Úmernosti

Priama úmernosť

Priama úmernosť je závislosť veličiny y od druhej veličiny x, kedy sa pri zvýšení veličiny x zvýši pomerne aj hodnota veličiny y. Priamu úmernosť teda môžeme popísať vzťahom y=k\cdot x, kde k je konštanta úmernosti. Grafom priamej úmernosti je priamka, ktorá prechádza počiatkom súradníc (bodom [0, 0]). Príklady priamej úmernosti:

• Nákup: Čím viac rožkov kúpim, tým viac zaplatím (konštanta úmernosti je cena rožka).
• Vzdialenosť: Čím dlhšie sa pohybujem, tým väčšiu vzdialenosť prekonám (konštanta úmernosti je rýchlosť, o priamu úmernosť ide len v prípade pohybu konštantnou rýchlosťou).
• Obvod: Čím dlhšia strana štvorca, tým dlhší obvod štvorca (konštanta úmernosti je 4).

Príklad výpočtu:

• Osem dračích vajec stojí 40 zlatých. Koľko stojí dvadsať dračích vajec?
• Vypočítame cenu za jedno vajce (konštanta úmernosti k): 40:8 = 5 zlatých.
• Celkovú cenu vypočítame jednoduchým násobením (k\cdot x): 5\cdot 20 = 100 zlatých.

Nepriama úmernosť

Nepriama úmernosť je závislosť veličiny y od druhej veličiny x, kedy sa pri zvýšení veličiny x zníži pomerne hodnota veličiny y. Nepriamu úmernosť teda môžeme popísať vzťahom y=\frac{k}{x}. Grafom nepriamej úmernosti je hyperbola. Príklady nepriamej úmernosti:

• Doba práce a počet ľudí: Čím viac ľudí pracuje na natieraní plota, tým rýchlejšie je plot natretý.
• Torta a deti: Čím viac detí je na oslave, tým menší kus torty každé z nich dostane.
• Obdĺžnik: Ak berieme do úvahy obdĺžniky s rovnakým obsahom, potom platí medzi šírkou a výškou obdĺžnika nepriama úmernosť.

Príklad výpočtu:

• Päťhlavý drak zje všetky zásoby na hrade za 12 dní. Za koľko dní zje tieto zásoby šesťhlavý drak?
• Najskôr určíme, ako dlho by zásoby jedla jedna hlava: 5\cdot 12=60 dní.
• Tento počet vydelíme počtom hláv v otázke: 60:6 = 10 dní.

Trojčlenka je grafický zápis výpočtu neznámeho člena priamej alebo nepriamej úmernosti. Tri známe hodnoty a jednu neznámu napíšeme na dva riadky a doplníme šípky smerom od menších hodnôt k väčším hodnotám.

Trojčlenka pre priamu úmernosť

Príklad: 10\,000 lumíkov má spolu rovnakú hmotnosť ako dva medvede, koľko medveďov má spolu rovnakú hmotnosť ako 40\,000 lumíkov?

Šípky na obrázku idú smerom od menších hodnôt k väčším. Zapíšeme rovnice podľa smeru šípok a vypočítame x.

Prvá šípka vedie od 10\,000 k 40\,000, druhá šípka vedie od 2 k x. Rovnica je teda \frac{10\,000}{40\,000}=\frac{2}{x}.

Zlomok na ľavej strane je možné skrátiť \frac{10\,000}{40\,000}=\frac{1}{4}. Vynásobíme obe strany 4x (a predpokladáme, že x\neq 0). Máme x=8. Výsledok je: 8 medveďov má spolu rovnakú hmotnosť ako 40\,000 lumíkov.

Trojčlenka pre nepriamu úmernosť

Príklad: 100 mravcov zje cukrík za tri dni. Ako dlho by ten istý cukrík jedlo 500 mravcov?

Šípky na obrázku idú smerom od menších hodnôt k väčším. Zapíšeme rovnice podľa smeru šípok a vypočítame x.

Prvá šípka vedie od 100 k 500, druhá od x k 3. Rovnica je \frac{100}{500}=\frac{x}{3}.

Vynásobíme obe strany 3\cdot 500. Dostaneme 300=500x, teda x=0{,}6. Výsledok je: 500 mravcov bude jesť cukrík 0{,}6 dní.