Konštrukčné úlohy: trojuholníky

Pri riešení jednoduchších úloh zostrojujeme trojuholníky, pre ktoré poznáme dĺžky strán. Nesmieme pritom zabúdať, že platí tzv. trojuholníková nerovnosť, teda že súčet dvoch strán je väčší než tretia strana. Jednoducho povedané, ak je súčet dvoch najkratších strán väčší než tretia strana, trojuholník sa dá zostrojiť.

Pri zložitejších príkladoch využívame vety o zostrojiteľnosti trojuholníkov (kde s značí stranu a u uhol):

• Veta sss — v trojuholníku sú dané dĺžky všetkých strán, platí trojuholníková nerovnosť.
• Veta sus — v trojuholníku sú dané dĺžky dvoch strán a veľkosť uhla, ktorý zvierajú (menší než 180°).
• Veta usu — v trojuholníku je daná dĺžka jednej strany a veľkosti 2 uhlov k nej priliehajúcich (súčet veľkostí daných uhlov je menší než 180°).

Tieto vety tiež používame pri určení zhodnosti trojuholníkov.

Pri najťažších príkladoch využívame pri konštrukcii ďalšie pojmy súvisiace s trojuholníkom, napríklad výška, ťažnica, či množiny bodov daných vlastností.

Pri riešení zložitejších príkladov použijeme ďalšie pojmy súvisiace s trojuholníkom, napríklad výška, ťažnica, stredná priečka, vpísaná alebo opísaná kružnica.

Ťažnica je úsečka, ktorá spája vrchol trojuholníka so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a ich priesečník tvorí ťažisko trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje každú ťažnicu v pomere 2 : 1. Dlhšia časť ťažnice je úsečka medzi vrcholom a ťažiskom.

Stredná priečka trojuholníka je úsečka, ktorá spája stredy 2 strán v trojuholníku. Je rovnobežná so stranou, ktorej stred nespája a jej dĺžka je rovná polovici dĺžky tejto strany.

Opísaná kružnica je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Jej stred leží v priesečníku os strán. To znamená, že stred opísanej kružnice je rovnako vzdialený od všetkých vrcholov trojuholníka.

Vpísaná kružnica je kružnica, ktorá sa dotýka všetkých strán trojuholníka. Jej stred leží v priesečníku osí vnútorných uhlov trojuholníka. To znamená, že stred vpísanej kružnice je rovnako vzdialený od všetkých troch priamok, na ktorých ležia strany trojuholníka.