Vzájomná poloha bodu a roviny

Určite, či body A=[3;4;2] a B=[1;3;0] ležia v rovine \alpha danej všeobecnou rovnicou 2x-y+3z+1=0.

• Do rovnice roviny dosadíme súradnice bodu A=[3;4;2].
• 2\cdot 3-4+3\cdot2+1=0\Rightarrow9\neq 0, teda bod A neleží v rovine \alpha.
• Do rovnice priamky dosadíme súradnice bodu B=[1;3;0].
• 2\cdot 1-3+3\cdot0+1=0\Rightarrow0=0, teda bod B leží v rovine \alpha.

Určite, či body A=[2;3;4] a B=[0;2;2] ležia v rovine \alpha danej parametrickými rovnicami:

\begin{array}{rrl}x&=&1-t+s\\y&=&2+t+s\\z&=&3-t+s\\&&t,s\in\mathbb{R}\end{array}

• Do rovníc roviny dosadíme súradnice bodu A=[1;3;4]: \begin{array}{rrrr}2&=&1-t+s\\3&=&2+t+s\\4&=&3-t+s\\\end{array}
• Z prvých dvoch rovníc určíme hodnoty t a s, dosadením do tretej rovnice zistíme, či sú nájdené hodnoty riešením sústavy a teda či bod leží na priamke:

1. prvú a druhú rovnicu sčítame: 5=3+2s\Rightarrow s=1
2. hodnotu s=1 dosadíme do prvej rovnice: 1=1-t+1\Rightarrow t=1
3. hodnoty s=1 a t=1 dosadíme do tretej rovnice: 4=3-1+1. Táto rovnosť neplatí, teda bod A neleží v rovine \alpha.

• Do rovníc roviny dosadíme súradnice bodu B=[0;-3;2]: \begin{array}{rrrr}0&=&1-t+s\\-3&=&2+t+s\\2&=&3-t+s\\\end{array}
• Z prvých dvoch rovníc určíme hodnoty t a s, dosadením do tretej rovnice zistíme, či sú nájdené hodnoty riešením sústavy a teda či bod leží na priamke:

1. prvú a druhú rovnicu sčítame: -3=3+2s\Rightarrow s=-3
2. hodnotu s=-3 dosadíme do prvej rovnice: 0=1-t-3\Rightarrow t=-2
3. hodnoty s=-3 a t=-2 dosadíme do tretej rovnice: 2=3-(-2)-3. Táto rovnosť platí, teda bod B leží v rovine \alpha.