Deliteľnosť

Deliteľnosť sa zaoberá určovaním, či je jedno číslo deliteľné druhým bez zvyšku. Napríklad číslo 24 je deliteľné číslom 6, ale nie je deliteľné číslom 7.

Párnosť a nepárnosť zodpovedá deliteľnosti číslom 2, ide o najjednoduchší prípad deliteľnosti.

Podmienky deliteľnosti nám pomáhajú určiť, či je jedno číslo deliteľné iným číslom bez toho, aby sme vykonávali samotné delenie. Napríklad číslo je deliteľné 3, ak je jeho ciferný súčet deliteľný 3. Aby sme teda zistili, že číslo 513 je deliteľné číslom 3, stačí si všimnúť, že ciferný súčet (5+1+3=9) je deliteľný 3 a nemusíme vykonávať delenie 513:3.

Prvočísla sú čísla väčšie než 1, ktoré majú iba dva delitele: jednotku a seba samého. Prvočísla sú základnými stavebnými kameňmi ostatných čísel v zmysle ich deliteľnosti.

Najväčší spoločný deliteľ je najväčšie číslo, ktorým sú dve alebo viac čísel bezo zvyšku deliteľné. Spoločný deliteľ hrá kľúčovú rolu pri zjednodušovaní zlomkov a riešení rovníc.

Najmenší spoločný násobok je najmenšie číslo, ktoré je násobkom dvoch alebo viac čísel. Spoločný násobok sa často používa pri práci so zlomkami.

Deliteľnosť je základom pre veľa konceptov v matematike a má bohaté využitie napríklad v modernej kryptológii (šifrovanie).

Párne čísla sú celé čísla, ktorá sú bez zvyšku deliteľné dvomi. Párne čísla sa končia cifrou 0, 2, 4, 6 alebo 8. Príklady párnych čísel sú 138, 12, 0, 9356, -34, 6.

Nepárne čísla sú celé čísla, ktoré majú po delení dvomi zvyšok jedna. Nepárne čísla sa končia cifrou 1, 3, 5, 7 alebo 9. Príklady nepárnych čísel sú 15, 891, -7, 1, 95.

Číslo a je deliteľné nenulovým celým číslom b práve vtedy, keď je a celočíselným násobkom b, tj. a = k\cdot b. Inými slovami: číslo a dáva po delení číslom b zvyšok 0. Príklady:

• Číslo 15 je deliteľné číslom 5, pretože 15 = 3\cdot 5.
• Číslo 25 nie je deliteľné číslom 4, pretože 25 = 6\cdot 4 + 1 (zvyšok nie je nulový).

Pre niektoré delitele môžeme deliteľnosť rozoznať pomerne ľahko:

Prvočíslo je prirodzené číslo väčšie než 1, ktoré je deliteľné len jednotkou a sebou samým.

Zložené číslo je prirodzené číslo väčšie než 1, ktoré nie je prvočíslom, má teda aj iný deliteľ než jednotku a seba samého.

Príklady:

• 6 je zložené číslo, pretože je deliteľné napríklad číslom 2.
• 7 je prvočíslo, pretože je deliteľné len číslami 1 a 7.
• 13 je prvočíslo, pretože je deliteľné len číslami 1 a 13.
• 15 je zložené číslo, pretože je deliteľné napríklad číslom 3.

Podľa vyššie uvedenej definície nie je číslo 1 prvočíslo ani zložené číslo. Taká je bežná matematická konvencia, pretože to vedie k elegantnejšej formulácii rôznych matematických výsledkov. Existujú ale aj iné prístupy k poňatiu prvočíselnosti jednotky (historické).

Prvočísel je nekonečne veľa. Prvočísla menšie než 100 sú: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Každé číslo sa dá jednoznačne rozložiť na prvočíselný rozklad, napr.:

• 12 = 2 \cdot 2 \cdot 3
• 30 = 2 \cdot 3\cdot 5
• 1638 = 2 \cdot 3^2\cdot 7\cdot 13

Najväčší spoločný deliteľ (NSD) dvoch celých čísel je najväčšie číslo, ktoré bez zvyšku delí obe čísla. Príklady: NSD(18, 24) = 6, NSD(12, 21) = 3, NSD(24, 35) = 1. Najväčší spoločný deliteľ je možné zovšeobecniť aj na väčší počet vstupných čísel. Napríklad NSD(30, 85, 90) = 5. Typickým využitím najväčšieho spoločného deliteľa je krátenie zlomkov. Ak je najväčší spoločný deliteľ dvoch čísel 1, nazývame ich nesúdeliteľné. Napríklad čísla 15 a 32 sú nesúdeliteľné.

V prípade malých čísel môžeme najväčší spoločný deliteľ určiť tak, že si jednoducho vypíšeme všetky delitele. Ak hľadáme NSD(18, 24) postupujeme takto:

• Delitele čísla 18 sú 1, 2, 3, 6, 9, 18.
• Delitele čísla 24 sú 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
• Spoločné delitele čísel 18 a 24 sú 1, 2, 3, 6.
• Najväčší spoločný deliteľ je 6.

Pri väčších číslach môžeme najväčší spoločný deliteľ určiť pomocou prvočíselného rozkladu. Obe čísla rozpíšeme ako súčin prvočísel, výsledný NSD je súčin prvočísel vyskytujúcich sa v oboch rozkladoch umocnených na príslušné najmenšie exponenty.

• Príklad \mathit{NSD}(18, 24):
  • 18 = 2\cdot 3 \cdot 3 = 2\cdot3^2
  • 24 = 2 \cdot 2 \cdot 2\cdot 3 = 2^3\cdot 3
  • Spoločná časť prvočíselného rozkladu: 2, 3.
  • \mathit{NSD}(90, 168) = 2\cdot 3 = 6
• Príklad \mathit{NSD}(540, 315):
  • 540 = 2\cdot 2\cdot3\cdot 3\cdot 3\cdot 5 = 2^2\cdot3^3\cdot 5
  • 315 = 3\cdot 3 \cdot 5\cdot 7 = 3^2 \cdot 5\cdot 7
  • Spoločná časť prvočíselného rozkladu: 3, 3, 5
  • \mathit{NSD}(540, 315) = 3\cdot 3\cdot 5 = 3^2\cdot 5 = 45

Pre praktické výpočty sa používajú iné algoritmy, hlavne Euklidov algoritmus.

Najmenší spoločný násobok (NSN) dvoch celých čísel je najmenšie číslo, ktoré je bez zvyšku deliteľné obomi číslami. Príklady: NSN(12, 15) = 60, NSN(6, 8) = 24, NSN(3, 15) = 15. Pojem najmenšieho spoločného násobku je možné zovšeobecniť aj na väčší počet vstupných čísel. Napríklad NSN(2, 3, 4) = 12. Typické využitie najmenšieho spoločného násobku je pri prevode zlomkov na spoločný menovateľ pri sčítaní zlomkov.

Pre malé čísla môžeme najmenší spoločný násobok nájsť tak, že si vypíšeme niekoľko prvých násobkov od oboch čísel. ak hľadáme NSN(12, 15), postupujeme takto:

• Násobky čísla 12 sú 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, …
• Násobky čísla 15 sú 15, 30, 45, 60, 75, 90, …
• Najmenší spoločný násobok je prvé číslo, ktoré sa vyskytuje v oboch zoznamoch. V tomto prípade teda 60.

V prípade väčších čísel môžeme najmenší spoločný násobok nájsť pomocou prvočíselného rozkladu. NSN sa rovná súčinu všetkých prvočísel, ktoré sa vyskytujú aspoň v jednom rozklade (v najvyššej mocnine, v akej sa vyskytujú).

Príklad \mathit{NSN}(24, 45):

• 24 = 2^3\cdot 3
• 45 = 3^2 \cdot 5
• \mathit{NSN}(24, 45) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 = 360

Najmenší spoločný násobok sa tiež dá vypočítať pomocou najväčšieho spoločného deliteľa (NSD): \mathit{NSN}(a, b) = \frac{a\cdot b}{\mathit{NSD}(a, b)}