Postupnosti a rady

Aritmetická postupnosť je matematická postupnosť, v ktorej je stály rozdiel medzi dvomi po sebe idúcimi členmi. Tento rozdiel sa väčšinou značí d a nazýva sa diferencia.

• rekurentný vzorec: a_n = a_{n-1} + d
• vzorec pre n-tý člen: a_n = a_1+ (n-1)\cdot d
• príklady:
  • 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... (a_1=1, d=2)
  • 20, 17, 14, 11, 8, ... (a_1=20, d=-3)
  • 300, 305, 310, 315, 320, ... (a_1=300, d=5)

Geometrická postupnosť je matematická postupnosť, v ktorej je stály pomer medzi dvomi po sebe idúcimi členmi. Tento podiel sa väčšinou značí q a nazýva sa kvocient.

• rekurentný vzorec: a_n = q \cdot a_{n-1}
• vzorec pre n-tý člen: a_n = q^{n-1}\cdot a_1
• príklady:
  • 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... (a_1=1, q=2)
  • 1000, 100, 10, 1, 0{,}1, 0{,}01, ... (a_1=1000, q=0,1)
  • 5, 15, 45, 135, 405, ... (a_1=5, q=3)
  • 8, -8, 8, -8, 8, -8, ... (a_1=8, q=-1)

Postupnosť je sada objektov, pri ktorých záleží na poradí a objekty sa môžu opakovať. Postupnosť môže byť konečná aj nekonečná. Členy postupnosti typicky zapisujeme pomocou indexov: a_n značí n-tý člen postupnosti a.

Postupnosti môžeme zapísať rôznymi spôsobmi:

• vymenovaním členov: a = (7, 10, 13, 16, 19, 22)
• vzorcom pre n-tý člen: a_n = 4 + 3\cdot n
• rekurentne (začiatok postupnosti a spôsob výpočtu ďalších členov z predchádzajúcich): a_1 = 7, a_n = a_{n-1} + 3

Príklady:

• 8, 18, 28, 38, 48, 58, … (aritmetická postupnosť s počiatočnou hodnotou 8 a diferenciou 10)
• 3, 6, 12, 24, 48, 96, … (geometrická postupnosť s počiatočnou hodnotou 3 a kvocientom 2)
• 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … (Fibonacciho postupnosť, a_n = a_{n-1} + a_{n-2})
• 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, … (periodická postupnosť)

Existuje celý rad zaujímavých postupností. Majú dokonca svoju vlastnú encyklopédiu.