
Kružnica (kužeľosečka)

Kružnica je množina všetkých bodov v rovine, ktoré majú od daného pevného bodu S rovnakú vzdialenosť r. Bod S nazývame stred kružnice, hodnotu r nazveme polomer kružnice. 
Stredová rovnica kružnice
Stredová rovnica kružnice so stredom S[m;n] a polomerom r je v tvare: (x-m)^2 +(y-n)^2=r^2 
Príklad: Určite stredovú rovnicu kružnice so stredom v bode S[-1;2] a polomerom r=3.
- Stredová rovnica je v tvare: (x-m)^2 +(y-n)^2=r^2
- Dosadíme súradnice stredu a polomer. Pri dosadení si dáme pozor na to, že súradnice stredu v stredovej rovnici odčítame: (x-(-1))^2 +(y-2)^2=3^2
- Po úprave: (x+1)^2 +(y-2)^2=9
Všeobecná rovnica kružnice
Podobne ako existuje niekoľko tvarov rovníc priamky, môžeme aj rovnicu kružnice zapísať rôznymi spôsobmi. Všeobecná rovnica kružnice je v tvare: x^2 +y^2-2mx-2ny+p=1.
Každá rovnica v tomto tvare ale nemusí ešte byť všeobecnou rovnicou kružnice. Pre všeobecnú rovnicu kružnice musí platiť, že výraz m^2+n^2-p je kladný. Praktické overenie, či ide o kružnicu, ale väčšinou vykonávame prevedením na stredovú rovnicu kružnice.
Príklad: Nájdite stred a polomer kružnice danej všeobecnou rovnicou x^2+y^2+4x+6y-12=0.
- Najskôr si usporiadame členy podľa premenných: x^2+4x+y^2-6y-12=0.
- Našim ďalším cieľom je upraviť výraz na ľavej strane ako súčet dvoch druhých mocnín (štvorcov), podľa vzorcov a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b)^2.
- K obom stranám rovnice pripočítame konštanty 4 a 9, aby sme súčty členov s premennými x a y mohli upraviť na druhé mocniny (prevedieme v oboch prípadoch doplnenie na štvorec): x^2+4x+4+y^2-6y+9-12=4+9
- A upravíme: (x+2)^2 +(y-3)^2-12=13
- Na záver ešte prevedieme -12 na druhú stranu rovnice: (x+2)^2 +(y-3)^2=25
- Týmto sme previedli všeobecnú rovnicu kružnice na stredovú rovnicu kružnice.
- Polomer kružnice je r=\sqrt{25}=5.
- Súradnice stredu S[m,n] odčítame v stredovej rovnici od premenných x a y, majú teda opačné znamienka než konštanty v zátvorkách v stredovej rovnici \Rightarrow S[-2;3].
Kružnica a priamka
- priamka s pretína kružnicu v dvoch bodoch – sečnica kružnice
- priamka t pretína kružnicu v jednom bode – dotyčnica kružnice
- priamka v kružnici nepretína – vonkajšia priamka kružnice

Rovnice dotyčnice kružnice v bode, ktorý leží na kružnici
Kružnica daná rovnicou (x-m)^2 +(y-n)^2=r^2 má v bode T[x_0;y_0] dotyčnicu (x_0-m)(x-m) +(y_0-n)(y-n)=r^2.
Ako si zapamätať rovnicu dotyčnice
- Stredová rovnica je v tvare (x-m)^2 +(y-n)^2=r^2.
- Zátvorky rozložíme na súčiny dvojčlenov (x-m)(x-m) +(y-n)(y-n)=r^2.
- V každom súčine zameníme jedno x za x_0 a jedno y za y_0
- Dostaneme rovnicu dotyčnice (x_0-m)(x-m) +(y_0-n)(y-n)=r^2
Príklad: Určite rovnicu dotyčnice kružnice (x-1)^2+(y+2)^2=13 v jej bode T[3;1].
- Overíme, či bod T leží na kružnici: (3-1)^2+(1+2)^2=13 \Rightarrow 4+9=13
- Dotyčnica má rovnicu (x_0-m)(x-m) +(y_0-n)(y-n)=r^2
- Dosadíme súradnice bodu T: (3-1)(x-1) +(1+2)(y+2)=13
- Roznásobíme zátvorky: 2x-2 +3y+6=13
- A dostaneme všeobecnú rovnicu dotyčnice 2x+3y-9=0
Polára kružnice
Z bodu R mimo kružnicu môžeme zostrojiť dve dotyčnice k danej kružnici. Priamka určená bodmi dotyku dotyčníc sa nazýva polára kružnice vzhľadom k bodu R. 
Rovnica poláry kružnice (x-m)^2 +(y-n)^2=r^2 vzhľadom k bodu R[r_1;r_2] je (r_1-m)(x-m) +(r_2-n)(y-n)=r^2.
Na čo poláru použijeme?
- Poláru využívame na konštrukciu dotyčníc ležiacich z bodu mimo kružnicu.
- Podľa vzorca určíme rovnicu poláry, teda priamky.
- Nájdeme priesečníky poláry a kružnice – to sú body dotyku hľadaných dotyčníc.
- Keď poznáme body dotyku, určíme podľa vzťahu pre rovnicu dotyčnice v bode kružnice všeobecné rovnice oboch dotyčníc.
Zatvoriť