Kombinatorika

Kombinatorika je odbor matematiky, ktorý sa zaoberá počítaním možností a usporiadaním prvkov v rôznych situáciách. Využíva sa napríklad na určenie počtu rôznych kombinácií pri losovaní, zostavovaní tímov alebo určovaní poradia.

• Kombinatorika: pojmy – základné pojmy a princípy
• Permutácie, kombinácie, variácie – rôzne spôsoby usporiadania a výberu prvkov, vrátane ich vzorcov a príkladov
• Kombinačné čísla – dôkladnejšie precvičenie kľúčového pojmu v kombinatorike
• Výrazy s faktoriálom a kombinačnými číslami – cielené precvičenie výpočtov s faktoriálmi a kombinačnými číslami, čo je častý jednotlivý krok v kombinatorických výpočtoch

• Permutácia je usporiadanie prvkov do fixného poradia.
• Kombinácia (k prvková) je výber k prvkov zo zadanej množiny.
• Kombinácia s opakovaním (k prvková) je výber k prvkov zo zadanej množiny, pričom prvky sa môžu opakovať.
• Variácia (k prvková) je usporiadaný výber k prvkov zo zadanej množiny.
• Variácia s opakovaním (k prvková) je usporiadaný výber k prvkov zo zadanej množiny, pričom prvky sa môžu opakovať.

Príklady:

Počty permutácií, kombinácií a variácií udáva nasledovná tabuľka:

Kombinačné číslo udáva počet kombinícií, teda spôsobov, ako vybrať k prvkov z n prvkovej množiny. Kombinačné čísla sa vyskytujú veľmi často v kombinatorických výpočtoch, a preto majú špeciálne značenie \binom{n}{k} (čítame „n nad k“).

Pre n \geq k \geq 0 platí: \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

Pre kombinačné čísla platí rad ďalších vzťahov, napríklad:

• \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}
• \binom{n+1}{k} = \binom{n}{k} + \binom{n}{k-1}
• \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = 2^n

Príklady: