Rovnice

Najjednoduchšie rovnice obsahujú len lineárne výrazy, vyskytujú sa v nich len konštanty a násobky premennej x. Rovnice upravujeme pomocou ekvivaletných úprav: pripočítanie a odčítanie rovnakého výrazu k obom stranám rovnice, úpravy výrazov na ľavej a pravej strane. Pomocou takých úprav ich prevedieme do tvaru x = a, kde a je riešenie.

Riešený príklad

Rovnicu 2x-7 = 5-4x môžeme riešiť týmito krokmi:

Počet riešení

V prípade základných lineárnych rovníc môžu nastať tri prípady:

• Rovnica nemá žiadne riešenie, napr. x+2=x+3.
• Rovnica má nekonečne veľa riešení, napr. pri rovnici x+1+x = 2x+1 je riešením rovnice ľubovoľné číslo.
• Rovnica má presne jedno riešenie, napr. vyššie uvedená rovnica 2x-7 = 5-4x má jediné riešenie x=2.

Časté chyby

Medzi časté chyby pri riešení rovníc patrí:

• vykonanie úpravy (pripočítanie čísla, vydelenie čísel) len na jednej strane rovnice,
• chybné skombinovanie konštánt a výrazov s premennou x, napr. úprava 3x + 2 na 5x,
• zlé znamienko pri výraze počas prevádzania z jednej strany rovnice na druhú.

Rovnicu so zlomkami riešime rovnakými postupmi ako základné rovnice, len pritom používame operácie so zlomkami.

Často sa môžeme operáciam so zlomkami vyhnúť tak, že si celú rovnicu najskôr roznásobíme spoločným násobkom všetkých menovateľov zlomkov.

Riešený príklad

Rovnice s lomenými výrazmi riešime rovnakými postupmi ako základné rovnice.

Užitočným (nie však vždy nevyhnutným) prvým krokom býva roznásobenie oboch strán rovnice spoločným násobkom všetkých menovateľov lomených výrazov.

Podmienky riešiteľnosti

Aby lomený výraz dával zmysel, nesmie sa menovateľ rovnať nule. Po vyriešení rovnice teda musíme skontrolovať, že výsledné riešenie túto podmienku spĺňa pre všetky menovatele v rovnici.

Riešený príklad

Sústava dvoch rovníc s dvomi neznámimi je podobná ako základná rovnica, len máme namiesto jednej premennej x ešte aj premennú y a rovnice sú dve. Podobne ako pri rovniciach s jednou premennou, aj tu môžeme nájsť viacero rôznych typov. Dve rovnice s dvomi neznámimi môžu byť lineárne, kvadratické, logaritmické a iné. Väčšinou sa však precvičujú len základne lineárne rovnice, keďže ak dobre zvládneme ich riešenie, môžeme naučené postupy použiť aj na zložitejšie rovnice. Základné metódy riešenia sústavy dvoch rovníc sú dosadzovacia metóda a sčítacia metóda.

Dosadzovacia metóda

Pri riešení dosadzovacou metódou vyjadríme z jednej rovnice jednu neznámu pomocou druhej. Toto vyjadrenie potom dosadíme do druhej rovnice, čím dostaneme jednu obyčajnú rovnicu s jednou neznámou. Ukážka postupu na uvedenom príklade:

Sčítacia metóda

Pri riešení sčítacou metódou sčítame (či odčítame) oddelene ľavé a pravé strany oboch rovníc. Táto úprava vedie k cieľu, ak nám pri tejto operácii jedna z premenných vypadne. V niektorých prípadoch je preto nutné najskôr jednu z rovníc vynásobiť vhodným číslom. V prípade našej ukážkovej sústavy stačí rovnice jednoducho sčítať. Tým dostaneme 3x = 9, odtiaľ x=3 a dosadením potom už dopočítame y.

Kvadratická rovnica je rovnica, v ktorej se vyskytuje jedna neznáma v druhej mocnine. Základný tvar kvadratickej rovnice je: ax^2+bx+c=0, kde a, b, c sú reálne čísla a a\neq 0. Pri kvadratických rovniciach používame nasledujúce názvoslovie:

• ax^2 je kvadratický člen,
• bx je lineárny člen,
• c je absolútny člen.

Príkladom kvadratickej rovnice je 2x^2+6x-20 = 0. V tejto rovnici je kvadratický člen 2x^2, lineárny člen 6x a absolútny člen -20. Korene tejto rovnice sú 2 a -5.

Špeciálne typy kvadratických rovníc:

• Ak je b=0 nazýváme rovnicu rýdzo kvadratickou: ax^2+c=0.
• Ak je c=0 hovoríme o rovnici bez absolútneho člena: ax^2+bx=0.

Riešenie kvadratickej rovnice

Každú kvadratickú rovnicu je možné riešiť pomocou výpočtu diskriminantu D. Preň platí: D=b^2-4\cdot a\cdot c. Môžu nastať 3 situácie:

• D < 0 – rovnica nemá v reálnych číslach riešenie.
• D=0 – rovnica má jeden dvojnásobný koreň.
• D > 0 – rovnica má dva rôzne reálne korene.

Pre korene rovnice platí:

• x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}
• x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}

Kvadratické rovnice môžeme riešiť aj bez počítania diskriminantu za využitia Vietových vzťahov. Pre korene rovnice platí: x_1+x_2=-\frac{b}{a}, x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}. V prípade a=1: x_1+x_2=-b, x_1\cdot x_2=c.

Príklad riešenia kvadratickej rovnice

• Riešime rovnicu x^2+2x-3=0.
• Pre túto rovnicu a=1, b=2, c=-3.
• Diskriminant D=b^2-4ac = 2^2-4\cdot 1\cdot(-3) = 4+12=16.
• D>0, rovnica má teda dve riešenia.
• x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \frac{-2+\sqrt{16}}{2\cdot 1} = 1
• x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \frac{-2-\sqrt{16}}{2\cdot 1} = -3
• Korene rovnice sú teda 1 a -3.