Slovenčina
Angličtina
Informatika
Vieme to
Nemčina
Biológia
Zemepis
Chémia
Fyzika
Aritmetika
Zlomky, percentá, desatinné čísla
Geometria
Elementárna algebra
Funkcie
Jednotky, miery
Diskrétna matematika
Finančná gramotnosť
Rozhodovačka
Pexeso
Krok za krokom
Počítanie
Grafár
Porozumenie
Označovanie
Presúvanie
Mriežkovaná
Rozdeľovačka
Pokazená kalkulačka
Roboti
Strieľačka
Príšerky
Preteky
Územia
Tipovačka
Tímovka
Môj účet
Odhlásiť saVýpis prehľadov
Logika
Prechádzate súhrny informácií k určitým témam. Systémy Vieme sa zameriavajú hlavne na ich precvičovanie. K cvičeniam k jednotlivým podtémam sa dostanete pomocou odkazov nižšie.
Podkapitoly
Logika skúma spôsoby, ako vyvodzujeme závery z predpokladov. Logika pôvodne vznikla ako súčasť filozofie, neskôr sa výrazne rozvinula v matematike. Dnes má dôležité uplatnenie i v informatike.
Základ matematického poňatia logiky je výroková logika, v ktorej pracujeme s výrokmi (tvrdeniami, ktoré sú buď pravdivé, alebo nepravdivé) a logickými spojkami (a zároveň, alebo, negácia). Rozšírením výrokovej logiky je predikátová logika, v ktorej naviac používame kvantifikátory (existuje, pre každý).
Prehľad tém o logike dostupných na Vieme matiku:
| téma | obsah |
|---|---|
| Logické výroky | slovný zápis logických výrokov |
| Logika: pojmy a značenie | zápis výrokov pomocou logických spojok \wedge, \vee, \neg, \Rightarrow, \Leftrightarrow |
| Vyhodnocovanie logických výrazov | vyhodnocovanie pravdivosti logických výrazov zapísaných pomocou logických operácií |
| Úpravy logických výrazov | úprava a zjednodušenie logického výrazu podľa pravidiel práce s logickými operáciami |
| Kvantifikátory | obohatenie logických výrazov o existenčný a všeobecný kvantifikátor \exists, \forall |
| Dôkazy | exaktné matematické postupy, ako overiť platnosť logických výrokov |
V rámci systémov Vieme nájdete logiku tiež na informatike: logika na Vieme informatiku. Tam je dôraz kladený na logické spojky používané pri programovaní a na riešenie logických úloh.
HoreLogika: pojmy
Výroky
Výrok je veta, pri ktorom má zmysel otázka, či je pravdivý, alebo nepravdivý, pričom môže nastať len jedna z týchto možností.
Príklady výrokov:
- Mesto Košice leží na Slovensku. (pravdivý výrok)
- Košice sú hlavným mestom Slovenskej republiky. (nepravdivý výrok)
- Na Marse je zakopaný poklad. (výrok, ktorého pravdivosť nepoznáme)
Príklady viet, ktoré nie sú výroky: Si hladný? Bež do obchodu pre vajíčka.
Logické spojky
| Zápis | Názov | Význam |
|---|---|---|
| \neg A | negácia | neplatí A |
| A \wedge B | konjunkcia, a zároveň | A a B platia súčasne |
| A \vee B | disjunkcia, alebo | platí aspoň jedno z A a B |
| A \Rightarrow B | implikácia, ak-potom | ak platí A, potom platí aj B |
| A \Leftrightarrow B | ekvivalencia, práve keď | A platí práve vtedy, keď platí B |
Tautológia a kontradikcia
Tautológia je výroková formula, ktorá je vždy pravdivá. Príklady:
- A \vee \neg A (zákon vylúčenia tretieho)
- (A \Rightarrow B) \Leftrightarrow (\neg B \Rightarrow \neg A)
Kontradikcia je výroková formula, ktorá je vždy nepravdivá. Príkladom je formula A \wedge \neg A (zákon sporu).
Formula je splniteľná ak nie je kontradikciou.
HoreVyhodnocovanie logických výrazov
Pravdivostná tabuľka logických operácií
| A | B | A \vee B | A \wedge B | A \Rightarrow B | A \Leftrightarrow B |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Úpravy logických výrazov
Prepis implikácie a ekvivalencie
| Výrok | Ekvivalentný výrok | |
|---|---|---|
| A\Rightarrow B | \neg A\vee B | |
| A\Rightarrow B | \neg B\Rightarrow \neg A | |
| A\Leftrightarrow B | (A\wedge B)\vee (\neg A \wedge \neg B) |
Negovanie zložených výrokov
| Výrok | Ekvivalentný výrok | |
|---|---|---|
| \neg (\neg A) | A | |
| \neg (A\vee B) | \neg A\wedge \neg B | |
| \neg (A\wedge B) | \neg A\vee \neg B | |
| \neg (A\Rightarrow B) | A\wedge \neg B | |
| \neg (A\Leftrightarrow B) | (\neg A\wedge B)\vee(A \wedge \neg B) |
Pravidlá pre negáciu disjunkcie a konjunkcie (2. a 3. riadok tabuľky) sa nazývajú De Morganove zákony.
Analogické zákony ako pri počítaní s číslami
Pre logické operácie \wedge, \vee tiež platia komutatívne (1. a 2. riadok nasledujúcej tabuľky), asociatívne (3. a 4. riadok) a distributívne zákony (5. a 6. riadok):
| Výrok | Ekvivalentný výrok | |
|---|---|---|
| A \wedge B | B \wedge A | |
| A \vee B | B \vee A | |
| (A \wedge B) \wedge C | A \wedge (B \wedge C) | |
| (A \vee B) \vee C | A \vee (B \vee C) | |
| A \wedge (B \vee C) | (A \wedge B) \vee (A \wedge C) | |
| A \vee (B \wedge C) | (A \vee B) \wedge (A \vee C) |
Kvantifikátory
Kvantifikátory
| Značenie | Pojem | Význam |
|---|---|---|
| \exists x | existenčný kvantifikátor | existuje x, také že… |
| \forall x | všeobecný (univerzálny) kvantifikátor | pre každé x platí… |
Príklady výrokov s kvantifikátormi
Vlastnosť Číslo x je párne. môžeme vyjadriť ako Existuje celé číslo k také, že x = 2\cdot k. To môžeme zapísať ako \exists k \in \mathbb{Z}: × = 2\cdot k.
Výrok Ponorky (P) nemôžu lietať (L). môžeme zapísať ako \forall x: P(x) \Rightarrow \neg L(x).
V prípade zložitejších výrokov s viacerými kvantifikátormi si musíme dávať pozor na poradie kvantifikátorov:
- \exists x\in M\ \forall y \in M: y \leq x – existuje prvok v množine M, ktorý je väčší alebo rovný všetkým ostatným prvkom v M, teda výrok hovorí, že množina má najväčší prvok.
- \forall x\in M\ \exists y \in M: y \leq x – pre každý prvok v množine M existuje prvok x, ktorý je menší alebo rovný X. Pretože môžeme kľudne vybrať y=x, je to splnené pre každú množinu (pre pokročilých: teda len ak berieme do úvahy množiny čísel a \leq ako bežné usporiadanie na číslach).
Negácia výrokov s kvantifikátormi
Pri negovaní výrokov s kvantifikátormi meníme existenčný kvantifikátor na všeobecný (a naopak) a posúvame negáciu „dovnútra“. Príklad:
- Nie je pravda, že všetky mačky (M) sú čierne ( C ).
- \neg (\forall x: M(x) \Rightarrow C(x))
- Zmeníme všeobecný kvantifikátor na existenčný a znegujeme výrok.
- \exists x: \neg(M(x) \Rightarrow C(x))
- Teraz znegujeme implikáciu pomocou pravidla \neg(A \Rightarrow B) \Leftrightarrow (A \wedge \neg B).
- \exists x: M(x) \wedge \neg C(x)
- Existuje mačka, ktorá nie je čierna.
