Logaritmus

Logaritmus je inverzná operácia k umocňovaniu. Logaritmus kladného čísla x pri základe a je také reálne číslo y = \log_a(x), pre ktoré platí a^y = x. Číslo a sa nazýva základ logaritmu (báza).

Logaritmus so základom e=2{,}71828182... (Eulerovo číslo) sa nazýva prirodzený logaritmus a značí sa väčšinou \ln.

Logaritmus so základom 10 sa nazýva dekadický logaritmus (a niekedy sa značí \mathit{lg}).

Logaritmy majú veľmi široké využitie v mnohých oblastiach matematiky. Historicky sa využívali ako užitočná počítacia pomôcka („logaritmické pravítko“), ktorá využívala fakt, že logaritmus súčinu je súčet logaritmov. Dnes na logaritmy často narazíme napríklad v informatike pri návrhu a analýze algoritmov.

Vlastnosti logaritmov:

• Logaritmus je definovaný len pre kladné čísla.
• Logaritmus so základom 1 nie je definovaný.
• Logaritmus jednotky je nula, \log_a(1)=0.
• Logaritmus s rovnakým základom a argumentom je 1, \log_a{a}=1.
• Logaritmus súčinu je súčet logaritmov, \log_a(x\cdot y)=\log_a{x}+\log_a{y}.
• Logaritmus podielu je rozdiel logaritmov, \log_a\left(\frac{x}{y}\right)=\log_a{x}-\log_a{y}.
• Logaritmus je inverzná funkcia k exponenciálnej funkcii s rovnakým základom, \log_a{x}=y \Leftrightarrow a^y=x.
• Logaritmus mocniny je súčin exponentu a logaritmu základu mocniny, \log_a(x^n)=n\log_a{x}.

Graf logaritmu so základom 2:

Logaritmus kladného čísla x pri základe a je také reálne číslo y = \log_a(x), pre ktoré platí a^y = x. Príklady:

Niektoré základné vlastnosti logaritmov vyjadrené pomocou vzorcov:

• \log_a(a)=1
• \log_a(1)=0
• \log_a(x\cdot y) = \log_a(x) + \log_a(y) (logaritmus súčinu je súčet logaritmov)
• \log_a(\frac{x}{y}) = \log_a(x) - \log_a(y) (logaritmus podielu je rozdiel logaritmov)
• \log_a(x^k)=k\log_a(x)
• \log_a(x)=\frac{\log_b(x)}{\log_b(a)}