Slovenčina
Angličtina
Informatika
Vieme to
Nemčina
Biológia
Zemepis
Chémia
Fyzika
Aritmetika
Zlomky, percentá, desatinné čísla
Geometria
Elementárna algebra
Funkcie
Jednotky, miery
Diskrétna matematika
Finančná gramotnosť
Rozhodovačka
Pexeso
Krok za krokom
Počítanie
Grafár
Porozumenie
Označovanie
Presúvanie
Mriežkovaná
Rozdeľovačka
Pokazená kalkulačka
Roboti
Strieľačka
Príšerky
Preteky
Územia
Tipovačka
Tímovka
Môj účet
Odhlásiť sa
Rozhodovačka
Vektory: skalárny súčin
Precvičujte neobmedzeneVáš denný počet odpovedí je obmedzený. Pre navýšenie limitu alebo prístup do svojho účtu s licenciou sa prihláste.
Prihlásiť sa
GJ9
QR kód
Kód / krátka adresa
Skopírujte kliknutím.
Nastavenie cvičení
Pozor, nastavenie je platné iba pre toto cvičenie a predmet.
Vektory: skalárny súčin
Skalárny súčin vektorov \vec{u} a \vec{v} označujeme \vec{u}\cdot \vec{v}. Pre vektory \vec{u}, \vec{v} s veľkosťami \left| \vec{u} \right| a \left| \vec{v} \right|, ktoré spolu zvierajú uhol \alpha, je skalárny súčin definovaný nasledovne:
\vec{u}\cdot \vec{v}=\left| \vec{u} \right|\cdot\left| \vec{v} \right|\cdot \cos \alpha
Vlastnosti skalárneho súčinu
- Výsledkom skalárneho súčinu dvoch vektorov je číslo (teda skalár).
- Skalárny súčin nulového vektora s ľubovoľným iným vektorom je vždy rovný 0.
- Skalárny súčin vektorov, ktoré sú na seba kolmé, je tiež rovný nule.
Výpočet pomocí súradníc
Ak máme súradnice vektorov \vec{u}=(u_1;u_2), \vec{v}=(v_1;v_2), potom hodnota ich skalárneho súčinu je:
u_1\cdot v_1+u_2 \cdot v_2
Poznámka: ďalšie typy súčinu vektorov
Okrem skalárneho súčinu existujú aj iné typy súčinu vektorov (vektorový, zmiešaný), preto je dôležité písať o aký súčin ide.Príklad: skalárny súčin vektorov
Určite skalárny súčin vektorov, ak platí: \left| \vec{u} \right|=4, \left| \vec{v} \right|=3 a vektory zvierajú uhol 60°.
- Vzorec: \vec{u}\cdot \vec{v}=\left| \vec{u} \right|\cdot\left| \vec{v} \right|\cdot \cos \alpha
- Dosadíme známe hodnoty: \vec{u}\cdot \vec{v}=4\cdot3\cdot \cos 60°=4\cdot3\cdot\frac{1}{2}=6
Určenie uhla zvieraného dvomi vektormi
S využitím vzťahu pre skalárny súčin môžeme určiť uhol vektorov: \cos \alpha=\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\left| \vec{u} \right|\cdot\left| \vec{v} \right|}
Príklad: uhol zvieraný vektormi
Určite uhol vektorov \vec{u}=(3;3) a \vec{v}=(2;0).
- Platí \cos \alpha=\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\left| \vec{u} \right|\cdot\left| \vec{v} \right|}.
- Pomocou známych súradníc vektorov vieme vypočítať skalárny súčin \vec{u}\cdot\vec{v} a veľkosti vektorov \left| \vec{u} \right|, \left| \vec{v} \right|:
- \vec{u}\cdot \vec{v}=u_1\cdot v_1+u_2 \cdot v_2=3\cdot2+3\cdot0=6
- \left| \vec{u} \right|=\sqrt{u_1^2 + u_2^2}=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}
- \left| \vec{v} \right|=\sqrt{v_1^2 + v_2^2}=\sqrt{2^2+0^2}=\sqrt{4}
- Dosadíme tieto hodnoty do vzťahu pre výpočet \cos \alpha:
- \cos \alpha =\frac {6}{\sqrt{18}\cdot\sqrt{4}}=\frac{6}{3\sqrt{2}\cdot2}=\frac{1}{\sqrt{2}}
- Uhol vektorov je 60°.
Vektory: skalárny súčin (ťažké)
Vyriešené:
