Kvadratické rovnice

Kvadratická rovnica je rovnica, v ktorej se vyskytuje jedna neznáma v druhej mocnine. Základný tvar kvadratickej rovnice je: ax^2+bx+c=0, kde a, b, c sú reálne čísla a a\neq 0. Pri kvadratických rovniciach používame nasledujúce názvoslovie:

• ax^2 je kvadratický člen,
• bx je lineárny člen,
• c je absolútny člen.

Príkladom kvadratickej rovnice je 2x^2+6x-20 = 0. V tejto rovnici je kvadratický člen 2x^2, lineárny člen 6x a absolútny člen -20. Korene tejto rovnice sú 2 a -5.

Špeciálne typy kvadratických rovníc:

• Ak je b=0 nazývame rovnicu rýdzo kvadratickou: ax^2+c=0.
• Ak je c=0 hovoríme o rovnici bez absolútneho člena: ax^2+bx=0.

Riešenie kvadratickej rovnice

Každú kvadratickú rovnicu je možné riešiť pomocou výpočtu diskriminantu D. Preň platí: D=b^2-4\cdot a\cdot c. Môžu nastať 3 situácie:

• D < 0 – rovnica nemá v reálnych číslach riešenie.
• D=0 – rovnica má jeden dvojnásobný koreň.
• D > 0 – rovnica má dva rôzne reálne korene.

Pre korene rovnice platí:

• x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}
• x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}

Kvadratické rovnice môžeme riešiť aj bez počítania diskriminantu za využitia Vietových vzťahov. Pre korene rovnice platí: x_1+x_2=-\frac{b}{a}, x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}. V prípade a=1: x_1+x_2=-b, x_1\cdot x_2=c.

Príklad riešenia kvadratickej rovnice

• Riešime rovnicu x^2+2x-3=0.
• Pre túto rovnicu a=1, b=2, c=-3.
• Diskriminant D=b^2-4ac = 2^2-4\cdot 1\cdot(-3) = 4+12=16.
• D>0, rovnica má teda dve riešenia.
• x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \frac{-2+\sqrt{16}}{2\cdot 1} = 1
• x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \frac{-2-\sqrt{16}}{2\cdot 1} = -3
• Korene rovnice sú teda 1 a -3.