Ďakujeme za vaše hodnotenie.

Vzájomná poloha bodu a roviny

GSR

viemeto.eu/GSR

Bod leží v rovine, ak jeho súradnice vyhovujú rovnici roviny. Ak je rovina daná všeobecnou rovnicou, po dosiahnutí súradnic bodu do rovnice roviny nastane rovnosť. Ak je rovina daná parametricky, po dosiahnutí súradníc bodu dostaneme sústavu troch rovníc pre dve neznáme, ktorá má presne jedno riešenie.

Bod a rovina daná všeobecnou rovnicou

Určite, či body A=[3;4;2] a B=[1;3;0] ležia v rovine \alpha danej všeobecnou rovnicou 2x-y+3z+1=0.

Do rovnice roviny dosadíme súradnice bodu A=[3;4;2].
2\cdot 3-4+3\cdot2+1=0\Rightarrow9\neq 0, teda bod A neleží v rovine \alpha.
Do rovnice priamky dosadíme súradnice bodu B=[1;3;0].
2\cdot 1-3+3\cdot0+1=0\Rightarrow0=0, teda bod B leží v rovine \alpha.

Bod a rovina daná parametricky

Určite, či body A=[2;3;4] a B=[0;2;2] ležia v rovine \alpha danej parametrickými rovnicami:

\begin{array}{rrl}x&=&1-t+s\\y&=&2+t+s\\z&=&3-t+s\\&&t,s\in\mathbb{R}\end{array}

Do rovníc roviny dosadíme súradnice bodu A=[1;3;4]: \begin{array}{rrrr}2&=&1-t+s\\3&=&2+t+s\\4&=&3-t+s\\\end{array}
Z prvých dvoch rovníc určíme hodnoty t a s, dosadením do tretej rovnice zistíme, či sú nájdené hodnoty riešením sústavy a teda či bod leží na priamke:

prvú a druhú rovnicu sčítame: 5=3+2s\Rightarrow s=1
hodnotu s=1 dosadíme do prvej rovnice: 1=1-t+1\Rightarrow t=1
hodnoty s=1 a t=1 dosadíme do tretej rovnice: 4=3-1+1. Táto rovnosť neplatí, teda bod A neleží v rovine \alpha.

Do rovníc roviny dosadíme súradnice bodu B=[0;-3;2]: \begin{array}{rrrr}0&=&1-t+s\\-3&=&2+t+s\\2&=&3-t+s\\\end{array}
Z prvých dvoch rovníc určíme hodnoty t a s, dosadením do tretej rovnice zistíme, či sú nájdené hodnoty riešením sústavy a teda či bod leží na priamke:

prvú a druhú rovnicu sčítame: -3=3+2s\Rightarrow s=-3
hodnotu s=-3 dosadíme do prvej rovnice: 0=1-t-3\Rightarrow t=-2
hodnoty s=-3 a t=-2 dosadíme do tretej rovnice: 2=3-(-2)-3. Táto rovnosť platí, teda bod B leží v rovine \alpha.