Hyperbola – 1. trieda (1. ročník)

viemeto.eu/GR3

Hyperbola je množina všetkých bodov v rovine, ktoré majú od dvoch rôznych bodov (ohnísk) stály rozdiel vzdialeností 2a, ktorý je menší než vzdialenosť ohnísk. Hyperbola sa skladá z dvoch častí – vetiev hyperboly. Tieto dve vetvy sa blížia k priamkam, ktoré nazývame asymptoty.

Stredová rovnica hyperboly

Tvar stredovej rovnice hyperboly so stredom S[m;n] s veľkosťami hlavnej a vedľajšej polosi a,b závisí od polohy hlavnej osi.

Stredová rovnica hyperboly s hlavnou osou rovnobežnou s osou x

Ak je hlavná os rovnobežná s osou x, rovnica je v tvare \frac{(x-m)^2}{a^2} -\frac{(y-n)^2}{b^2}=1

Stredová rovnica hyperboly s hlavnou osou rovnobežnou s osou y

Ak je hlavná os rovnobežná s osou y, rovnica je v tvare -\frac{(x-m)^2}{b^2} +\frac{(y-n)^2}{a^2}=1

Oproti elipse, nemusí byť v prípade hyperboly vždy hlavná polos a dlhšia než vedľajšia polos b. Pre rovnoosú hyperbolu dokonca platí a=b.

Ako zo stredovej rovnice poznáme, s ktorou súradnicovou osou je rovnobežná hlavná os hyperboly?

Pozrieme sa na znamienka členov s premennou x a y.
Premenná v člene, ktorý má pred sebou znamienko plus udáva, s ktorou súradnicovou osou je rovnobežná hlavná os hyperboly.
V menovateli danej premennej je potom (v druhej mocnine) veľkosť hlavnej polosi.
Stručne povedané: ak je znamienko plus napríklad v prípade člena s premennou x, je hlavná os rovnobežná s osou x a v menovateli je druhá mocnina veľkosti hlavnej polosi a.

Príklad: Určenie stredovej rovnice hyperboly

Určite stredovú rovnicu hyperboly so stredom v bode S[1;-5], ak je veľkosť hlavnej polosi 2, veľkosť vedľajšej polosi 6 a hlavná os je rovnobežná s osou y.

Stredová rovnica je v tvare -\frac{(x-m)^2}{b^2} +\frac{(y-n)^2}{a^2}=1. Hlavná polos má veľkosť a, vedľajšia b.
Dosadíme súradnice stredu a veľkosti hlavnej a vedľajšej polosi. Pri dosadení si dáme pozor na to, že súradnice stredu odčítame: -\frac{(x-1)^2}{6^2} +\frac{(y-(-5))^2}{2^2}=1
Po úprave: -\frac{(x-1)^2}{36} +\frac{(y+5)^2}{4}=1

Rovnice asymptot

Už vieme, že asymptoty sú priamky, ku ktorým sa hyperbola blíži. Pomôžu pri vykreslení hyperboly. Rovnica asymptot závisí od tvaru stredovej rovnice hyperboly.

Pre hyperbolu danú rovnicou v tvare \frac{(x-m)^2}{a^2} -\frac{(y-n)^2}{b^2}=1 sú rovnice asymptot:

y=\pm\frac{b}{a}(x-m)+n

Pre hyperbolu danú rovnicou v tvare -\frac{(x-m)^2}{b^2} +\frac{(y-n)^2}{a^2}=1 sú rovnice asymptot:

y=\pm\frac{a}{b}(x-m)+n

Ako načrtnúť hyperbolu?

Najskôr si vyznačíme stred, hlavné a vedľajšie vrcholy.
Potom zostrojíme charakteristický obdĺžnik hyperboly. To je obdĺžnik, ktorý má strany rovnobežné s osami a vrcholmi hyperboly sú stredy jeho strán. Dĺžky jeho strán sú teda 2a a 2b.
Asymptoty sú uhlopriečky charakteristického obdĺžnika.

Všeobecná rovnica hyperboly

Podobne ako existuje niekoľko rovníc elipsy, môžeme aj rovnicu hyperboly zapísať rôznymi spôsobmi. Všeobecná rovnica hyperboly je v tvare: Ax^2 +By^2+Cx+Dy+E=1, A\cdot B \lt 0. Podmienka A\cdot B \lt 0 zaručuje, že konštanty A, B majú opačné znamienka. Každá rovnica v tomto tvare ale nemusí byť všeobecnou rovnicou hyperboly. Praktické overenie, či ide o hyperbolu vykonávame prevedením na stredovú rovnicu.

Príklad: Určuje daná rovnica hyperbolu?

Rozhodnite, či rovnica -x^2+2y^2+8x-18y+31=0 určuje hyperbolu.

Najskôr si usporiadame členy: -x^2+8x+y^2-18y+40=0.
Z členov s premennou x vytkneme -1: -(x^2-8x)+y^2-18y+40=0
K obom stranám rovnice pripočítame konštantu 81 a odčítame konštantu 16, aby sme členy s premennými x a y mohli upraviť podľa vzťahu pre (a\pm b)^2: -(x^2-8x+16)+y^2-18y+81+40=81-16
A upravíme: -(x-4)^2 +(y-9)^2+40=65
Prevedieme konštantu 40 na druhú stranu rovnice: -(x-4)^2 +(y-9)^2 =25
Na záver rovnice vydelíme 25: -\frac{(x-4)^2}{25} +\frac{(y-9)^2}{25}=1
Ide teda o hyperbolu. Hlavná os je rovnobežná s osou y a a=b=5.

Hyperbola a priamka

priamka s pretína hyperbolu v dvoch bodoch – sečnica hyperboly
priamka t pretína hyperbolu v jednom bode – dotyčnica hyperboly
priamka v hyperbolu nepretína – vonkajšia priamka hyperboly

Špeciálnou polohou sečnice hyperboly je priamka, ktorá je rovnobežná s asymptotou. Taká sečnica potom pretína hyperbolu v jednom bode.

Ako rozlíšiť, či je priamka dotyčnica alebo sečnica?

Najskôr určíme vzájomnú polohu priamky a hyperboly.
Ak vyjdú dva priesečníky, ide o sečnicu vo všeobecnej polohe.
Ak vyjde jeden priesečník, musíme ešte rozhodnúť, či je priamka rovnobežná s asymptotou. Ak nie, ide o dotyčnicu. V opačnom prípade ide o sečnicu.