Všeobecná rovnica roviny

GSP

viemeto.eu/GSP

Všeobecná rovnica roviny má tvar ax+by+cz+d=0, kde konštanty a, b, c sú súradnice normálového vektora a d reálne číslo. Normálový vektor \vec{n}=(a;b;c) je vektor kolmý na danú rovinu.

Všeobecná rovnica roviny určenej bodom a normálovým vektorom

Určite všeobecnú rovnicu roviny \alpha určenej bodom A=[-3;1;2] a normálovým vektorom \vec{n}=(2;3;-4).

Súradnice normálového vektora sú konštanty a, b, c vo všeobecnej rovnici roviny, preto všeobecná rovnica bude mať tvar: 2x+3y-4z+d=0
Konštantu d určíme dosadením súradníc bodu A=[-3;1;2] do všeobecnej rovnice: 2\cdot(-3)+3\cdot1-4\cdot 2+d=0\Rightarrow -11+d=0\Rightarrow d=11
Všeobecná rovnica roviny \alpha je: 2x+3y-4z+11=0

Všeobecná rovnica roviny danej bodom a rovnobežnej s inou rovinou

Všeobecná rovnica roviny \alpha, ktorá prechádza bodom A=[2;3;1] a je rovnobežná s rovinou \beta:3x+y+4z+1=0.

Dve rovnobežné roviny majú rovnaký normálový vektor, súradnice normálového vektoru sú súradnice a, b, c vo všeobecnej rovnici roviny.
Preto všeobecná rovnica hľadanej roviny \alpha bude mať tvar: 3x+y+4z+d=0
Konštantu d určíme dosadením súradníc bodu A=[2;3;1] do všeobecnej rovnice: 3\cdot2+3+4\cdot 1+d=0\Rightarrow 13+d=0\Rightarrow d=-13
Všeobecná rovnica roviny \alpha je: 3x+y+4z-13=0