Hyperbola je množina všetkých bodov v rovine, ktoré majú od dvoch rôznych bodov (ohnísk) stály rozdiel vzdialeností 2a, ktorý je menší než vzdialenosť ohnísk. Hyperbola sa skladá z dvoch častí – vetiev hyperboly. Tieto dve vetvy sa blížia k priamkam, ktoré nazývame asymptoty.

Stredová rovnica hyperboly

Tvar stredovej rovnice hyperboly so stredom S[m;n] s veľkosťami hlavnej a vedľajšej polosi a,b závisí od polohy hlavnej osi.

Stredová rovnica hyperboly s hlavnou osou rovnobežnou s osou x

Ak je hlavná os rovnobežná s osou x, rovnica je v tvare \frac{(x-m)^2}{a^2} -\frac{(y-n)^2}{b^2}=1

Stredová rovnica hyperboly s hlavnou osou rovnobežnou s osou y

Ak je hlavná os rovnobežná s osou y, rovnica je v tvare -\frac{(x-m)^2}{b^2} +\frac{(y-n)^2}{a^2}=1

Oproti elipse, nemusí byť v prípade hyperboly vždy hlavná polos a dlhšia než vedľajšia polos b. Pre rovnoosú hyperbolu dokonca platí a=b.

Rovnice asymptot

Už vieme, že asymptoty sú priamky, ku ktorým sa hyperbola blíži. Pomôžu pri vykreslení hyperboly. Rovnica asymptot závisí od tvaru stredovej rovnice hyperboly.

Pre hyperbolu danú rovnicou v tvare \frac{(x-m)^2}{a^2} -\frac{(y-n)^2}{b^2}=1 sú rovnice asymptot:

y=\pm\frac{b}{a}(x-m)+n

Pre hyperbolu danú rovnicou v tvare -\frac{(x-m)^2}{b^2} +\frac{(y-n)^2}{a^2}=1 sú rovnice asymptot:

y=\pm\frac{a}{b}(x-m)+n

Ako načrtnúť hyperbolu?

• Najskôr si vyznačíme stred, hlavné a vedľajšie vrcholy.
• Potom zostrojíme charakteristický obdĺžnik hyperboly. To je obdĺžnik, ktorý má strany rovnobežné s osami a vrcholmi hyperboly sú stredy jeho strán. Dĺžky jeho strán sú teda 2a a 2b.
• Asymptoty sú uhlopriečky charakteristického obdĺžnika.

Všeobecná rovnica hyperboly

Podobne ako existuje niekoľko rovníc elipsy, môžeme aj rovnicu hyperboly zapísať rôznymi spôsobmi. Všeobecná rovnica hyperboly je v tvare: Ax^2 +By^2+Cx+Dy+E=1, A\cdot B<0. Podmienka A\cdot B<0 zaručuje, že konštanty A, B majú opačné znamienka. Každá rovnica v tomto tvare ale nemusí byť všeobecnou rovnicou hyperboly. Praktické overenie, či ide o hyperbolu vykonávame prevedením na stredovú rovnicu.

Hyperbola a priamka

• priamka s pretína hyperbolu v dvoch bodoch – sečnica hyperboly
• priamka t pretína hyperbolu v jednom bode – dotyčnica hyperboly
• priamka v hyperbolu nepretína – vonkajšia priamka hyperboly

Špeciálnou polohou sečnice hyperboly je priamka, ktorá je rovnobežná s asymptotou. Taká sečnica potom pretína hyperbolu v jednom bode.

Rovnica dotyčnice hyperboly v bode, ktorý leží na hyperbole

Hyperbola daná rovnicou \frac{(x-m)^2}{a^2} -\frac{(y-n)^2}{b^2}=1 má v bode T[x_0;y_0] dotyčnicu danú rovnicou:

\frac{(x-m)(x_0-m)}{a^2} -\frac{(y-n)(y_0-n)}{b^2}=1.

Podobne môžeme zapísať aj rovnicu dotyčnice hyperboly, ktorá má hlavnú os rovnobežnú s osou y.