Kvantifikátory

Príklady výrokov s kvantifikátormi

Vlastnosť Číslo x je párne. môžeme vyjadriť ako Existuje celé číslo k také, že x = 2\cdot k. To môžeme zapísať ako \exists k \in \mathbb{Z}: × = 2\cdot k.

Výrok Ponorky (P) nemôžu lietať (L). môžeme zapísať ako \forall x: P(x) \Rightarrow \neg L(x).

V prípade zložitejších výrokov s viacerými kvantifikátormi si musíme dávať pozor na poradie kvantifikátorov:

• \exists x\in M\ \forall y \in M: y \leq x – existuje prvok v množine M, ktorý je väčší alebo rovný všetkým ostatným prvkom v M, teda výrok hovorí, že množina má najväčší prvok.
• \forall x\in M\ \exists y \in M: y \leq x – pre každý prvok v množine M existuje prvok x, ktorý je menší alebo rovný X. Pretože môžeme kľudne vybrať y=x, je to splnené pre každú množinu (pre pokročilých: teda len ak berieme do úvahy množiny čísel a \leq ako bežné usporiadanie na číslach).

Negácia výrokov s kvantifikátormi

Pri negovaní výrokov s kvantifikátormi meníme existenčný kvantifikátor na všeobecný (a naopak) a posúvame negáciu „dovnútra“. Príklad:

• Nie je pravda, že všetky mačky (M) sú čierne ( C ).
• \neg (\forall x: M(x) \Rightarrow C(x))
• Zmeníme všeobecný kvantifikátor na existenčný a znegujeme výrok.
• \exists x: \neg(M(x) \Rightarrow C(x))
• Teraz znegujeme implikáciu pomocou pravidla \neg(A \Rightarrow B) \Leftrightarrow (A \wedge \neg B).
• \exists x: M(x) \wedge \neg C(x)
• Existuje mačka, ktorá nie je čierna.