Vzdialenosť bodu od priamky

Určite vzdialenosť bodu M=[5;2] od priamky p:4x+3y-1=0.

• Priamka k, ktorá prechádza bodom M a je kolmá na priamku p má smerový vektor kolineárny s normálovým vektorom priamky p.
• Súradnice smerového vektora priamky k sú: \vec{u}=(4;3).
• Priamka k má parametrické vyjadrenie: p:X=M+t\vec{u}
• p:\begin{array}{rrl}x&=&5+4t\\y&=&2+3t\\&&t\in\mathbb{R}\end{array}
• Súradnice priesečníka P priamky k s priamkou p určíme dosadením parametrického vyjadrenia priamky k do všeobecnej rovnice priamky p.

\begin{array}{rrl}4(5+4t)+3(2+3t)-1&=&0\\20+16t+6+9t-1&=&0\\25+25t&=&0\Rightarrow t=-1\end{array}

• Priesečník priamok k a p je bod P=[1;-1].
• Vzdialenosť bodu M od priamky p je dĺžka úsečky PM:
• Vzorec pre dĺžku úsečky: d=\sqrt{(x_M-x_P)^2+(y_M-y_P)^2}
• Dosadíme súradnice bodov M,P: d=\sqrt{(5-1)^2+(2-(-1))^2}=\sqrt{16+9}=5

Určite vzdialenosť bodu M=[5;2] od priamky p:4x+3y-1=0 s využitím vzorca.

• Dosadíme do vzorca d=\frac{\left| am_1+bm_2+c \right|}{\sqrt{a^2+b^2}} súradnice bodu M=[5;2] a koeficienty a a b zo všeobecnej rovnice priamky.
• Všeobecná rovnica pre p je 4x+3y-1=0, teda a=4 a b=3.
• Máme: d=\frac{\left| 4\cdot5+3\cdot2-1\right|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{25}{\sqrt{25}}=5

Určite vzdialenosť rovnobežiek p:2x-4y+3=0 a q:x-2y+1=0.

• Určíme súradnice jedného bodu (M) na priamke q tak, že jednu súradnicu zvolíme a druhú dopočítame.
• Zvolíme napríklad súradnicu y=0, potom x-2\cdot0+1=0\Rightarrow x=-1
• Dosadíme do vzorca d=\frac{\left| am_1+bm_2+c \right|}{\sqrt{a^2+b^2}} súradnice bodu M=[-1;0] a koeficienty a a b zo všeobecnej rovnice priamky p.
• Všeobecná rovnica pre p je 2x-4y+3=0, teda a=2 a b=-4.
• Máme: d=\frac{\left| 2\cdot(-1)-4\cdot0+3\right|}{\sqrt{2^2+(-4)^2}}=\frac{1}{\sqrt{20}}
• Vzdialenosť rovnobežiek p a q je: d=\frac{1}{\sqrt{20}}