Slovenčina
Angličtina
Informatika
Vieme to
Nemčina
Biológia
Zemepis
Chémia
Aritmetika
Zlomky, percentá
Geometria
Elementárna algebra
Funkcie
Jednotky, miery
Diskrétna matematika
Finančná gramotnosť
Rozhodovačka
Pexeso
Krok po kroku
Počítanie
Grafár
Porozumenie
Mriežkovaná
Rozdeľovačka
Pokazená kalkulačka
Roboti
Strieľačka
Príšerky
Preteky
Územia
Tipovačka
Tímovka
Predchádzajúce
Cvičenie
Elipsa je množina všetkých bodov v rovine, ktoré majú od dvoch rôznych bodov (ohnísk) stály súčet vzdialeností 2a, ktorý je väčší než vzdialenosť ohnísk.
Stredová rovnica elipsy
Tvar stredovej rovnice elipsy so stredom S[m;n] s veľkosťami hlavnej a vedľajšej polosi a a b závisí od polohy hlavnej osi:
hlavná os je rovnobežná s osou x, rovnica je v tvare: \frac{(x-m)^2}{a^2} +\frac{(y-n)^2}{b^2}=1
hlavná os je rovnobežná s osou y, rovnica je v tvare: \frac{(x-m)^2}{b^2} +\frac{(y-n)^2}{a^2}=1
Návod: ako z rovnice zistiť, s ktorou súradnicovou osou je rovnobežná hlavná os elipsy
- Pozrieme sa do menovateľov.
- Väčší menovateľ je druhá mocnina veľkosti hlavnej polosi (a menší menovateľ je druhá mocnina veľkosti vedľajšej polosi).
- Premenná v danom čitateli (zlomku s väčším menovateľom) potom určuje, s ktorou osou je hlavná os elipsy rovnobežná.
- Stručne povedané: ak je väčšie číslo napríklad v menovateli s premennou x, je hlavná os rovnobežná s osou x.
Príklad: určenie stredovej rovnice elipsy s daným stredom, veľkosťami polôs a smerom hlavnej osi
Určite stredovú rovnicu elipsy so stredom v bode S[-2;3], je‑li a=3, b=2 ak hlavná os je rovnobežná s osou y.
- Stredová rovnica je v tvare \frac{(x-m)^2}{b^2} +\frac{(y-n)^2}{a^2}=1.
- Dosadíme súradnice stredu a veľkosti hlavnej a vedľajšej polosi. Pri dosadení si dáme pozor na to, že súradnice stredu odčítame: \frac{(x-(-2))^2}{2^2} +\frac{(y-3)^2}{3^2}=1
- Po úprave: \frac{(x+2)^2}{4} +\frac{(y-3)^2}{9}=1
Všeobecná rovnica elipsy
Podobne ako existuje niekoľko rovníc priamky, môžeme aj rovnicu elipsy zapísať iným spôsobom. Všeobecná rovnica elipsy je v tvare:
Ax^2 +By^2+Cx+Dy+E=1, A\ne B, A\cdot B>0.
Každá rovnica v tomto tvare ale nemusí byť všeobecnou rovnicou elipsy. Praktické overenie, či ide o elipsu vykonávame prevedením na stredovú rovnicu.
Príklad: určuje daná rovnica elipsu?
Rozhodnite, či rovnica x^2+3y^2+8x-18y+31=0 určuje elipsu.
- Najskôr si usporiadame členy: x^2+8x+3y^2-18y+31=0.
- Z členov s premennou y vytkneme 3: x^2+8x+3(y^2-6y)+31=0
- K obom stranám rovnice pripočítame konštanty 16 a 27, aby sme členy s premennými x a y mohli upraviť podľa vzťahu (a\pm b)^2=a^2 \pm 2ab +b^2.
- Máme: x^2+8x+16+3(y^2-6y+9)+31=16+27
- A upravíme: (x+4)^2 +3(y-3)^2+31=43
- Prevedieme konštantu 31 na druhú stranu rovnice: (x+4)^2 +3(y-3)^2=12
- Na záver rovnicu vydelíme 12: \frac{(x+4)^2}{12} +\frac{(y-3)^2}{4}=1
- Ide teda o elipsu.
Elipsa a priamka
- priamka s pretína elipsu v dvoch bodoch – sečnica elipsy
- priamka t pretína elipsu v jednom bode – dotyčnica elipsy
- priamka v elipsu nepretína – vonkajšia priamka elipsy
Rovnice dotyčnice elipsy v bode, ktorý leží na elipse
Elipsa daná rovnicou \frac{(x-m)^2}{a^2} +\frac{(y-n)^2}{b^2}=1 má v bode T[x_0;y_0] dotyčnicu určenú rovnicou:
\frac{(x-m)(x_0-m)}{a^2} +\frac{(y-n)(y_0-n)}{b^2}=1
Podobne môžeme zapísať aj rovnicu dotyčnice elipsy, ktorá má hlavnú os rovnobežnú s osou y.
Príklad: určenie rovnice dotyčnice elipsy v jej danom bode
Určite rovnicu dotyčnice elipsy \frac{(x-2)^2}{9} +\frac{(y-2)^2}{18}=1 v jej bode T[1;-2].
- Overíme, či bod T leží na elipse: \frac{(1-2)^2}{9} +\frac{(-2-2)^2}{18}=1 \Rightarrow \frac19+\frac{16}{18}=1 \Rightarrow 1=1
- Dotyčnica má rovnicu \frac{(x-m)(x_0-m)}{b^2} +\frac{(y-n)(y_0-n)}{a^2}=1
- Dosadíme súradnice bodu T: \frac{(x-2)(1-2)}{9} +\frac{(y-2)(-2-2)}{18}=1
- Zbavíme sa zlomkov: 2(x-2)\cdot(-1) +(y-2)\cdot(-4)=18
- Roznásobíme zátvorky: -2x+4 -4y+8=18
- A dostaneme všeobecnú rovnicu dotyčnice: x+2y+3=0
Presúvanie
Presúvanie kartičiek na správne miesto. Jednoduché ovládanie, zaujímavé a neotrepané úlohy.
Elipsa: stredová rovnica (stredné)
Zadaní: 12
Typicky zaberie: 5 min
