Výborne, je dosiahnutý %% štít
Zložené úročenie » Rozhodovačka »
Zložené úročenie
Rozhodovačka
Precvičujte neobmedzeneVáš denný počet odpovedí je obmedzený. Pre navýšenie limitu alebo prístup do svojho účtu s licenciou sa prihláste.
Prihlásiť sa
GWW
QR kód
Kód / krátka adresa
Skopírujte kliknutím.
Nastavenie cvičení
Pozor, nastavenie je platné iba pre toto cvičenie a predmet.
Zložené úročenie
Základné pojmy
Z jednoduchého úročenia už poznáme pojmy dlžník, veriteľ, istina, úrok, úroková miera, úrokovacie obdobie aj daň z úroku. Vieme, že dlžník zaplatí veriteľov za zapožičanie peňazí odmenu – úrok. Tiež vieme, že veľkosť úroku určuje pomocou percent úroková miera, ktorú je nutné vztiahnuť k úrokovaciemu obdobiu. A práve pri dlhšie trvajúcich dlhoch prichádza na scénu tzv. zložené úročenie.
Jednoduché vs. zložené úročenie
Ak si dlžník požičia 20 000 eur na dva roky s úrokovou mierou 10 % ročne, zvýši sa jeho dlh po prvom roku na 22 000 eur (20 000 istina + 2000 úrok). Nastáva ale otázka, či druhý rok počítať úrok zase iba z požičanej čiastky (teda zase z 20 000), alebo z aktuálnej dlžnej čiastky (navýšenej o minuloročný úrok, teda z 22 000). Prvý prípad popisuje už známe jednoduché úročenie. Úrok sa vypočítava vždy iba z istiny. Druhému prípadu sa hovorí zložené úročenie. Úrok sa vypočítava z aktuálnej dlžnej čiastky, teda z čiastky zvýšenej o úroky z minulých období.
| požičaná čiastka (istina) | úroková miera | úrok 1. rok | dlh po 1. roku | úrok 2. rok | dlh po 2. roku | |
| jednoduché úročenie | 20 000 eur | 10 % | 2000 eur | 22 000 eur | 2000 eur | 24 000 eur |
| zložené úročenie | 20 000 eur | 10 % | 2000 eur | 22 000 eur | 2200 Kč | 24 200 eur |
Jednoduché úročenie je teda výhodnejšie pre dlžníka (zaplatí menej na úrokoch). Zložené úročenie je výhodnejšie pre veriteľa (dostane od dlžníka viac na úrokoch).
Pripisovanie úrokov
Pri jednoduchom úročení sme narazili na to, že častejšie pripisovanie úrokov (napr. namiesto 6 % ročne mať 0,5 % mesačne) neprináša žiadny rozdiel v celkovej výške úrokov (6 = 12 \cdot 0{,}5). Pri zloženom úročení však rozdiel je. Ak sa budú úroky pripisovať častejšie, budú celkovo vyššie. Každý ďalší úrok sa totiž bude počítať z vyššieho základu.
Príklad – ročné vs. mesačné pripisovanie úrokov v prípade zloženého úročenia
Vezmeme už spomínaných 6 % ročne s mesačným pripisovaním 0,5 %. Počítame so zloženým úročením:
| ročné pripísanie úroku | mesačné pripisovanie úroku | |
| investovaná čiastka (istina): | 10 000 eur | 10 000 eur |
| úroková miera: | 6 % ročne | 0,5 % mesačne |
| 1. mesiac: | 10 000 eur | 10 050 eur |
| 2. mesiac: | 10 000 eur | 10 100,25 eur |
| 3. mesiac: | 10 000 eur | 10 150,75 eur |
| 4. mesiac: | 10 000 eur | 10 201,505 eur |
| … | … | … |
| rok: | 10 600 eur | 10 616,8 eur |
Pre istinu 10 000 eur by mesačné pripisovanie zdvihlo úroky o zhruba 16 eur oproti pripísaniu celého úroku 6 % raz za rok.
Zložené úročenie matematicky
Vypočítajme si, koľko celkovo peňazí na úrokoch dlžník zaplatí navyše. Vezmime si príklad, kedy veriteľ požičia dlžníkovi nejakú čiastku X a on ju chce vrátiť po n rokoch. Ročný úrok je p\ \%. Pri použití zloženého úročenia musí dlžník po n rokoch vrátiť X \cdot \left(1+ \dfrac{p}{100}\right)^n eur.
| investovaná čiastka (istina): | 30 000 eur | X eur |
| úroková miera: | 10 % | p % |
| dlh vrátane úrokov 1. rok: | 33 000 eur | X \cdot \left(1+\frac{p}{100}\right) |
| dlh vrátane úrokov 2. rok: | 36 300 eur | X \cdot \left(1+\frac{p}{100}\right)\cdot \left(1+\frac{p}{100}\right) |
| dlh vrátane úrokov 3. rok: | 39 930 eur | X \cdot \left(1+\frac{p}{100}\right)\cdot \left(1+\frac{p}{100}\right)\cdot \left(1+\frac{p}{100}\right) |
| dlh vrátane úrokov 4. rok: | 43 923 eur | X \cdot \left(1+\frac{p}{100}\right)\cdot \left(1+\frac{p}{100}\right)\cdot \left(1+\frac{p}{100}\right)\cdot \left(1+\frac{p}{100}\right) |
| dlh vrátane úrokov n. rok: | 30 000 \cdot 1{,}1^n eur | X \cdot \left(1+\frac{p}{100}\right)^n |
Všimnite si, že sa každý rok aktuálna čiastka násobí percentuálnym koeficientom, ide teda o geometrickú postupnosť.
Zhrnutie
Zložené úročenie má väčšinu dôležitých parametrov spoločných s jednoduchým úročením (úrokovú mieru, úrokovacie obdobie, interval pripisovania úrokov, daň z úroku). Dôležitým rozdielom je to, že výšku úroku vypočítavame vždy z aktuálnej dlžnej čiastky, ktorá už môže byť navýšená o predchádzajúce úroky. V prípade jednoduchého úročenia sa úrok počíta vždy iba z istiny. Vo svete financií narazíte v prípade väčšiny produktov práve na zložené úročenie.
Zložené vs. jednoduché úročenie (ťažké)
Teraz sa už môžu opakovať už vyriešené zadania.