Slovenčina
Angličtina
Informatika
Vieme to
Nemčina
Biológia
Zemepis
Chémia
Fyzika
Aritmetika
Zlomky, percentá, desatinné čísla
Geometria
Elementárna algebra
Funkcie
Jednotky, miery
Diskrétna matematika
Finančná gramotnosť
Rozhodovačka
Pexeso
Krok za krokom
Počítanie
Grafár
Porozumenie
Označovanie
Presúvanie
Mriežkovaná
Rozdeľovačka
Pokazená kalkulačka
Roboti
Strieľačka
Príšerky
Preteky
Územia
Tipovačka
Tímovka
Môj účet
Odhlásiť saVýpis prehľadov
Lomené výrazy
Prechádzate súhrny informácií k určitým témam. Systémy Vieme sa zameriavajú hlavne na ich precvičovanie. K cvičeniam k jednotlivým podtémam sa dostanete pomocou odkazov nižšie.
Podkapitoly
Lomené výrazy
Lomený výraz má tvar zlomku, v menovateli ktorého je mnohočlen (výraz s premennou). Príkladom lomeného výrazu je \frac{x+2}{x^2-1}. S lomenými výrazmi počítame podobne ako so zlomkami.
Pri lomených výrazoch je treba brať do úvahy podmienky, za ktorých majú zmysel. Lomený výraz má zmysel pre všetky hodnoty premenných, pre ktoré je výraz v menovateli iný než nula. Príklady:
- Výraz \frac{x+5}{x-3} má zmysel pre x \neq 3.
- Výraz \frac{x^3}{x^2-1} má zmysel pre x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}, pretože x^2-1 = 0 pre hodnoty -1 a 1.
- Výraz \frac{x^3}{x^2+1} má zmysel pre všetky reálne čísla, pretože x^2+1 je vždy väčšie ako nula.
Podmienky lomených výrazov
V prípade lomených výrazov je treba brať do úvahy podmienky, pre ktoré má zmysel. Lomený výraz má zmysel pre všetky hodnoty premenných, pre ktoré je výraz v menovateli iný ako nula. Príklady:
- Výraz \frac{x+5}{x-3} má zmysel pre x \neq 3.
- Výraz \frac{x^3}{x^2-1} má zmysel pre x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}, pretože x^2-1 = 0 pre hodnoty -1 a 1.
- Výraz \frac{x^3}{x^2+1} má zmysel pre všetky reálne čísla, pretože x^2+1 je vždy väčšie než nula.
Určiť, kedy je výraz iný ako nula, nemusí byť úplne ľahké. Na ilustráciu uveďme ťažší príklad výrazu s všeobecným kvadratickým menovateľom (môžu sa hodiť poznatky z kvadratických rovníc a grafy kvadratických funkcií).
Určenie podmienok lomeného výrazu \frac{1}{x^2+kx+3}
- Výraz má zmysel ak x^2+kx+3 \neq 0.
- Diskriminant kvadratickej rovnice x^2+kx+3 = 0 pre premennú x je k^2-12.
- Uvedená kvadratická rovnica má jedno alebo dve riešenia x_1=\frac{-k+\sqrt{k^2-12}}{2}, x_2=\frac{-k-\sqrt{k^2-12}}{2} pre k^2-12 \geq 0, teda pre k \leq -\sqrt{12} alebo k \geq \sqrt{12}.
- Lomený výraz má zmysel, keď jeho menovateľ nie je rovný nule, teda keď nemá kvadratická rovnica žiadne riešenie alebo x nie je rovno riešenie tejto rovnice.
- Celkovo má výraz \frac{1}{x^2+kx+3} zmysel keď k \in (-\sqrt{12},\sqrt{12}) nebo x \notin \{ x_1,x_2\}.
Určenie podmienok lomeného výrazu \frac{1}{\frac{x-3}{x}}
- Výraz má zmysel, ak žiadny zlomok nemá nulový menovateľ.
- Ide o zlomok \frac{1}{\frac{x-3}{x}} s menovateľom \frac{x-3}{x} a tiež o zlomok \frac{x-3}{x} s menovateľom x.
- \frac{x-3}{x} by bolo rovné nule pre x=3.
- x by bolo rovné nule priamo pre x=0.
- Takže celkovo podmienky, za ktorých má zmysel výraz zo zadania, sú: x \neq 3, x \neq 0
Lomené výrazy: úpravy a výpočty
S lomenými výrazmi počítame podobne ako so zlomkami, iba musíme úpravy vykonávať s mnohočlenmi.
Príklad: úprava výrazu \frac{3}{4x} + \frac{2}{3x}
- Prevedieme oba výrazy na spoločný menovateľ: \frac{9}{12x} + \frac{8}{12x}.
- Sčítame: \frac{9+8}{12x} = \frac{17}{12x}.
Príklad: úprava výrazu \frac{x+y}{x^2-y^2}
- Menovateľ rozpíšeme pomocou vzorca x^2-y^2=(x+y)(x-y).
- Dostávame \frac{x+y}{(x+y)(x-y)}.
- Pokrátime na \frac{1}{x-y}.
