Slovenčina
Angličtina
Informatika
Vieme to
Nemčina
Biológia
Zemepis
Chémia
Aritmetika
Zlomky, percentá
Geometria
Elementárna algebra
Funkcie
Jednotky, miery
Diskrétna matematika
Finančná gramotnosť
Rozhodovačka
Pexeso
Krok po kroku
Počítanie
Grafár
Porozumenie
Presúvanie
Mriežkovaná
Rozdeľovačka
Pokazená kalkulačka
Roboti
Strieľačka
Príšerky
Preteky
Územia
Tipovačka
Tímovka
Ihlan je priestorový geometrický útvar, ktorý má jednu podstavu a plášť tvorený trojuholníkmi. Podstava ihlanu môže byť ľubovoľný mnohouholník (napríklad štvorec, obdĺžnik alebo trojuholník) a všetky bočné steny (plášť) sa stretávajú v jednom spoločnom bode nazývanom vrchol ihlanu. Príkladom ihlanov sú pyramídy zo starovekého Egypta, vypadajú zhruba ako ihlany so štvorcovou podstavou a štyrmi trojuholníkovými bočnými stenami.
Vzorce pre objem a povrch
Objem ihlanu V = \frac{1}{3} S_p \cdot v, kde S_p je obsah podstavy a v je výška ihlanu, čo je vzdialenosť vrcholu od roviny podstavy. (Veľkosť výšky ihlanu získame ako dĺžku úsečky, ktorá vedie od vrcholu k rovine podstavy a je kolmá na túto rovinu.)
Povrch ihlanu získame ako súčet obsahu podstavy a obsahu plášťa S_p (obsah plášťa je rovný súčtu obsahov všetkých bočných trojuholníkových stien ihlanu). Celkovo je povrch ihlanu S = S_p + S_{pl}, v prípade pravidelného šesťbokého ihlanu na obrázku je: S=Sp + 6 \cdot S_{\Delta}
Niektoré ihlany majú pravidelnú podstavu, vrchol umiestnený priamo nad stredom podstavy a všetky trojuholníkové steny z plášťa rovnaké, ale všeobecne sa môže výpočet obsahu každej z týchto trojuholníkových stien líšiť v závislosti od tvaru podstavy ihlanu.
Špeciálne prípady
Pravidelný štvorsten je ihlan, ktorého základňa aj všetky tri bočné steny sú rovnostranné trojuholníky. Je jedným z Platónskych telies.
Ak máme pravidelný štvorsten, ktorého steny sú rovnostranné trojuholníky s dĺžkou každej strany a, vieme si pomocou Pytagorovej vety vypočítať výšku každého z týchto rovnostranných trojuholníkov \frac{\sqrt{3}}{2} a.
Povrch pravidelného štvorstenu
- Obsah podstavy pravidelného štvorstenu so stranou s dĺžkou a je obsah jedného zo štyroch rovnakých rovnostranných trojuholníkov: S_p = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} a = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2.
- Povrch pravidelného štvorstenu so stranou dĺžky a je: 4 \cdot S_p = \sqrt{3} \cdot a^2
Objem pravidelného štvorstenu
- V rovnostrannom trojuholníku leží ťažnica na výškach a zároveň na osách vnútorných uhlov. Vrchol pravidelného štvorstenu leží na priamke, ktorá je kolmá k jeho podstave a pretína ju v ortocentre (čo je zároveň tiež ťažisko rovnostranného trojuholníka).
- Môžeme teda pomocou Pytagorovej vety vypočítať nie len výšku trojuholníkov, ktoré tvoria steny pravidelného štvorstenu, ale tiež výšku celého telesa:
- v^2 = a^2 - (\frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} a )^2 = (1-\frac{1}{\sqrt{3}})\cdot a^2
- v = \sqrt{(1-\frac{1}{\sqrt{3}})}\cdot a
- Objem pravidelného štvorstenu so stranou s dĺžkou a je:
- \frac{1}{3} S_p \cdot v = \frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \cdot \sqrt{(1-\frac{1}{\sqrt{3}})}\cdot a = \frac{1}{4\cdot \sqrt{3}}\cdot \sqrt{(1-\frac{1}{\sqrt{3}})}\cdot a^3
Pravidelný n-boký ihlan má ako podstavu pravidelný n-uholník, jeho plášť tvorí n rovnoramenných trojuholníkov. Napríklad podstava pravidelného štvorbokého ihlanu je štvorec, jeho plášť tvoria štyri rovnoramenné trojuholníky.
