Množiny

Množina je súbor prvkov. Množiny využívame ako čiastkový prvok v mnohých oblastiach matematiky. Príklad z geometrie: kružnica je množina bodov, ktoré majú rovnakú vzdialenosť od stredu. Množiny majú aj mnoho praktických využití. Napríklad pri vývoji internetového obchodu program pracuje s množinou dostupných výrobkov. Množiny sú tiež dôležité na štúdium základov matematiky. Pomáhajú nám napríklad ujasniť si, čo je to nekonečno.

Na prácu s množinami potrebujeme najskôr ovládnuť základné pojmy a značenie a pozrieť sa na rôzne spôsoby, ako môžeme množiny zapísať (vymenovaním, charakteristickou vlastnosťou, štandardným značením).

S množinami môžeme vykonávať množinové operácie ako sú zjednotenie a prienik. Tieto operácie je vhodné si najskôr precvičiť na konkrétnych príkladoch. Keď máme jasno v jednotlivých prípadoch, prichádzajú na rad všeobecné vlastnosti množín a množinových operácií. Na získanie pochopenia a intuície je vhodné zakreslovať si množiny pomocou Vennových diagramov.

Medzi pokročilejšie témy patria množiny množín a potenčná množina.

Množina je súbor prvkov. Pri množine nie je dôležité poradie prvkov a nezohľadňuje opakované výskyty prvkov. Nasledujúce množiny sú všetky rovnaké:

• \{\square, \bigcirc, \triangle\}
• \{\bigcirc, \triangle, \square\}
• \{\square, \square, \square, \bigcirc, \bigcirc, \triangle\}

Dôležité číselné množiny majú v matematike svoje štandardné označenie:

Ostatné množiny zapisujeme dvomi hlavnými spôsobmi:

Zápis vymenovaním. Jednoducho vymenujeme prvky množiny a zapíšeme ich pomocou zloženej zátvorky. Napríklad M = \{3, 7, 9\} je trojprvková množina obsahujúca čísla 3, 7 a 9.

Symbolický zápis množín. Určíme, zo ktorej množiny prvky vyberáme a akú musia spĺňať vlastnosť. Napríklad M = \{x \in \mathbb{N} \mid x < 10\} je množina prirodzených čísel menších než 10.

Znázornenie množinových operácií pomocou Vennových diagramov:

• Každá množina je svojou podmnožinou: A\subseteq A.
• Množina nemôže byť svojou vlastnou podmnožinou.
• Prázdna množina je podmnožina akejkoľvek množiny: \emptyset \subseteq A.
• Prázdná množina nemá žiadnu vlastnú podmnožinu.
• A \subseteq A \cup B
• A \cap B \subseteq A
• A \subseteq A \wedge B \subseteq A \Leftrightarrow A=B

Vennov diagram znázorňuje všetky možné vzťahy niekoľkých množín. Vennov diagram znázorňuje prvky množín ako body v rovine a množiny ako plochy vnútri kriviek. Najčastejšie používané sú Vennove diagramy pre dve a tri množiny, v ktorých sú množiny znázornené pomocou kruhov. Je možné stvárniť Vennove diagramy aj v prípade viacerých množín, ale k tomu si už nevystačíme s kruhmi (tieto diagramy nie sú prehľadné, a tak sa príliš nevyužívajú).

Typický Vennov diagram pre tri množiny:

Príklad s konkrétnymi prvkami (množina A obsahuje červené útvary, množina B obsahuje kolieska, množina C obsahuje vyplnené útvary):

Vennove diagramy využívame napríklad pre názornú ilustráciu množinových operácií. Nasledujúci obrázok ilustruje B \cap (A \cup C):

Množina prvkom množiny

Prvkom množiny môže byť aj iná množina. S takým prvkom pracujeme rovnako ako s inými prvkami, len sa nesmieme nechať zmiasť.

Príklad: Množina M = \{a, \{b, c, d, e\}, \emptyset\} obsahuje tri prvky:

• „obyčajný“ prvok a
• štvorprvkovú množinu \{b, c, d, e\}
• prázdnu množinu \emptyset

Pozor na rozdiel medzi prázdnou množinou a množinou obsahujúcou prázdnu množinu:

• \emptyset (tiež môžeme písať \{\}) je prázdná množina, jej veľkosť je 0,
• \{\emptyset\} je množina obsahujúca prázdnu množinu, jej veľkosť je 1.

Potenčná množina

Potenčná množina množiny M obsahuje všetky podmnožiny množiny M. Potenčnú množinu značíme \mathcal{P}(M) (existujú aj ďalšie značenia, napríklad 2^M).

Príklad: Pre množinu M = \{a, b, c\} sú všetky jej podmnožiny:

• \{\}
• \{a\}
• \{b\}
• \{c\}
• \{a, b\}
• \{a, c\}
• \{b, c\}
• \{a, b, c\}

Potenčná množina je množina všetkých týchto množín, teda \mathcal{P}(M)=\{\{\}, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\}, \{a, b, c\}\}.

Potenčná množina množiny M vždy obsahuje ako svoj prvok samú množinu M. Každá potenčná množina tiež obsahuje ako svoj prvok prázdnu množinu.