Určite vzájomnú polohu dvoch priamok p, q zadaných parametricky:

p: \begin{array}{rrl}x&=&-3+3t\\y&=&\hspace{0.25cm}2+t\\&&\hspace{0.25cm}t\in\mathbb{R}\end{array} \hspace{0.5cm}q: \begin{array}{rrl}x&=&1-3s\\y&=&2-s\\&&s\in\mathbb{R}\end{array}

• smerový vektor priamky p:\hspace{0.25cm}\vec{u}=(3;1)
• smerový vektor priamky q:\hspace{0.25cm}\vec{v}=(-3;-1)
• Priamky p a q sú rovnobežné, pretože ich smerové vektory sú kolineárne.
• Overíme, že priamky nie sú totožné. Stačí určiť, či bod, ktorý leží na jednej priamke neleží na priamke druhej.
• Na priamke p leží napríklad bod A=[-3;2].
• Overíme, že tento bod neleží na priamke q dosadením súradníc bodu A do rovníc priamky q: \begin{array}{rrl}-3&=&1-3s \Rightarrow s=\frac{4}{3}\\2&=&2-\hspace{0.15cm}s\Rightarrow s=0\end{array}
• Vyšli rôzne hodnoty parametra s, takže bod A neleží na q \Rightarrow priamky nie sú totožné

Určite vzájomnú polohu dvoch priamok daných všeobecnými rovnicami p: 2x+y-1=0 a q:4x+2y+3=0.

• normálový vektor priamky p:\hspace{0.25cm}\vec{n}=(2;1)
• normálový vektor priamky q:\hspace{0.25cm}\vec{m}=(4;2)
• Priamky p a q sú rovnobežné, pretože ich normálové vektory sú kolineárne.
• Overíme, že priamky nie sú totožné. Stačí určiť, či bod, ktorý leží na jednej priamke neleží na priamke druhej.
• Na priamke p leží napríklad bod A=[0;1].
• Overíme, či A leží na p dosadením súradníc bodu A do rovnice priamky p: 4\cdot0+2\cdot1+3\neq 0
• A nespĺňa rovnicu, takže neleží na priamke q \Rightarrow priamky nie sú totožné

p: \begin{array}{rrl}x&=&-1+t\\y&=&\hspace{0.25cm}3+2t\\&&\hspace{0.25cm}t\in\mathbb{R}\end{array} \hspace{0.5cm}q: \begin{array}{rrl}x&=&-4+s\\y&=&\hspace{0.25cm}3-s\\&&\hspace{0.25cm}s\in\mathbb{R}\end{array}

• smerový vektor priamky p:\hspace{0.25cm}\vec{u}=(1;2)
• smerový vektor priamky q:\hspace{0.25cm}\vec{v}=(1;-1)
• Priamky p a q sú rôznobežné, pretože ich smerové vektory nie sú kolineárne.

• Priesečník priamok spĺňa rovnice oboch priamok, teda každú z jeho súradníc je možné vyjadriť dvomi spôsobmi, dostávame nasledujúcu sústavu rovníc: \begin{array}{lrr}-1+t&=&-4+s\\\hspace{0.25cm}3+2t&=&3-s\end{array}

• Sústavu môžeme vyriešiť sčítaním oboch rovníc: 2+3t=-1\Rightarrow3+3t=0\Rightarrow t=-1
• Výsledný parameter t dosadíme do parametrických rovníc ktorejkoľvek z priamok a dostaneme súradnice x,y priesečníka.

• Priesečník priamok p a q je bod R=[-2;1].

Určíme vzájomnú polohu dvoch priamok zadaných všeobecnými rovnicami p: 2x+y-1=0 a q:x-y+1=0.

• normálový vektor priamky p:\hspace{0.25cm}\vec{n}=(2;1)
• normálový vektor priamky q:\hspace{0.25cm}\vec{m}=(1;-1)
• Priamky p a q sú rôznobežné, pretože ich normálové vektory nie sú kolineárne.
• Priesečník priamok spĺňa rovnice oboch priamok, teda jeho súradnice sú riešením sústavy: \begin{array}{rrr}2x+y-1&=&0\\x-y+1&=&0\end{array}
• Môžeme vyriešiť sčítaním oboch rovníc: 3x=0\Rightarrow x=0
• Priesečník priamok p a q je bod R=[0;1]

Určite vzájomnú polohu priamok p,q zadaných takto:

\hspace{0.25cm}p: 2x-y+3=0\hspace{0.25cm} \hspace{0.5cm}q: \begin{array}{rrl}x&=&3-2t\\y&=&2-4t\\&&t\in\mathbb{R}\end{array}

• normálový vektor priamky p:\hspace{0.25cm}\vec{n}=(2;-1)
• smerový vektor priamky q:\hspace{0.25cm}\vec{v}=(-2;-4)
• Priamky p a q sú rovnobežné, pretože ich smerové vektory sú kolineárne. Preto je normálový vektor jednej priamky kolmý na smerový vektor druhej priamky.
• Overíme, že priamky nie sú totožné: stačí určiť, či bod, ktorý leží na jednej priamke neleží na priamke druhej.
• Na priamke q leží napríklad bod B=[3;2].
• Na priamke p tento bod neleží, čo zistíme dosadením súradníc bodu B do rovnice priamky: 2\cdot3-2+3\neq 0
• Bod B nespĺňa rovnicu, takže neleží na priamke p \Rightarrow priamky nie sú totožné

Určite vzájomnú polohu priamok p,q zadaných:

\hspace{0.25cm}p: x-3y+3=0\hspace{0.25cm} \hspace{0.5cm}q: \begin{array}{rrl}x&=&\hspace{0.28cm}1+t\\y&=&-2+2t\\&&\hspace{0.28cm}t\in\mathbb{R}\end{array}

• normálový vektor priamky p:\hspace{0.25cm}\vec{n}=(1;-3)
• smerový vektor priamky q:\hspace{0.25cm}\vec{v}=(1;2)
• Priamky p a q sú rôznobežné, pretože ich smerové vektory nie sú kolineárne. Vyplýva z toho, že normálový vektor jednej priamky nie je kolmý na smerový vektoru druhej priamky.
• Priesečník priamok spĺňa rovnice oboch priamok, teda jeho súradnice nájdeme tak, že parametrické vyjadrenie priamky q dosadíme do všeobecnej rovnice priamky p: \begin{array}{rrl}(1+t)-3(-2+2t)+3&=&0\\1+t+6-6t+3&=&0\\10-5t&=&0\\t&=&2\end{array}
• Priesečník priamok p a q je bod R=[3;2]

Hľadáme priesečník(y) priamok p,q zadaných ako: \hspace{0.25cm}p: x-3y+3=0\hspace{0.25cm} a \hspace{0.25cm}q: \begin{array}{rrl}x&=&\hspace{0.28cm}1+t\\y&=&-2+2t\end{array}

• Dosadíme parametrické vyjadrenie do všeobecnej rovnice a riešime sústavu rovníc:

\begin{array}{rrl}(1+t)-3(-2+2t)+3&=&0\\1+t+6-6t+3&=&0\\10-5t&=&0\\t&=&2\end{array}

• Jedno riešenie \Rightarrow rôznobežné priamky

Hľadáme priesečník(y) priamok p,q zadaných ako: \hspace{0.25cm}p: 2x-y+3=0\hspace{0.25cm} a \hspace{0.25cm}q: \begin{array}{rrl}x&=&3-2t\\y&=&2-4t\end{array}

• Dosadíme parametrické vyjadrenie do všeobecnej rovnice a riešime sústavu rovníc:

\begin{array}{rrl}2(3-2t)-(2-4t)+3&=&0\\6-4t-2+4t+3&=&0\\7&=&0\end{array}

• Žiadne riešenie \Rightarrow rôzne rovnobežné priamky

Hľadáme priesečník(y) priamok p,q zadaných ako: \hspace{0.25cm}p: 2x-y+3=0\hspace{0.25cm} a \hspace{0.25cm}q: \begin{array}{rrl}x&=&3+t\\y&=&9+2t\end{array}

• Dosadíme parametrické vyjadrenie do všeobecnej rovnice a riešime sústavu rovníc:

\begin{array}{rrl}2(3+t)-(9+2t)+3&=&0\\6+2t-9-2t+3&=&0\\0&=&0\end{array}

• Nekonečne veľa riešení \Rightarrow totožné priamky