Kvantily a kvartily

Kvantily sú charakteristiky polohy štatistického znaku podobne ako napr. aritmetický priemer a medián. Kvantily je možné určiť pre ordinálne, intervalové a pomerné typy dát.

Súbor n hodnôt usporiadame podľa veľkosti: x_1 \le x_2 \le \ldots \le x_{n-1} \le x_n

Majme číslo \theta medzi nulou a jednotkou. Kvantil Q_{\theta} je hodnota, ktorá delí usporiadanú postupnosť hodnôt v súbore na dolnú a hornú časť tak, že dolná časť obsahuje aspoň \theta \cdot n hodnôt a horná časť aspoň (1-\theta)\cdot n hodnôt.

x_1 \le \ldots \le x_c \le Q_{\theta} \le x_{c+1} \le \ldots \le x_n

• Ak je \theta \cdot n necelé číslo, a najbližšie väčšie celé číslo je k, väčšinou zvolíme Q_{\theta}=x_k.
• Ak je \theta \cdot n=m celé číslo, zvolíme Q_{\theta} = \frac{x_{m}+x_{m+1}}{2} (keď je možné tento aritmetický priemer spočítat — teda pre intervalové a pomerové znaky).

Napríklad vezmeme súbor ôsmich čísel 0,0,0,0,1,2,3,4. Kvantil Q_{0{,}1} určíme takto: 0{,}1 \cdot 8 = 0{,}8, najbližšie väčšie celé číslo je 1, takže Q_{0{,}1}=x_1=0. Kvantil Q_{0{,}75} určíme takto: 0{,}75 \cdot 8 = 6, takže Q_{0{,}75}=\frac{x_6+x_7}{2}=\frac{2+3}{2}=2{,}5.

Pre ordinálne znaky nemusí byť možné vypočítať aritmetický priemer. Ako kvantil Q_{\theta} potom zvolíme niektorú hodnotu, ktorá vhodne delí usporiadanú postupnosť hodnôt súboru.

Napríklad spočítajme kvantil Q_{0{,}8} pre hodnoty S, S, M, L, XXL znaku „veľkosť oblečenia“. 5 \cdot 0{,}8=4, Q_{0{,}8} je akákoľvek hodnota medzi x_4 a x_5, teda L,XL, alebo XXL.

p% kvantil Q_{\frac{p}{100}} sa nazýva p. percentil.

Niektoré významné kvantily:

Medzikvartilové rozpätie je rozdiel horného a dolného kvartilu: Q_{0{,}75}-Q_{0{,}25} Medzikvartilové rozpätie (niekedy označované ako IQR) je možné vypočítať pro intervalové a pomerové znaky.

Napríklad, určime medzikvartilové rozpätie pre súbor hodnôt 0,0,0,0,1,2,3,4. Horný kvartil Q_{0{,}75} sme vypočítali už skôr, je to 2{,}5. Dolný kvartil Q_{0{,}25} je \frac{x_2+x_3}{2}=\frac{0+0}{2}=0. Medzikvartilové rozpätie je 2{,}5-0=2{,}5.