Najväčší spoločný deliteľ – 1. trieda (1. ročník)

Najväčší spoločný deliteľ (NSD) dvoch celých čísel je najväčšie číslo, ktoré bez zvyšku delí obe čísla. Príklady: NSD(18, 24) = 6, NSD(12, 21) = 3, NSD(24, 35) = 1. Najväčší spoločný deliteľ je možné zovšeobecniť aj na väčší počet vstupných čísel. Napríklad NSD(30, 85, 90) = 5. Typickým využitím najväčšieho spoločného deliteľa je krátenie zlomkov. Ak je najväčší spoločný deliteľ dvoch čísel 1, nazývame ich nesúdeliteľné. Napríklad čísla 15 a 32 sú nesúdeliteľné.

V prípade malých čísel môžeme najväčší spoločný deliteľ určiť tak, že si jednoducho vypíšeme všetky delitele. Ak hľadáme NSD(18, 24) postupujeme takto:

• Delitele čísla 18 sú 1, 2, 3, 6, 9, 18.
• Delitele čísla 24 sú 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
• Spoločné delitele čísel 18 a 24 sú 1, 2, 3, 6.
• Najväčší spoločný deliteľ je 6.

Pri väčších číslach môžeme najväčší spoločný deliteľ určiť pomocou prvočíselného rozkladu. Obe čísla rozpíšeme ako súčin prvočísel, výsledný NSD je súčin prvočísel vyskytujúcich sa v oboch rozkladoch umocnených na príslušné najmenšie exponenty.

• Príklad \mathit{NSD}(18, 24):
  • 18 = 2\cdot 3 \cdot 3 = 2\cdot3^2
  • 24 = 2 \cdot 2 \cdot 2\cdot 3 = 2^3\cdot 3
  • Spoločná časť prvočíselného rozkladu: 2, 3.
  • \mathit{NSD}(90, 168) = 2\cdot 3 = 6
• Príklad \mathit{NSD}(540, 315):
  • 540 = 2\cdot 2\cdot3\cdot 3\cdot 3\cdot 5 = 2^2\cdot3^3\cdot 5
  • 315 = 3\cdot 3 \cdot 5\cdot 7 = 3^2 \cdot 5\cdot 7
  • Spoločná časť prvočíselného rozkladu: 3, 3, 5
  • \mathit{NSD}(540, 315) = 3\cdot 3\cdot 5 = 3^2\cdot 5 = 45

Pre praktické výpočty sa používajú iné algoritmy, hlavne Euklidov algoritmus.