
Ihlan

Ihlan je priestorový geometrický útvar, ktorý má jednu podstavu a plášť tvorený trojuholníkmi. Podstava ihlanu môže byť ľubovoľný mnohouholník (napríklad štvorec, obdĺžnik alebo trojuholník) a všetky bočné steny (plášť) sa stretávajú v jednom spoločnom bode nazývanom vrchol ihlanu. Príkladom ihlanov sú pyramídy zo starovekého Egypta, vypadajú zhruba ako ihlany so štvorcovou podstavou a štyrmi trojuholníkovými bočnými stenami.
Vzorce pre objem a povrch
Objem ihlanu V = \frac{1}{3} S_p \cdot v, kde S_p je obsah podstavy a v je výška ihlanu, čo je vzdialenosť vrcholu od roviny podstavy. (Veľkosť výšky ihlanu získame ako dĺžku úsečky, ktorá vedie od vrcholu k rovine podstavy a je kolmá na túto rovinu.)
Povrch ihlanu získame ako súčet obsahu podstavy a obsahu plášťa S_p (obsah plášťa je rovný súčtu obsahov všetkých bočných trojuholníkových stien ihlanu). Celkovo je povrch ihlanu S = S_p + S_{pl}, v prípade pravidelného šesťbokého ihlanu na obrázku je: S=Sp + 6 \cdot S_{\Delta}

Niektoré ihlany majú pravidelnú podstavu, vrchol umiestnený priamo nad stredom podstavy a všetky trojuholníkové steny z plášťa rovnaké, ale všeobecne sa môže výpočet obsahu každej z týchto trojuholníkových stien líšiť v závislosti od tvaru podstavy ihlanu.

Špeciálne prípady
Pravidelný štvorsten je ihlan, ktorého základňa aj všetky tri bočné steny sú rovnostranné trojuholníky. Je jedným z Platónskych telies.
Ak máme pravidelný štvorsten, ktorého steny sú rovnostranné trojuholníky s dĺžkou každej strany a, vieme si pomocou Pytagorovej vety vypočítať výšku každého z týchto rovnostranných trojuholníkov \frac{\sqrt{3}}{2} a.
Povrch pravidelného štvorstenu
- Obsah podstavy pravidelného štvorstenu so stranou s dĺžkou a je obsah jedného zo štyroch rovnakých rovnostranných trojuholníkov: S_p = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} a = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2.
- Povrch pravidelného štvorstenu so stranou dĺžky a je: 4 \cdot S_p = \sqrt{3} \cdot a^2
Objem pravidelného štvorstenu
- V rovnostrannom trojuholníku leží ťažnica na výškach a zároveň na osách vnútorných uhlov. Vrchol pravidelného štvorstenu leží na priamke, ktorá je kolmá k jeho podstave a pretína ju v ortocentre (čo je zároveň tiež ťažisko rovnostranného trojuholníka).
- Môžeme teda pomocou Pytagorovej vety vypočítať nie len výšku trojuholníkov, ktoré tvoria steny pravidelného štvorstenu, ale tiež výšku celého telesa:
- v^2 = a^2 - (\frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} a )^2 = (1-\frac{1}{\sqrt{3}})\cdot a^2
- v = \sqrt{(1-\frac{1}{\sqrt{3}})}\cdot a
- Objem pravidelného štvorstenu so stranou s dĺžkou a je:
- \frac{1}{3} S_p \cdot v = \frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \cdot \sqrt{(1-\frac{1}{\sqrt{3}})}\cdot a = \frac{1}{4\cdot \sqrt{3}}\cdot \sqrt{(1-\frac{1}{\sqrt{3}})}\cdot a^3
Pravidelný n-boký ihlan má ako podstavu pravidelný n-uholník, jeho plášť tvorí n rovnoramenných trojuholníkov. Napríklad podstava pravidelného štvorbokého ihlanu je štvorec, jeho plášť tvoria štyri rovnoramenné trojuholníky.

Zatvoriť