Lineárna lomená funkcia f:y =\frac{ax+b}{cx+d} má definičný obor D(f)=\R - \{-\frac{d}{c}\}, čo môžeme tiež zapísať ako zjednotenie dvoch intervalov: D(f)=(-\infty, -\frac{d}{c}) \cup (-\frac{d}{c}, \infty)
Ak c\neq0 a bc-ad\neq0, potom pre lineárnu lomenú funkciu platí:
- je prostá
- nie je periodická
- nemá maximum ani minimum
- nie je zhora ani zdola ohraničená
Ďalšie vlastnosti závisia od hodnôt koeficientov a, b, c, d:
- pre bc-ad \gt 0 je lineárna lomená funkcia klesajúca na intervale (-\infty, -\frac{d}{c}) a tiež klesajúca na intervale (-\frac{d}{c}, \infty)
- pre bc-ad \lt 0 je lineárna lomená funkcia rastúca na intervale (-\infty, -\frac{d}{c}) a tiež je rastúca na intervale (-\frac{d}{c}, \infty)
- pre a=0 a d=0 má lineárna lomená funkcia tvar: f:y =\frac{b}{cx} a je to nepárna funkcia (f(x) = - f(-x))
Príklad: vlastnosti funkcie f:y =\frac{3x+1}{4x+2}
- Definičný obor D(f)=\R - \{-\frac{1}{2}\}.
- Funkcia je prostá.
- Funkcia je rastúca na intervale (-\infty,-\frac{1}{2}) a tiež je rastúca na intervale (-\frac{1}{2},\infty) – ľahko poznáme z grafu, ale zároveň môžeme overiť splnenie podmienky bc-ad \lt 0: pre danú funkciu bc-ad=1\cdot4-3\cdot2=-2.
Príklad: vlastnosti funkcie f:y =\frac{3}{2x}
- Definičný obor D(f)=\R - \{0\}.
- Funkcia je prostá.
- Funkcia je klesajúca na intervale (-\infty,0) a tiež je klesajúca na intervale (0,\infty).
- Funkcia je nepárna – graf je súmerný podľa počiatku (pre lineárne lomené funkcie, kde a=0 a d=0).
Poznámka: ohraničenosť lineárnej lomenej funkcie
- Definičný obor lineárnej lomenej funkcie tvoria vždy dva intervaly.
- Ak si budeme všímať vlastnosti funkcie iba na jednom z týchto intervalov, ide o funkciu ohraničenú zdola alebo zhora. Napríklad funkcia na obrázku f:y =\frac{2x+3}{x+1}:
- Definičný obor D(f)=\R - \{-1\}, teda intervaly (-\infty;-1) a (-1;\infty).
- Na intervale (-\infty;-1) je funkcia ohraničená zhora a na intervale (-1;\infty) ohraničená zdola.
Vysvetlenie mi pomohlo
Vysvetlenie mi nepomohlo
Pre túto tému (a prípadne zvolený ročník) zatiaľ nie je dostupné žiadne precvičovanie.
