Priestorová predstavivosť

Priestorová predstavivosť nám pomáha vnímať a rozumieť tvarom okolo nás, či už na papieri alebo v skutočnom svete. Precvičovanie je delené do viac podtém rôznych náročností:

• Priestorová predstavivosť v rovine – práca s tvarmi na plochej rovine
• Priestorová predstavivosť: 3D objekty – schopnosť predstaviť si, ako vyzerá trojrozmerné teleso z iného uhla pohľadu
• Nárys, pôdorys, bokorys – rôzne spôsoby zobrazenia objektov
• Počty vrcholov, stien, hrán – počítanie základných prvkov priestorových telies
• Sieť kocky – skladanie kocky z plochých častí
• Siete telies – nadväzuje na predchádzajúcu tému a zaoberá sa aj zložitejšími 3D telesami
• Rezy kocky – rezanie kocky rovinou
• Rezy telies – rezanie ďalších priestorových telies

Predstavivosť v rovine využívame bez toho, aby sme si to uvedomili, v každodennom živote – pri orientácii v meste, v prírode, pri práci s mapou aj pri pohľade do zrkadla. Mali by sme byť schopní rozpoznať vzájomnú polohu dvoch objektov, určiť ich zjednotenie, prienik alebo zmenu polohy.

Dopĺňanie v rovine

Pri dopĺňaní v rovine budeme pracovať nie len so základnými rovinnými útvarmi, ale aj s ich kombináciami – hviezdy, domčeky, siete. Pri riešení úloh je vhodné si, v duchu alebo na papieri, predstaviť, ako má výsledný tvar vyzerať. Pozor, chýbajúca časť môže byť otočená alebo prevrátená.

Otočenie a prevrátenie v rovine

Pri hľadaní správnej časti, ktorá vznikne otočením alebo prevrátením daného útvaru, využívame základné vlastnosti otáčania, osovej a stredovej súmernosti.

Stačí si pamätať pár jednoduchých pravidiel:

• Pri otočení ani preklopení nemenia jednotlivé časti objektov svoje vzájomné polohy. Napríklad, ak je kruh na strane trojuholníka, nemôže sa „presťahovať“ na vrchol.
• Prevrátenie je osová súmernosť. To okrem iného znamená, že bod, ktorý je najďalej od osi preklopenia, bude aj v preklopení najďalej od osi.
• Otočenie o 180° je stredová súmernosť.

Pri zobrazení priestorových objektov (telies, stavieb z kociek a iných) narážame na základný problém: papier alebo obrazovka majú iba dva rozmery a nedokážeme teda reálne modelovať priestorové situácie.

Pri zobrazení 3D objektov často využívame pravouhlé premietanie z prednej, bočnej a hornej strany, tzv. nárys, bokorys a pôdorys.

Pri riešení úloh s priestorovou tematikou môžeme napríklad postupovať takto:

• Začneme s jednoduchšími pohľadmi.
• Zameriame sa na odlišnosti, teda skúsime nájsť, v čom sa dané útvary líšia.

Príklad: Výber správneho pohľadu na teleso

• Úloha: Vyberte, ktorý z troch spodných obrázkov je iným pohľadom na teleso nad nimi.
• Pozorovanie: Teleso sa skladá z dvoch dlhších ramien a jedného kratšieho ramena.
• Môžeme teda škrtnúť prvý obrázok. Na ňom má teleso jedno dlhé a dve kratšie ramená.
• Rovnako tak môžeme škrtnúť aj tretí obrázok, na ktorom má teleso tri rovnako dlhé ramená.
• Riešením je stredný obrázok.

Nárys, bokorys a pôdorys sa používajú k dvojrozmernému zakresleniu trojrozmerného objektu pomocou pravouhlého premietania. Každý z nich zachycuje pohľad na objekt z iného smeru:

• Nárys je pohľad z prednej strany.
• Bokorys je pohľad z bočnej strany.
• Pôdorys je pohľad zhora.

Pre počet vrcholov v, hrán h a stien s konvexného mnohostenu platí Eulerova veta: v - h + s = 2.

Počty vrcholov, stien a hrán pre pravidelné mnohosteny:

Sieť kocky môžeme zakresliť 11 rôznymi spôsobmi:

Sieť telesa je rovinné zakreslenie, z ktorého je možné poskladať plášť telesa. Príklady sietí:

Sieť telesa je väčšinou možné zakresliť mnohými rôznymi spôsobmi. Sieť kocky môžeme zakresliť takto:

Zostrojiť rez kocky znamená zostrojiť prienik roviny a kocky. Pôjde o mnohouholník, ktorý leží v rovine rezu a jeho strany sú okraje rezu, teda čiary, kade rovina prereže steny kocky. Tieto priesečnice rezovej roviny so stenami telesa chceme zostrojiť. Pri konštrukcii rezov (nielen kocky) môžeme použiť tri základné pravidlá:

• Ak ležia dva rôzne body v rovine, potom priamka, ktorá nimi prechádza, leží tiež v tejto rovine. Keď poznáme v stene telesa dva rôzne body, ktoré oba ležia v rovine rezu, nakreslíme ich spojnicu. Prienik steny a tejto spojnice je jednou stranou rezu.
• Dve rovnobežné roviny pretína každá ďalšia od nich rôznobežná rovina v dvoch rovnobežných priamkach. To znamená, že strany rezu v rovnobežných stenách sú navzájom rovnobežné.
• Tri navzájom rôznobežné roviny sa vždy pretínajú v jednom bode. Týmto bodom prechádzajú všetky tri priesečnice jednotlivých dvojíc rovín. Teda dve priesečnice rovín dvoch susedných stien s rovinou rezu a priamka, na ktorej leží spoločná hrana stien, sa pretínajú v jednom bode.

Pozor si dávame na najčastejšie chyby:

• zalomenie rezu v jednej stene (časť rezu v jednej stene musí vždy tvoriť jedna úsečka)
• čiara rezu ide vnútrom alebo vonkajškom telesa (okraj rezu musí byť celý v stenách telesa)
• čiara rezu sa nekončí na hrane (teleso sa na hrane končí, rez telesa tiež)

Rez kocky rovinou prechádzajúcou bodmi K, L, M.

• Body K, M ležia v jednej rovine – v prednej stene ABFE. Úsečka KM je teda prvá časť rezu.
• Rovnako tak body L, M ležia v jednej rovine – v dolnej stene ABCD. Úsečka LM je teda druhá časť rezu.
• Bod K leží v hornej stene EFGH. Tá je rovnobežná so stenou ABCD. Ďalšia časť rezu KN je teda rovnobežná s úsečkou LM.
• Podobne je aj posledná časť rezu NL v zadnej stene CDHG rovnobežná s úsečkou KM v stene ABFE.
• Rezom je v tomto prípade rovnobežník.

Zostrojiť rez telesa znamená zostrojiť prienik roviny a telesa. K základným princípom konštrukcie rezov, ktoré poznáme z rezov kocky si pre zložitejšie prípady pridáme ešte jedno pravidlo:

• Keď poznáme jednu stranu rezu, môžeme ju pretiahnuť do ostatných stien. Priesečníky s ostatnými stenami určíme tak, že pretiahneme spoločnú hranu steny, kde leží známa úsečka rezu a steny, v ktorej chceme rez nájsť. Výhodné je nájsť priesečnicu roviny podstavy a roviny rezu.

Zovšeobecnením tohto princípu je tzv. stredová kolineácia, ktorá sa využíva na presné zostrojenie rezu ihlanu a kužeľa.

Rez ihlanu rovinou prechádzajúcou bodmi K, L, M.

• Poznáme body na hranách, môžeme hneď zostrojiť dve časti rezu – úsečky KL a LM.
• Nájdeme priesečnicu roviny podstavy a roviny rezu. V stene BCV leží hrana podstavy BC a úsečka LM. Ich pretiahnutím získame spoločný bod P troch rovín: roviny steny BCV, roviny podstavy a roviny rezu.
• Rovnakým spôsobom získame spoločný bod Q troch rovín: roviny steny ABV, roviny podstavy a roviny rezu. Priamka PQ je potom priesečnica roviny podstavy a roviny rezu.
• Pretiahnutím hrany AD získame na priesečnici bod R. Na priamke RK potom leží ďalšia časť rezu v stene ADV.
• V zadnej stene CDV teraz máme na hranách dva body rezu a môžeme doplniť poslednú stranu rezového štvoruholníka.

Rovnako ako v prípade rezu kocky záleží na polohe roviny a telesa:

Ihlan

• Rovina prechádza vrcholom ihlanu – rezom je trojuholník.
• Rovina neprechádza vrcholom – rezom je všeobecný n-uholník.

Kužeľ

• Rovina prechádza vrcholom kužeľa – rezom je trojuholník.
• Rovina neprechádza vrcholom – rezom je kužeľosečka.

Valec

• Rovina je rovnobežná s osou valca – rezom je obdĺžnik.
• Rovina nie je rovnobežná s osou valca – rezom je kružnica alebo elipsa.

Guľa

Rezom gule je vždy kružnica. Na papieri alebo obrazovke ju ale môžeme vidieť aj ako elipsu.