Desatinné čísla

Desatinné číslo je spôsob zápisu čísla pomocou celej časti a desatinnej časti, ktorá je oddelená desatinnou čiarkou. Napríklad v zápise 154,28 je 154 celá časť a 28 desatinná časť. Na prvom mieste za desatinou čiarkou sú desatiny, na druhom stotiny, na treťom tisíciny.

Pomocou desatinných čísel vyjadrujeme čísla, ktoré nie sú „celé“. Napríklad ak rozdelíme 6 koláčov spravodlivo medzi 4 deti, dostane každé dieťa „jeden a pol“ koláča, čo zapisujeme ako 1,5.

Poznámka k zápisu desatinných čísel: v slovenčine sa používa desatinná čiarka. V anglofónnom svete sa používa desatinná bodka, namiesto 154,28 sa teda píše 154.28. Tento spôsob zápisu sa používa vo výpočtovej technike po celom svete.

Pomocou desatinných čísel vyjadrujeme čísla, ktoré nie sú „celé“. Príklad: Ak rozdelíme 6 koláčov spravodlivo medzi 4 deti, dostane každé dieťa „jeden a pol“ koláča, čo zapisujeme ako 1,5.

Táto téma sa zaoberá základným porozumením desatinným číslam:

• Desatinné čísla slovom – prevod medzi slovným pomenovaním a číselným zápisom
• ⁠⁠⁠Porovnávanie desatinných čísel – porovnávanie kladných aj záporných čísel s desatinnou časťou
• Zaokrúhľovanie desatinných čísel – zaokrúhľovanie čísel na rôzne počty desatinných miest
• Desatinné čísla na číselnej osi – dobrá predstava o umiestnení čísel na číselnú os pomáha aj s inými operáciami (napr. zaokrúhľovanie a porovnanie)

Nadväzujúca téma potom rieši výpočty s desatinnými číslami.

Desatinné čísla môžeme čítať mnohými rôznymi spôsobmi. Prvým je „priamočaré čítanie“, kedy namiesto „čiarka“ hovoríme „celé“. Desatinnú časť môžeme prečítať ako jedno číslo, alebo vymenovať po cifrách:

Ďalej môžeme desatinné číslo prečítať pomocou desatín, stotín, tisícin:

Niekedy môžeme tiež desatinné číslo pomenovať podľa zlomku, ktorý predstavuje:

Pri porovnávaní desatinných čísel nájdeme tú „najdôležitejšiu“ časť v ktorej sú rozdielne a podľa nej porovnávame. Najskôr teda porovnávame celú časť. Ak sú celé časti zhodné, porovnávame desatiny, následne stotiny, tisíciny a tak ďalej. Nesmieme tiež zabudnúť skontrolovať znamienko, ktoré má rovnaký vplyv ako v prípade celých čísel. Príklady:

• 15{,}3 < 17{,}9987 – líši sa celá časť, takže pre účely porovnania môžeme desatinné miesta úplne ignorovať.

• 0{,}2 > 0{,}17 – celá časť je rovnaká, rozhodujeme teda podľa desatín, kde 2>1. Pri príkladoch tohto typu sa často robia chyby, pretože to vyzerá, že 17 > 2, čo je však chybná úvaha. Pre lepšiu predstavu si môžeme doplniť z pravej strany nulu: 0{,}20 > 0{,}17.

• 3{,}21 > -3{,}22 – tu vôbec nehrajú rolu desatinné miesta, pretože prvé číslo je kladné a druhé záporné.

• -4{,}2791 < -4{,}2758 – porovnávanie vykonávame podľa cifier na pozícii tisícin (9 a 5), výsledok je „naopak“, pretože ide o záporné čísla.

Zaokrúhľovanie desatinných čísel funguje podobne ako zaokrúhľovanie celých čísel, pracujeme však aj s časťou za desatinnou čiarkou. Pri desatinných číslach je téma zaokrúhľovania obzvlášť dôležitá, pretože sa jej občas nemôžeme vyhnúť – niektoré čísla v desiatkovej sústave totiž nie je možné presne zapísať, napríklad \frac{1}{3} = 0{,}3333\ldots, \sqrt{2} = 1{,}4142\ldots, \pi = 3{,}14159\ldots

Zaokrúhľovanie na desatiny znamená, že číslo nahradíme najbližším násobkom čísla 0,1 (teda číslom s jednou cifrou za desatinnou čiarkou). Zaokrúhľovanie na stotiny znamená, že číslo nahradíme najbližším násobkom čísla 0,01 (teda číslom s dvomi ciframi za desatinnou čiarkou). Podobne zaokrúhľujeme aj s vyššou presnosťou. Rovnako ako pri zaokrúhľovaní celých čísel aj pri desatinných číslach zaokrúhľujeme čísla končiace sa číslicou 5 nahor. Príklady:

• 3,628 zaokrúhlené na desatiny je 3,6.

• 3,628 zaokrúhlené na stotiny je 3,63.

• 12,25 zaokrúhlené na desatiny je 12,3.

• 4,8975 zaokrúhlené na celé číslo je 5.

• 84,15 zaokrúhlené na desiatky je 80 (pozor na rozdiel medzi zaokrúhľovaním na „desatiny“ a „desiatky“).

Podobne ako pri iných číselných osiach, prvý krok je určiť, aké sú rozostupy medzi značkami na číselnej osi. Pri práci s desatinnými číslami býva často rozostup 0,1 (jedna desatina), ale nemusí to tak byť vždy.

Príklad:

Táto téma sa zaoberá aritmetickými operáciami s desatinnými číslami:

Sčítanie a odčítanie desatinných čísel

• Pri sčítaní a odčítaní desatinných čísel je dôležité zarovnať čísla podľa desatinnej čiarky.
• 3{,}75 + 1{,}2 = 4{,}95

Násobenie desatinných čísel

• Pri násobení desatinných čísel násobíme rovnako ako celé čísla a potom správne umiestnime desatinnú čiarku v závislosti od počtu desatinných miest.
• 1{,}2 \times 3{,}4 = 4{,}08

Delenie desatinných čísel

• Pri delení desatinných čísel sa môžeme desatinnej časti zbaviť tak, že delenec aj deliteľ vynásobíme dostatočne veľkou mocninou desiatky. Následne potom čísla delíme rovnako ako prirodzené čísla.
• 4{,}5 : 1{,}5 = 45 : 15 = 3

Desatinné čísla a zlomky

• Zlomky prevedieme na desatinné čísla tak, že čitateľ vydelíme menovateľom. Naopak desatinné číslo je možné previesť na zlomok pomocou roznásobenia mocninami desiatky.
• \frac{2}{5} = 2 : 5 = 0{,}4
• 0{,}25 = 0{,}25 \cdot\frac{100}{100} = \frac{25}{100}, čo po vykrátení dáva \frac{1}{4}

Kombinácie operácií s desatinnými číslami

• Zadanie kombinujúce rôzne aritmetické operácie s desatinnými číslami.

Pri sčítaní a odčítaní desatinných čísel postupujeme rovnako ako pri bežnom sčítaní a odčítaní, čísla len musíme mať „zarovnané“ podľa desatinnej čiarky. Vhodnou pomôckou (hlavne pri sčítaní a odčítaní pod sebou) môže byť doplniť si nuly z pravej strany, aby mali obe čísla rovnaký počet cifier za desatinnou čiarkou. Príklady:

• 1{,}2+2{,}3 = 3{,}5

• 3{,}457+4{,}2 = 3{,}457+4{,}200 = 7{,}657

• 1{,}3-0{,}8 = 0{,}5

• 0{,}001+0{,}01+0{,}1 = 0{,}001+0{,}010+0{,}100 = 0{,}111

• 2{,}01-0{,}1 = 2{,}01 - 0{,}10 = 1{,}91

Násobenie desatinných čísel môžeme vykonať nasledujúcim spôsobom: 1) Obe čísla vynásobíme, ako keby desatinnú čiarku vôbec nemali. 2) Do výsledku umiestnime desatinnú čiarku tak, aby mal výsledok toľko desatinných miest ako oba činitele spolu. Tento postup zodpovedá násobeniu a následnému deleniu mocninami desiatky. Príklady:

• 5 \cdot 0{,}4 – násobíme 5\cdot 4 = 20, výsledok posunieme o 0+1=1 desatinné miesto, dostávame 2{,}0.

• 2{,}5 \cdot 0{,}05 – násobíme 25\cdot 5=125, výsledok posunieme o 1+2=3 desatinné miesta, dostávame 0,125.

• 0{,}9 \cdot 0{,}8 – násobíme 9\cdot 8=72, výsledok posunieme o 1+1=2 desatinné miesta, dostávame 0,72.

Výsledok je dobré skontrolovať rýchlym odhadom pomocou zaokrúhlených čísel. Napríklad pri násobení 0{,}9 \cdot 0{,}8 sú oba činitele „trochu menšie než 1“, takže aj výsledok by mal byť „trochu menší než 1\cdot 1“, pri násobení 4{,}92\cdot 3{,}06 môžeme ľahko odhadnúť, že výsledok by mal byť približne 5\cdot 3=15.

Pri delení desatinných čísel sa môžeme desatinnej časti ľahko zbaviť tak, že delenec aj deliteľ vynásobíme dostatočne veľkou mocninou desiatky. Následne potom čísla delíme rovnako ako prirodzené čísla. Príklady:

• 8:0{,}2 = 80:2 = 40
• 1:0{,}05 = 100:5 = 20
• 2{,}5:2 = 25:20 = 1{,}25

Prevod desatinného čísla na zlomok

Desatinné číslo roznásobíme pomocou mocniny desiatky tak, aby sme sa „zbavili“ desatinnej čiarky. Potom zlomok vykrátime (najväčším spoločným deliteľom), aby sme dostali zlomok v základnom tvare. Príklady:

• 1{,}5 = 1{,}5\cdot \frac{10}{10} = \frac{1{,}5\cdot 10}{10} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}

• 1{,}25 = 1{,}25 \cdot \frac{100}{100} = \frac{1{,}25\cdot 100}{100} = \frac{125}{100} = \frac{5}{4}

Počítanie nám môže uľahčiť, keď si zapamätáme niektoré užitočné prevody, s pomocou ktorých môžme vyriešiť aj ďalšie príklady:

• 0{,}01 = \frac{1}{100}

• 0{,}1 = \frac{1}{10}

• 0{,}2 = \frac{1}{5}

• 0{,}25 = \frac{1}{4}

• 0{,}333\ldots = \frac{1}{3}

• 0{,}5 = \frac{1}{2}

Prevod zlomku na desatinné číslo

Význam zlomku je jednoducho podiel čitateľa a menovateľa. Zlomok teda vyjadríme ako desatinné číslo jednoducho tak, že vydelíme čitateľ menovateľom (môže sa nám hodiť postup pre „delenie pod sebou“). Príklady:

• \frac{3}{4} = 3:4 = 0{,}75

• \frac{6}{5} = 6:5 = 1{,}2

• \frac{3}{20} = 3:20 = 0{,}15