nazýva sa kvocient.

  • rekurentný vzorec: a_n = q \cdot a_{n-1}
  • vzorec pre n-tý člen: a_n = q^{n-1}\cdot a_1
  • príklady:
    • 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... (a_1=1, q=2)
    • 1000, 100, 10, 1, 0{,}1, 0{,}01, ... (a_1=1000, q=0,1)
    • 5, 15, 45, 135, 405, ... (a_1=5, q=3)
    • 8, -8, 8, -8, 8, -8, ... (a_1=8, q=-1)

Postupnosť je sada objektov, pri ktorých záleží na poradí a objekty sa môžu opakovať. Postupnosť môže byť konečná aj nekonečná. Členy postupnosti typicky zapisujeme pomocou indexov: a_n značí n-tý člen postupnosti a.

Postupnosti môžeme zapísať rôznymi spôsobmi:

  • vymenovaním členov: a = (7, 10, 13, 16, 19, 22)
  • vzorcom pre n-tý člen: a_n = 4 + 3\cdot n
  • rekurentne (začiatok postupnosti a spôsob výpočtu ďalších členov z predchádzajúcich): a_1 = 7, a_n = a_{n-1} + 3

Príklady:

  • 8, 18, 28, 38, 48, 58, … (aritmetická postupnosť s počiatočnou hodnotou 8 a diferenciou 10)
  • 3, 6, 12, 24, 48, 96, … (geometrická postupnosť s počiatočnou hodnotou 3 a kvocientom 2)
  • 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … (Fibonacciho postupnosť, a_n = a_{n-1} + a_{n-2})
  • 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, … (periodická postupnosť)

Existuje celý rad zaujímavých postupností. Majú dokonca svoju vlastnú encyklopédiu.

NAPÍŠTE NÁM

Ďakujeme za vašu správu, bola úspešne odoslaná.

Napíšte nám

Neviete si rady?

Najprv sa, prosím, pozrite na časté otázky:

Čoho sa správa týka?

Odkaz Obsah Ovládanie Prihlásenie Licencia