Lineárnu lomenú funkciu môžeme vyjadriť ako podiel dvoch lineárnych funkcií, teda v tvare
f:y =\frac{ax+b}{cx+d},
kde a,b,c,d sú konštanty.
Definičným oborom lineárnej lomené funkcie je množina všetkých reálnych čísel okrem hodnoty, v ktorej by bol menovateľ zlomku \frac{ax+b}{cx+d} nulový:
D(f)=\mathbb{R} - \{-\frac{d}{c}\}
Úpravou podmienky pre nenulovosť menovateľa zlomku dostaneme vyjadrenie definičného oboru pomocou nerovnice: cx+d\neq0\Rightarrow x\neq -\frac{d}{c}
Kedy je funkcia nelineárna a nekonštantná (a graf je hyperbola, nie priamka)
Na to, aby f:y=\frac{ax+b}{cx+d} nebola lineárna ani konštantná funkcia, musí byť splnených niekoľko podmienok. Pre konštanty a,b,c,d musí platiť: c\neq0 a bc-ad\neq0.
- pre c=0 by sme mali lineárnu funkciu danú rovnicou y =\frac{a}{d}\cdot x+\frac{b}{d}
- pre bc-ad=0 by sme mali konštantnú funkciu y =\frac{a}{c}
Vysvetlenie podmienky bc-ad\neq0
| Pre lineárnu lomenú funkciu danú predpisom \frac{ax+b}{cx+d} vykonáme delenie čitateľa zlomku \frac{ax+b}{cx+d} jeho menovateľom: |
| \begin{array}{lrrrr} \hspace{0.3cm}(\hspace{0.4cm}ax+\hspace{0.47cm}b)&:&(cx+d)&=&\frac{a}{c}\\\underline{-( \frac{a}{c}\cdot cx+\frac{a}{c}\cdot d)\hspace{0.5cm}}& \\ \hspace{1.05cm}0+b-\frac{a}{c}\cdot d\\ \end{array} |
| Vyšiel nám teda podiel \frac{a}{c} a zvyšok b-\frac{a}{c}\cdot d. |
| Ak by platilo b-\frac{a}{c}\cdot d=0, mohli by sme funkciu y =\frac{ax+b}{cx+d} zapísať zjednodušene v tvare y =\frac{a}{c} a to nie je lineárna lomená funkcia, ale konštantná funkcia. |
| Aby sme mali lineárnu lomenú funkciu, musí teda platiť b-\frac{a}{c}\cdot d\neq0. Túto podmienku môžeme vynásobením oboch strán hodnotou c upraviť na tvar: bc-ad\neq0 |
Špeciálnym prípadom lineárnej lomenej funkcie je nepriama úmernosť vyjadrená v tvare y =\frac{k}{x}.
