Výpis prehľadov
Exponenciálne a logaritmické funkcie
Podkapitoly
Exponenciálne funkcie
Funkcia je exponenciálna iba vtedy, keď ju je možné vyjadriť v tvare y= a^x, kde a je konštanta. Konštanta a sa nazýva základ a môže to byť akékoľvek kladné reálne číslo okrem hodnoty 1, teda a\in (0,1)\cup (1,\infty). Výraz x je exponent. Definičným oborom exponenciálnej funkcie je množina všetkých reálnych čísel, oborom hodnôt je množina všetkých kladných reálnych čísel. V bežnej reči používame pojem exponenciálny rast, ak chceme povedať, že niečo veľmi rýchlo rastie, napríklad počty chorých pri epidémii.
Príklad: exponenciálny rast
Nákazlivá choroba sa šíri exponenciálne. Ak si zoberieme exponenciálnu funkciu so základom a=2, znamená to, že každý chorý nakazí ďalších dvoch ľudí. Šírenie choroby sa dá dobre znázorniť obrázkom:
Vlastnosti exponenciálnych funkcií
Pre exponenciálnu funkciu f:y =a^x platí:
- definičný obor D(f)=\R
- obor hodnôt H(f)=(0, \infty)
- je prostá
- nie je periodická
- nie je párna ani nepárna
- nemá maximum ani minimum
- je zdola ohraničená
Ďalšie vlastnosti závisia od hodnoty koeficientu a:
- pre a>1 je exponenciálna funkcia rastúca
- pre a\in (0,1) je exponenciálna funkcia klesajúca
Príklad: vlastnosti funkcie f\!: y =3^x
- definičný obor D(f)=\R
- obor hodnôt H(f)=(0, \infty)
- je prostá
- je zdola ohraničená
- je rastúca
Príklad: vlastnosti funkcie f\!: y=\left (\frac{1}{2}\right)^x
- definičný obor D(f)=\R
- obor hodnôt H(f)=(0, \infty)
- je prostá
- je zdola ohraničená
- je klesajúca
Logaritmické funkcie
Funkcia je logaritmická, ak ju je možné vyjadriť v tvare y=\log_a x, kde a je konštanta. Konštanta a sa nazýva základ a môže to byť akékoľvek kladné reálne číslo okrem hodnoty 1, teda a\in (0,1)\cup (1,\infty). Výraz x je argument.
Definičným oborom logaritmickej funkcie je množina všetkých kladných reálnych čísel, oborom hodnôt je množina všetkých reálnych čísel.
HoreVlastnosti logaritmických funkcií
Pre logaritmickú funkciu y=\log_ax platí:
- definičný obor D(f)=(0, \infty)
- obor hodnôt H(f)=\R
- je prostá
- nie je periodická
- nie je párna ani nepárna
- nemá maximum ani minimum
- nie je ohraničená
Ďalšie vlastnosti závisia od hodnoty koeficientu a:
- pre a>1 je logaritmická funkcia rastúca
- pre a\in (0,1) je logaritmická funkcia klesajúca
Príklad: vlastnosti funkcie y=\log_2 x
- definičný obor D(f)=(0, \infty)
- obor hodnôt H(f)=\R
- je prostá
- je rastúca
Príklad: vlastnosti funkcie y=\log_{\frac{1}{2}} x
- definičný obor D(f)=(0, \infty)
- obor hodnôt H(f)=\R
- je prostá
- je klesajúca
Príklad: vlastnosti funkcie y=\log_3 (x+2)
- definičný obor: D(f)=(-2, \infty) … výraz v logaritme musí byť kladný, teda musí platiť: x+2>0\Rightarrow x>-2
- obor hodnôt H(f)=\R
- je prostá
- je rastúca
- priesečník grafu s osou x je bod [-1,0] … nájdeme ako riešenie logaritmickej rovnice: 0=\log_3(x+2). Podľa pravidiel pre počítanie s logaritmami musí platiť: 3^0=x+2\Rightarrow 1=x+2\Rightarrow x=-1
