Priamky

• Priamka p je určená bodom A a vektorom \vec{u}=\overrightarrow{AB}, teda p:X=A+t\vec{u}
• Pre hodnotu t=0 dostaneme: X=A+t\vec{u}=A+0\cdot \vec{u} … bod A
• Pre hodnotu t=1 dostaneme: X=A+t\vec{u}=A+1\cdot \vec {u} … bod B
• Pre hodnotu t=2 dostaneme: X=A+t\vec{u}=A+2\cdot \vec {u} … bod C
• Pre hodnotu t=\frac{1}{2} dostaneme: X=A+t\vec{u}=A+\frac{1}{2}\cdot \vec{u} … bod D (stred úsečky AB)
• Pre hodnotu t=-1 dostaneme: X=A+t\vec{u}=A-1\cdot \vec{u} … bod E

• Každá hodnota parametra určuje jeden bod na priamke, na určenie celej priamky teda potrebujeme všetky reálne čísla, preto píšeme t\in\mathbb{R}.
• Body, ktoré ležia na úsečke AB (teda body ležiace medzi bodmi A a B), vyjadríme parametricky, ak do rovnice X=A+t\vec{u} dosadíme hodnoty parametra t spĺňajúce 0\leq t\leq1.

1. Pre priamku danú všeobecnou rovnicou ax+by+c=0:
   • \vec{v} je normálový vektor priamky p, jeho súradnice sú: \vec{v}=(a;b)
   • \vec{u} je smerový vektor priamky p, pretože je to vektor kolmý na vektor \vec{v}=(a;b), jeho súradnice sú: \vec{u}=(-b;a)
2. Pre priamku danú parametricky: \begin{array}{rrl}x&=&a_1+t\cdot u_1\\y&=&a_2+t\cdot u_2\\&&t\in\mathbb{R}\end{array}
   • \vec{u} je smerový vektor priamky p, jeho súradnice sú: \vec{u}=(u_1;u_2)
   • \vec{v} je normálový vektor priamky p, pretože je to vektor kolmý na vektor \vec{u}=(u_1;u_2), jeho súradnice sú: \vec{v}=(-u_2;u_1)

• Pre všetky body ležiace na priamke je druhá súradnica rovnaká a to: y=c
• Teda priamka má všeobecnú rovnicu: y-c=0

• Pre všetky body ležiace na priamke je prvá súradnica rovnaká a to: x=c
• Teda priamka má všeobecnú rovnicu: x-c=0

• Priamka prechádza bodom O=[0;0], teda súradnice počiatku spĺňajú jej všeobecnú rovnicu ax+by+c=0.
• Dosadíme súradnice bodu O a skúsime zistiť nejaké informácie o konštantách a,b,c.
• a\cdot0+b\cdot0+c=0\Leftrightarrow c=0
• Preto má priamka, ktorá prechádza počiatkom, všeobecnú rovnicu ax+by=0.

• priamka p je určená bodom A a smerovým vektorom \vec{u}=\overrightarrow{AB}=B-A=(2;-1)
• parametrické rovnice priamky p: \begin{array}{rrl}x&=&1+2t\\y&=&2-t\\&&t\in\mathbb{R}\end{array}

Určíme súradnice smerového vektora a jedného bodu na priamke:

• napríklad: \vec{u}=(2;1), A=[1;2]
• parametrické rovnice priamky p: \begin{array}{rrl}x&=&1+2t\\y&=&2+t\\&&t\in\mathbb{R}\end{array}

Ďalšia možnosť parametrického vyjadrenia:

• \vec{v}=(-4;-2), B=[3;3]
• parametrické rovnice priamky p: \begin{array}{rrl}x&=&3-4t\\y&=&3-2t\\&&t\in\mathbb{R}\end{array}

Na určenie parametrických rovníc môžeme vybrať ktorýkoľvek bod ležiaci na priamke a akýkoľvek zápis súradníc smerového vektora, možností ako parametricky vyjadriť danú priamku je teda nekonečne veľa.

• Priamka p je určená bodom A a smerovým vektorom \vec{u}=\overrightarrow{AB}=B-A=(1;-2).
• Normálový vektor je kolmý na vektor \vec{u}=(1;-2), teda napríklad vektor \vec{n}=(2;1).
• Súradnice normálového vektoru sú konštanty a a b vo všeobecnej rovnici priamky. Všeobecná rovnica má tvar: 2x+y+c=0
• Konštantu c dopočítame dosadením súradníc bodu A=[1;5] :
• 2\cdot1+5+c=0\Rightarrow c=-7
• Všeobecná rovnica priamky p je: 2x+y-7=0

Určite všeobecnú rovnicu priamky p, ktorá je daná nasledujúcou parametrickou sústavou rovníc: \begin{array}{rrl}x&=&1+2t\\y&=&4+6t\\&&t\in\mathbb{R}\end{array}

• Priamka p je určená bodom A=[1;4] a smerovým vektorom \vec{u}=(2;6).
• Súradnice smerového vektora môžeme upraviť na tvar: \vec{u}=(1;3).
• Normálový vektor je kolmý na vektor \vec{u}=(1;3), teda napríklad vektor \vec{n}=(3;-1).
• Súradnice normálového vektora sú konštanty a a b vo všeobecnej rovnici priamky. Všeobecná rovnica má tvar: 3x-y+c=0
• Konštantu c dopočítame dosadením súradníc bodu A=[1;4] :
• 3\cdot1-4+c=0\Rightarrow c=1
• Všeobecná rovnica priamky p je: 3x-y+1=0

Určite parametrické vyjadrenie priamky p, ktorá má všeobecnú rovnicu: 3x-2y+4=0.

• Priamka p má normálový vektor \vec{n}=(3;-2).
• Smerový vektor je kolmý na vektor \vec{n}=(3;-2), teda napríklad vektor \vec{u}=(2;3).
• Určíme jeden bod na priamke p : jednu súradnicu môžeme zvoliť, napríklad x=0, druhú súradnicu dopočítame: 3\cdot0-2y+4=0\Rightarrow y=2
• Zo všeobecnej rovnice sme teda zistili, že na priamke leží bod A=[0;2].
• Parametrické vyjadrenie priamky p je: \begin{array}{rrl}x&=&0+3t\\y&=&2-2t\\&&t\in\mathbb{R}\end{array}

• Smernica priamky p: k_1=\tan \varphi_1=\frac{1}{2}
• Smernica priamky q: k_2=\tan \varphi_2=\frac{1}{1}=1
• Smernica priamky r: k_3=\tan \varphi_3=\frac{2}{1}=2
• Čím väčšia odchýlka od kladnej časti osi x, tým väčšia hodnota smernice k.
• Priamka rovnobežná s osou x zviera s kladnou časťou osi x uhol 0^\circ a teda jej smernica je \tan 0^\circ=0.
• Priamka rovnobežná s osou y zviera s kladnou časťou osi x uhol 90^\circ a pre túto hodnotu funkcie tangens nie je definovaná, preto nemôžeme určiť smernicu.

Hľadáme smernicový tvar rovnice priamky: y=kx+q.

• Pre nájdenie konštánt k a q určíme smerový vektor priamky p a priesečník s osou y.
• smerový vektor priamky: \vec{u}=(1;-2)
• smernica: k=\tan \varphi=\frac{u_2}{u_1}=\frac{-2}{1}=-2
• priesečník priamky s osou y: P=[0;5]
• konštanta q=y_P=5
• priamka na obrázku má smernicový tvar y=-2x+5

Určite vzájomnú polohu dvoch priamok p, q zadaných parametricky:

p: \begin{array}{rrl}x&=&-3+3t\\y&=&\hspace{0.25cm}2+t\\&&\hspace{0.25cm}t\in\mathbb{R}\end{array} \hspace{0.5cm}q: \begin{array}{rrl}x&=&1-3s\\y&=&2-s\\&&s\in\mathbb{R}\end{array}

• smerový vektor priamky p:\hspace{0.25cm}\vec{u}=(3;1)
• smerový vektor priamky q:\hspace{0.25cm}\vec{v}=(-3;-1)
• Priamky p a q sú rovnobežné, pretože ich smerové vektory sú kolineárne.
• Overíme, že priamky nie sú totožné. Stačí určiť, či bod, ktorý leží na jednej priamke neleží na priamke druhej.
• Na priamke p leží napríklad bod A=[-3;2].
• Overíme, že tento bod neleží na priamke q dosadením súradníc bodu A do rovníc priamky q: \begin{array}{rrl}-3&=&1-3s \Rightarrow s=\frac{4}{3}\\2&=&2-\hspace{0.15cm}s\Rightarrow s=0\end{array}
• Vyšli rôzne hodnoty parametra s, takže bod A neleží na q \Rightarrow priamky nie sú totožné

Určite vzájomnú polohu dvoch priamok daných všeobecnými rovnicami p: 2x+y-1=0 a q:4x+2y+3=0.

• normálový vektor priamky p:\hspace{0.25cm}\vec{n}=(2;1)
• normálový vektor priamky q:\hspace{0.25cm}\vec{m}=(4;2)
• Priamky p a q sú rovnobežné, pretože ich normálové vektory sú kolineárne.
• Overíme, že priamky nie sú totožné. Stačí určiť, či bod, ktorý leží na jednej priamke neleží na priamke druhej.
• Na priamke p leží napríklad bod A=[0;1].
• Overíme, či A leží na p dosadením súradníc bodu A do rovnice priamky p: 4\cdot0+2\cdot1+3\neq 0
• A nespĺňa rovnicu, takže neleží na priamke q \Rightarrow priamky nie sú totožné

p: \begin{array}{rrl}x&=&-1+t\\y&=&\hspace{0.25cm}3+2t\\&&\hspace{0.25cm}t\in\mathbb{R}\end{array} \hspace{0.5cm}q: \begin{array}{rrl}x&=&-4+s\\y&=&\hspace{0.25cm}3-s\\&&\hspace{0.25cm}s\in\mathbb{R}\end{array}

• smerový vektor priamky p:\hspace{0.25cm}\vec{u}=(1;2)
• smerový vektor priamky q:\hspace{0.25cm}\vec{v}=(1;-1)
• Priamky p a q sú rôznobežné, pretože ich smerové vektory nie sú kolineárne.

• Priesečník priamok spĺňa rovnice oboch priamok, teda každú z jeho súradníc je možné vyjadriť dvomi spôsobmi, dostávame nasledujúcu sústavu rovníc: \begin{array}{lrr}-1+t&=&-4+s\\\hspace{0.25cm}3+2t&=&3-s\end{array}

• Sústavu môžeme vyriešiť sčítaním oboch rovníc: 2+3t=-1\Rightarrow3+3t=0\Rightarrow t=-1
• Výsledný parameter t dosadíme do parametrických rovníc ktorejkoľvek z priamok a dostaneme súradnice x,y priesečníka.

• Priesečník priamok p a q je bod R=[-2;1].

Určíme vzájomnú polohu dvoch priamok zadaných všeobecnými rovnicami p: 2x+y-1=0 a q:x-y+1=0.

• normálový vektor priamky p:\hspace{0.25cm}\vec{n}=(2;1)
• normálový vektor priamky q:\hspace{0.25cm}\vec{m}=(1;-1)
• Priamky p a q sú rôznobežné, pretože ich normálové vektory nie sú kolineárne.
• Priesečník priamok spĺňa rovnice oboch priamok, teda jeho súradnice sú riešením sústavy: \begin{array}{rrr}2x+y-1&=&0\\x-y+1&=&0\end{array}
• Môžeme vyriešiť sčítaním oboch rovníc: 3x=0\Rightarrow x=0
• Priesečník priamok p a q je bod R=[0;1]

Určite vzájomnú polohu priamok p,q zadaných takto:

\hspace{0.25cm}p: 2x-y+3=0\hspace{0.25cm} \hspace{0.5cm}q: \begin{array}{rrl}x&=&3-2t\\y&=&2-4t\\&&t\in\mathbb{R}\end{array}

• normálový vektor priamky p:\hspace{0.25cm}\vec{n}=(2;-1)
• smerový vektor priamky q:\hspace{0.25cm}\vec{v}=(-2;-4)
• Priamky p a q sú rovnobežné, pretože ich smerové vektory sú kolineárne. Preto je normálový vektor jednej priamky kolmý na smerový vektor druhej priamky.
• Overíme, že priamky nie sú totožné: stačí určiť, či bod, ktorý leží na jednej priamke neleží na priamke druhej.
• Na priamke q leží napríklad bod B=[3;2].
• Na priamke p tento bod neleží, čo zistíme dosadením súradníc bodu B do rovnice priamky: 2\cdot3-2+3\neq 0
• Bod B nespĺňa rovnicu, takže neleží na priamke p \Rightarrow priamky nie sú totožné

Určite vzájomnú polohu priamok p,q zadaných:

\hspace{0.25cm}p: x-3y+3=0\hspace{0.25cm} \hspace{0.5cm}q: \begin{array}{rrl}x&=&\hspace{0.28cm}1+t\\y&=&-2+2t\\&&\hspace{0.28cm}t\in\mathbb{R}\end{array}

• normálový vektor priamky p:\hspace{0.25cm}\vec{n}=(1;-3)
• smerový vektor priamky q:\hspace{0.25cm}\vec{v}=(1;2)
• Priamky p a q sú rôznobežné, pretože ich smerové vektory nie sú kolineárne. Vyplýva z toho, že normálový vektor jednej priamky nie je kolmý na smerový vektoru druhej priamky.
• Priesečník priamok spĺňa rovnice oboch priamok, teda jeho súradnice nájdeme tak, že parametrické vyjadrenie priamky q dosadíme do všeobecnej rovnice priamky p: \begin{array}{rrl}(1+t)-3(-2+2t)+3&=&0\\1+t+6-6t+3&=&0\\10-5t&=&0\\t&=&2\end{array}
• Priesečník priamok p a q je bod R=[3;2]

Hľadáme priesečník(y) priamok p,q zadaných ako: \hspace{0.25cm}p: x-3y+3=0\hspace{0.25cm} a \hspace{0.25cm}q: \begin{array}{rrl}x&=&\hspace{0.28cm}1+t\\y&=&-2+2t\end{array}

• Dosadíme parametrické vyjadrenie do všeobecnej rovnice a riešime sústavu rovníc:

\begin{array}{rrl}(1+t)-3(-2+2t)+3&=&0\\1+t+6-6t+3&=&0\\10-5t&=&0\\t&=&2\end{array}

• Jedno riešenie \Rightarrow rôznobežné priamky

Hľadáme priesečník(y) priamok p,q zadaných ako: \hspace{0.25cm}p: 2x-y+3=0\hspace{0.25cm} a \hspace{0.25cm}q: \begin{array}{rrl}x&=&3-2t\\y&=&2-4t\end{array}

• Dosadíme parametrické vyjadrenie do všeobecnej rovnice a riešime sústavu rovníc:

\begin{array}{rrl}2(3-2t)-(2-4t)+3&=&0\\6-4t-2+4t+3&=&0\\7&=&0\end{array}

• Žiadne riešenie \Rightarrow rôzne rovnobežné priamky

Hľadáme priesečník(y) priamok p,q zadaných ako: \hspace{0.25cm}p: 2x-y+3=0\hspace{0.25cm} a \hspace{0.25cm}q: \begin{array}{rrl}x&=&3+t\\y&=&9+2t\end{array}

• Dosadíme parametrické vyjadrenie do všeobecnej rovnice a riešime sústavu rovníc:

\begin{array}{rrl}2(3+t)-(9+2t)+3&=&0\\6+2t-9-2t+3&=&0\\0&=&0\end{array}

• Nekonečne veľa riešení \Rightarrow totožné priamky

Určite, či body A=[2;3] a B=[-1;2] ležia na priamke p:2x-3y+5=0.

• Do rovnice priamky dosadíme súradnice bodu A=[2;3]:
• 2\cdot 2-3\cdot3+5=0\Rightarrow bod A leží na priamke p
• Do rovnice priamky dosadíme súradnice bodu B=[-1;2]:
• 2\cdot (-1)-3\cdot2+5=-3\Rightarrow bod B neleží na priamke p

Určite, či body A=[3;1] a B=[4;4] ležia na priamke p danej parametricky: \begin{array}{rrl}x&=&2-t\\y&=&3+2t\\&&t\in\mathbb{R}\end{array}

• Do rovníc priamky dosadíme súradnice bodu A=[3;1]:

\begin{array}{rrrr}3&=&2-t&\Rightarrow t=-1\\1&=&3+2t&\Rightarrow t=-1\end{array} \Rightarrow bod A leží na priamke p

• Do rovnice priamky dosadíme súradnice bodu B=[4;5]:

\begin{array}{rrrl}4&=&2-t&\Rightarrow t=-2\\5&=&3+2t&\Rightarrow t=1\end{array}\Rightarrow bod B neleží na priamke p