Funkcie

Funkcia je matematický vzťah, ktorý priraďuje každému vstupu práve jeden výstup. Ako intuitívny príklad funkcie môže poslúžiť „zafarbovač na modro“ – na vstup berie kocku, na výstup dáva kocku zafarbenú na modro. Také poňatie funkcií nájdeme tiež v informatike, kde funkcie pomáhajú definovať rôzne operácie a algoritmy. V matematike väčšinou pracujeme s funkciami nad číslami, kde vzťah medzi vstupom a výstupom popisuje matematický výraz.

Medzi základné typy funkcií, s ktorými sa v matematike stretávame, patria:

Téma typy a vlastnosti funkcí sa zaoberá podrobnejším rozlišovaním medzi jednotlivými typmi funkcií a ich vlastnosťami, ako sú periodičnosť alebo ohraničenosť.

Funkcie pre lepšie pochopení často zakresľujeme graficky, čo nám umožňuje lepšie vidieť vzťah medzi vstupom a výstupom. Téma grafy funkcií zastrešuje precvičovanie v tomto stvárnení.

Grafy základných typov funkcií:

Pozn. V rámci zjednodušenia popisu berieme do úvahy len funkcie, ktorých definičný obor tvoria všetky reálne čísla.

Funkcia f sa nazýva párna práve vtedy, keď je pre každé x f(-x) = f(x). Graf párnej funkcie je súmerný podľa osi y. Príklady párnych funkcií: f_1(x) = x^2, f_2(x) = \cos(x), f_3(x) = x^4-3x^2+2.

Funkcia f sa nazýva nepárna práve vtedy, keď je pre každé x f(-x) = -f(x). Graf nepárnej funkcie je súmerný počiatku. Príklady nepárnych funkcií: f_1(x) = 3x, f_2(x) = \sin(x), f_3(x) = x^3-2x.

Funkcia f sa nazýva periodická práve vtedy, keď existuje číslo p != 0 (perióda funkcie) také, že pre každé x platí f(x+p)=f(x). Typickými príkladmi periodických funkcií sú funkcie goniometrické. Naopak napríklad polynómy periodické nie sú (s výnimkou konštantnej funkcie).

Funkcia f sa nazýva zdola ohraničená práve vtedy, keď existuje také číslo k, že pre každé x platí f(x) \geq k. Funkcia f sa nazýva zhora ohraničená, práve keď existuje také číslo k, že pre každé x platí f(x) \leq k. Funkcia f sa nazýva ohraničená, keď je súčasne ohraničená zhora aj zdola. Príklady:

• Funkcia f(x) = \sin(x) je ohraničená.
• Funkcia f(x) = x^2 je ohraničená zdola (pretože \forall x: f(x) \geq 0), ale nie je ohraničená zhora.
• Funkcia f(x) = 2x nie je ohraničená ani zhora, ani zdola.

Funkcia f sa nazýva prostá práve vtedy, keď pre každú dvojicu x_1 \neq x_2 platí f(x_1) \neq f(x_2).

Funkcia f sa nazýva rastúca práve vtedy, keď pre každú dvojicu x_1 \lt x_2 platí f(x_1) \lt f(x_2).

Funkcia f se nazýva klesajúca práve vtedy, keď pre každú dvojicu x_1 > x_2 platí f(x_1) > f(x_2).

Graf funkcie f zadanej predpisom y=f(x) pre všetky x z množiny D(f) je množina bodov v rovine, ktorých karteziánske súradnice x, y spĺňajú nasledujúce podmienky:

• súradnica x je v definičnom obore funkcie f (teda x \in D(f))
• závislosť súradnice y od x je popísaná funkčným predpisom y=f(x) (pre každé x z D(f) je v grafe presne jeden bod, jeho súradnice sú x a f(x))

Lineárnu funkciu môžeme vždy zapísať v tvare f(x) = a\cdot x + b, kde a a b sú konštanty. Parameter a je smernica (tiež nazývaná sklon), parameter b je absolútny člen. Grafom lineárnej funkcie je priamka, pričom platí:

• Absolútny člen b udáva „zvislý posun“. Je to priesečník priamky s osou y. V uvedených príkladoch je vyznačený oranžovou farbou.
• Smernica a udáva sklon priamky, čo môžeme vyjadriť ako „o koľko jednotiek na osi y sa priamka posunie za jednu jednotku na osi x“. V uvedených príkladoch je smernica vyznačená žltou farbou.

Dôležité sú znamienka (naznačené v obrázkoch šípkami). Kladný absolútny člen znamená posun hore, záporný absolútny člen znamená posun dole. Kladná smernica znamená stúpajúcu priamku, záporná smernica znamená klesajúcu priamku.

Kvadratickú funkciu je možné vyjadriť v tvare f(x) = ax^2 + bx + c, kde a\neq 0. Grafom kvadratickej funkcie je parabola. Tento graf zobrazuje funkciu 0{,}5 x^2 + x - 4:

Priesečníky s osou x sú riešenia kvadratickej rovnice ax^2 + bx + c = 0. Pre vyššie uvedený príklad 0{,}5 x^2 + x - 4 sú týmito riešeniami x_1 = -4 a x_2 = 2.

Kvadratický koeficient a ovplyvňuje základnú podobu paraboly:

• Ak je a > 0, „smeruje parabola hore“ (presnejšie: je to zdola ohraničená, konvexná funkcia).
• Ak je a \lt 0, „smeruje parabola dole“ (presnejšie: je to zhora ohraničená, konkávna funkcia).
• Veľkosť kvadratického koeficientu a ovplyvňuje, ako je parabola „široká“.

Konštantný člen c ovplyvňuje posun paraboly – udáva priesečník s osou y.

Na obrázku je graf funkcie y=|x|. Tento graf tvoria dve polpriamky s počiatkom v bode [0;0], pretože pre absolútnu hodnotu platí:

• absolútna hodnota kladného čísla je rovná tomuto číslu: |x|=x
• absolútna hodnota záporného čísla je rovná opačnému číslu: |x|=-x
• absolútna hodnota čísla nula je rovná nule: |0|=0

Ak chceme nakresliť graf funkcie y=|f(x)| postupujeme tak, že nakreslíme graf y=f(x) a potom záporné funkčné hodnoty nahradíme opačnými. V oblasti, kde sú funkčné hodnoty záporné, sa teda graf preklopí okolo osi x.

Grafom lineárnej lomenej funkcie je hyperbola, ktorá má asymptoty rovnobežné so súradnicovými osami x a y.

Asymptota rovnobežná s osou y prechádza bodom, ktorý nepatrí do definičného oboru a má teda rovnicu: x =-\frac{d}{c}.

Na nájdenie rovnice asymptoty rovnobežnej s osou x vydelíme čitateľa a menovateľa a funkčný predpis y =\frac{ax+b}{cx+d} upravíme na tvar y =\frac{a}{c}+\frac{n}{ax+b}. Asymptota rovnobežná s osou x má rovnicu: y =\frac{a}{c}.

Priesečník grafu s osou x je bod, pre ktorý ax+b=0. V tomto bode je hodnota funkcie nulová, teda čitateľ zlomku \frac{ax+b}{cx+d} je nulový.

Priesečník grafu s osou y je bod, ktorý dostaneme dosadením hodnoty x=0 do funkčného predpisu.

Grafy základných mocninových funkcií y= x^n

• pre párne n – graf je súmerný podľa osi y, D(f)=\R, H(f)=\langle0, \infty)

• pre nepárne n – graf je súmerný podľa počiatku, D(f)=\R, H(f)=\R

Grafy mocninových funkcií so záporným exponentom y= x^{-n}

• pre párne n – graf súmerný podľa osi y, D(f)=\R- \{0\}, H(f)=\langle0, \infty)

• pre nepárne n – graf súmerný podľa počiatku, D(f)=\R - \{0\}, H(f)=\R - \{0\}

Grafy funkcií y= x^{\frac{1}{n}}:

• pre párne n – funkcia y= x^{\frac{1}{n}} definovaná na kladných číslach, D(f)=\langle0, \infty), H(f)=\langle0, \infty)

• pre nepárne n – funkcia y=x^n je jednoduchá, preto by sme mohli definovať n-tú odmocninu aj pre záporné čísla, ale často sa všetky n-té odmocniny pre párne aj nepárne n definujú pre jednoduchosť iba na intervale [0,\infty) (napr. ako príprava na prácu s mocninovými funkciami so všeobecnejšími racionálnymi exponentami) .

Vplyv úprav funkčného predpisu na graf mocninovej funkcie

Obrázok ukazuje niekoľko úprav funkcie y= x^3:

Grafy základných goniometrických funkcií

Dopad úprav funkcie na graf

Obrázok ukazuje grafy niekoľkých úprav funkcie \sin(x).

Grafy exponenciálnych funkcií

Grafom exponenciálnej funkcie je krivka s názvom exponenciála. Na obrázku sú grafy exponenciálnych funkcií so základmi 2 a e = 2{,}7 182 818 284\ldots. Vidíme tiež, že grafy funkcií e^x a e^{-x} sú spolu súmerné podľa osi y.

Efekt pripočítania konštanty k exponenciálnej funkcii

Efekt pripočítania konštanty k exponentu

Efekt vynásobenia exponenciálnej funkcie konštantou

Efekt vynásobenia exponentu konštantou

Grafy logaritmických funkcií

Logaritmická funkcia je inverzná k exponenciálnej funkcii s rovnakým základom. Grafy dvoch navzájom inverzných funkcií sú osovo súmerné podľa osi prvého kvadrantu (teda priamky spĺňajúcej x=y).

Na obrázku vidíme grafy logaritmických funkcií s rôznymi základmi 2, e, 10.

Značenie niektorých význačných logaritmických funkcií:

Efekt pripočítania konštanty k logaritmickej funkcii

Efekt pripočítania konštanty k argumentu logaritmickej funkcie

Efekt vynásobenia logaritmickej funkcie konštantou

Efekt vynásobenie argumentu logaritmickej funkcie konštantou

Logaritmická funkcia je inverzná k exponenciálnej funkcii s rovnakým základom. Grafy dvoch navzájom inverzných funkcií sú osovo súmerné podľa osi prvého kvadrantu (teda priamky spĺňajúcej x=y).

Graf každej logaritmickej funkcie tvaru y=\log_a x prechádza bodom [1,0], pretože pre ľubovoľnú konštantu a platí: \log_a 1=0. Na obrázku vidíme grafy logaritmických funkcií s rôznymi základmi 2, e, 10.

Značenie niektorých význačných logaritmických funkcií:

Efekt pripočítania konštanty k logaritmickej funkcii

Efekt pripočítania konštanty k argumentu logaritmickej funkcie

Efekt vynásobenia logaritmickej funkcie konštantou

Efekt vynásobenia argumentu logaritmickej funkcie konštantou

Grafom funkcie danej predpisom y= ax+b je priamka. Množinou riešení lineárnej nerovnice budú všetky body [x,y] ležiace v polrovine s hraničnou priamkou y= ax+b. Môže nastať jedna zo štyroch možností:

Na obrázkoch sú riešenia všetkých typov lineárnych nerovníc (všimnite si, že ak je v nerovnici iba znamienko \gt alebo \lt, body priamo na hraničnej priamke lineárnu nerovnicu nespĺňajú).

• y\geq 2x+1
• y \gt 2x+1
• y\leq 2x+1
• y \lt 2x+1

Funkcia f je lineárna, ak ju je možné vyjadriť v tvare f(x) = a\cdot x + b, kde a a b sú konštanty. Grafom lineárnej funkcie je priamka. Parameter a je smernica (tiež nazývaná sklon), parameter b určuje jej zvislý posun (tiež nazývaný absolútny člen).

Príklady lineárnych funkcií:

• f(x) = 2x
• f(x) = -4x+8
• f(x) = \frac13 x + 1{,2}

Aby bola funkcia lineárna, nemusí byť nutne priamo zapísaná v tvare f(x) = a\cdot x + b. Stačí, keď ide na tento tvar upraviť. Príklady:

• f(x) = 2-x môžeme prepísať ako f(x)= -1x + 2, čo je lineárna funkcia so smernicou -1 a absolútnym členom 2.
• f(x) = 5(3-x) môžeme prepísať ako f(x)= -5x + 15, čo je lineárna funkcia so smernicou -5 a absolútnym členom 15.
• f(x) = x^2 + 7 - x(x-1) vyzerá na prvý pohľad ako kvadratická funkcia, ale môžeme ju upraviť na f(x)= x + 7 (kvadratický člen sa vyruší), takže ide o lineárnu funkciu.

Funkcia f je lineárna, ak ju je možné vyjadriť v tvare f(x) = a\cdot x + b, kde a a b sú konštanty. Definičný obor lineárnej funkcie je celá množina reálnych čísel.

Špeciálnym prípadom lineárnej funkcie je funkcia konštantná. Tú dostávame v prípade, že a=0.

Ak a \neq 0, potom pre lineárnu funkciu platí:

• je jednoduchá,
• nie je ohraničená zhora ani zdola,
• nemá maximum ani minimum,
• nie je periodická,
• obor hodnôt je množina reálnych čísel.

Pre a > 0 je funkcia f rastúca, pre a \lt 0 je funkcia f klesajúca.

Pre b=0 je funkcia f nepárna.

Grafom lineárnej funkcie je priamka. Priesečník grafu s osou y je v bode (0, b). Priesečník grafu s osou x je v bode (-\frac{b}{a}, 0).

Lineárnu lomenú funkciu môžeme vyjadriť ako podiel dvoch lineárnych funkcií, teda v tvare

f:y =\frac{ax+b}{cx+d},

kde a,b,c,d sú konštanty.

Definičným oborom lineárnej lomené funkcie je množina všetkých reálnych čísel okrem hodnoty, v ktorej by bol menovateľ zlomku \frac{ax+b}{cx+d} nulový:

D(f)=\mathbb{R} - \{-\frac{d}{c}\}

Úpravou podmienky pre nenulovosť menovateľa zlomku dostaneme vyjadrenie definičného oboru pomocou nerovnice: cx+d\neq0\Rightarrow x\neq -\frac{d}{c}

Kedy je funkcia nelineárna a nekonštantná (a graf je hyperbola, nie priamka)

Na to, aby f:y=\frac{ax+b}{cx+d} nebola lineárna ani konštantná funkcia, musí byť splnených niekoľko podmienok. Pre konštanty a,b,c,d musí platiť: c\neq0 a bc-ad\neq0.

• pre c=0 by sme mali lineárnu funkciu danú rovnicou y =\frac{a}{d}\cdot x+\frac{b}{d}
• pre bc-ad=0 by sme mali konštantnú funkciu y =\frac{a}{c}

Špeciálnym prípadom lineárnej lomenej funkcie je nepriama úmernosť vyjadrená v tvare y =\frac{k}{x}.

Lineárna lomená funkcia f:y =\frac{ax+b}{cx+d} má definičný obor D(f)=\R - \{-\frac{d}{c}\}, čo môžeme tiež zapísať ako zjednotenie dvoch intervalov: D(f)=(-\infty, -\frac{d}{c}) \cup (-\frac{d}{c}, \infty)

Ak c\neq0 a bc-ad\neq0, potom pre lineárnu lomenú funkciu platí:

• je prostá
• nie je periodická
• nemá maximum ani minimum
• nie je zhora ani zdola ohraničená

Ďalšie vlastnosti závisia od hodnôt koeficientov a, b, c, d:

• pre bc-ad \gt 0 je lineárna lomená funkcia klesajúca na intervale (-\infty, -\frac{d}{c}) a tiež klesajúca na intervale (-\frac{d}{c}, \infty)
• pre bc-ad \lt 0 je lineárna lomená funkcia rastúca na intervale (-\infty, -\frac{d}{c}) a tiež je rastúca na intervale (-\frac{d}{c}, \infty)
• pre a=0 a d=0 má lineárna lomená funkcia tvar: f:y =\frac{b}{cx} a je to nepárna funkcia (f(x) = - f(-x))

Funkcia je kvadratická, keď ju môžeme vyjadriť v tvare f(x) = ax^2 + bx + c, kde a\neq 0. Funkcia je rýdzo kvadratická, ak nemá lineárny člen (teda b=0). Grafom kvadratickej funkcie je parabola. Kvadratická funkcia je špeciálny príklad polynómu (mnohočlena).

Príklady kvadratických funkcií:

• f(x) = x^2
• f(x) = (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1
• f(x) = -3x^2 + 2x -8

Funkcia je kvadratická, ak ju je možné vyjadriť v tvare f(x) = ax^2 + bx + c, kde a\neq 0.

Definičný obor kvadratickej funkcie je celá množina reálnych čísel.

Kvadratická funkcia nemá žiadnu z nasledujúcich vlastností: jednoduchá, periodická, rastúca, klesajúca.

Ďalšie vlastnosti závisia od toho, či je kvadratický člen kladný alebo záporný:

• Pre a > 0 je funkcia zdola ohraničená, zhora nie je. V bode -\frac{b}{2a} má minimum.
• Pre a \lt 0 je funkcia zhora ohraničená, zdola nie je. V bode -\frac{b}{2a} má maximum.

Goniometrické funkcie (alebo tiež trigonometrické funkcie) sú funkcie, ktoré dávajú do vzťahu uhol v pravouhlom trojuholníku a pomer dvoch jeho strán. Goniometrické funkcie majú široké využitie v geometrii a veľa praktických aplikácií (napríklad v navigácii, nebeskej mechanike či geodézii). Goniometrické funkcie súvisia nie len s geometriou, ale aj s mnohými inými oblasťami matematiky. Môžeme sa s nimi stretnúť napríklad v prípade komplexných čísel či nekonečných radov.

Základné goniometrické funkcie sú sínus, kosínus a tangens. Ďalšie sú potom sekans, kosekans a kotangens.

Inverzné funkcie k funkciám goniometrickým sa nazývajú cyklometrické (napr.arkussínus, arkustangens).

Goniometrické funkcie môžeme v pravouhlom trojuholníku vyjadriť nasledovne:

• Sínus (\sin) uhla \alpha je pomer dĺžky odvesny protiľahlej uhlu \alpha a dĺžky prepony.
• Kosínus (\cos) uhla \alpha je pomer dĺžky odvesny priľahlej uhlu \alpha a dĺžky prepony.
• Tangens (\tan) uhla \alpha je pomer dĺžky odvesny protiľahlej uhlu \alpha a dĺžky odvesny priľahlej uhlu \alpha.

Často používané hodnoty goniometrických funkcií ilustruje tento obrázok jednotkovej kružnice – x-ová súradnica bodu zodpovedá hodnote \cos daného uhla, y-ová súradnica bodu zodpovedá hodnote \sin daného uhla.

Pre goniometrické funkcie platí celý rad vzťahov a vzorcov. Výber tých základných:

• Záporné hodnoty uhlov:
  • \sin(-x) = -\sin(x) (nepárna funkcia)
  • \cos(-x) = \cos(x) (párna funkcia)
  • \tan(-x) = -\tan(x) (nepárna funkcia)
• Posuny:
  • \sin(x+2\pi) = \sin(x) (perióda 2\pi)
  • \sin(x+\pi) = -\sin(x)
  • \sin(x+\frac{\pi}{2}) = \cos(x)
• Súčtové vzorce goniometrických funkcií:
  • \sin(x+y) = \sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)
  • \sin(x-y) = \sin(x)\cos(y)-\cos(x)\sin(y)
  • \cos(x+y) = \cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)
  • \cos(x-y) = \cos(x)\cos(y)+\sin(x)\sin(y)
• Dvojnásobný argument:
  • \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)
  • \cos(2x) = \cos^2(x)-\sin^2(x)
  • \tan(2x) = \frac{2\tan(x)}{1-\tan^2(x)}

Pre obe funkcie \sin(x) a \cos(x) platí:

• definičný obor je množina reálnych čísel,
• obor hodnôt je interval \langle -1, 1 \rangle,
• funkcia je ohraničená,
• funkcia je periodická s periódou 2\pi,
• funkcia nie je prostá.

Pre funkciu \sin(x) platí:

• je nepárna,
• nulové hodnoty nadobúda v bodoch x=k\pi.

Pre funkciu \cos(x) platí:

• je párna,
• nulové hodnoty nadobúda v bodoch x=(2k+1)\frac{\pi}{2}.

Pre funkciu \tan(x) platí:

• definičný obor je \{x \in \mathbb{R}: x \neq (2k+1)\frac{\pi}{2} \},
• obor hodnôt je množina reálnych čísel,
• funkcia je nepárna,
• funkcia je periodická s periódou \pi,
• funkcia je ohraničená,
• nulové hodnoty nadobúda v bodoch x=k\pi.

Funkcia je mocninová, ak ju je možné vyjadriť v tvare y= x^k, kde k je konštanta. Definičný obor aj vlastnosti funkcie sú dané hodnotou konštanty k.

Medzi najčastejšie typy mocninových funkcií (pre koeficient n\in \N) patria:

• y= x^n … napríklad: y= x^2, y= x^3
• y= x^{-n} … napríklad: y=x^{-2} (môžeme tiež písať v tvare: y= \frac{1}{x^2})
• y= x^{\frac{1}{n}} … napríklad: y= x^{\frac{1}{3}} (môžeme tiež písať v tvare: y= \sqrt [3]{x})

Funkcia je exponenciálna iba vtedy, keď ju je možné vyjadriť v tvare y= a^x, kde a je konštanta. Konštanta a sa nazýva základ a môže to byť akékoľvek kladné reálne číslo okrem hodnoty 1, teda a\in (0,1)\cup (1,\infty). Výraz x je exponent. Definičným oborom exponenciálnej funkcie je množina všetkých reálnych čísel, oborom hodnôt je množina všetkých kladných reálnych čísel. V bežnej reči používame pojem exponenciálny rast, ak chceme povedať, že niečo veľmi rýchlo rastie, napríklad počty chorých pri epidémii.

Pre exponenciálnu funkciu f:y =a^x platí:

• definičný obor D(f)=\R
• obor hodnôt H(f)=(0, \infty)
• je prostá
• nie je periodická
• nie je párna ani nepárna
• nemá maximum ani minimum
• je zdola ohraničená

Ďalšie vlastnosti závisia od hodnoty koeficientu a:

• pre a>1 je exponenciálna funkcia rastúca
• pre a\in (0,1) je exponenciálna funkcia klesajúca

Funkcia je logaritmická, ak ju je možné vyjadriť v tvare y=\log_a x, kde a je konštanta. Konštanta a sa nazýva základ a môže to byť akékoľvek kladné reálne číslo okrem hodnoty 1, teda a\in (0,1)\cup (1,\infty). Výraz x je argument.

Definičným oborom logaritmickej funkcie je množina všetkých kladných reálnych čísel, oborom hodnôt je množina všetkých reálnych čísel.

Pre logaritmickú funkciu y=\log_ax platí:

• definičný obor D(f)=(0, \infty)
• obor hodnôt H(f)=\R
• je prostá
• nie je periodická
• nie je párna ani nepárna
• nemá maximum ani minimum
• nie je ohraničená

Ďalšie vlastnosti závisia od hodnoty koeficientu a:

• pre a>1 je logaritmická funkcia rastúca
• pre a\in (0,1) je logaritmická funkcia klesajúca