Rovnice

Rovnica s neznámou x je zápis v tvare L(x) = P(x), kde L(x), P(x) sú výrazy s premennou x. L(x) je ľavá strana rovnice, P(x) je pravá strana rovnice. Riešiť rovnicu znamená nájsť všetky hodnoty premennej x, pre ktoré výrazy L(x) a P(x) nadobúdajú rovnaké hodnoty. Tieto čísla sa nazývajú korene rovnice. Výpočet hodnôt L(x) a P(x) pre konkrétne x sa nazýva skúška správnosti.

Príklad: riešme rovnicu 2x-7 = 5-4x.

Rovnice delíme podľa typu výrazov, ktoré sa v nich objavujú. Napríklad:

• lineárne rovnice obsahujú len konštanty a násobky premennej x, napríklad 7- 2x = -1,

• kvadratické rovnice obsahujú aj druhú mocninu x, napríklad x^2+x-2=0,

• logaritmické rovnice obsahujú \log(x), napríklad \log_2(1-x)=16,

• exponenciálne rovnice obsahujú umocňovanie, v ktorom je premenná x v exponente, napríklad 3^x -3 = 6,

• goniometrické rovnice obsahujú goniometrické funkcie, napríklad \sin(2x) = 1.

Rovnice riešime ekvivalentnými úpravami, čo sú úpravy, ktoré nemenia množinu koreňov rovnice. Medzi také úpravy patria napríklad:

• výmena ľavej a pravej strany rovnice,

• pripočítanie alebo odčítanie rovnakého výrazu k obom stranám/od obchod strán rovnice,

• vynásobenie alebo vydelenie oboch strán rovnice nenulovým číslom.

Najjednoduchšie rovnice ako x+2 = 5 alebo 3x = 15 vyžadujú jednokrokové riešenie, stačí teda vykonať jednu úpravu rovnice (napr. odčítanie čísla 2 od oboch strán rovnice v prvom prípade). Tieto rovnice je väčšinou možné ľahko riešiť aj intuitívnou úvahou (pre aké číslo platí, že keď k nemu pripočítam dvojku, dostanem päťku?). Slúžia tak ako dobrý východzí bod pre zoznámenie sa s rovnicami.

Najjednoduchšie rovnice obsahujú len lineárne výrazy, vyskytujú sa v nich len konštanty a násobky premennej x. Rovnice upravujeme pomocou ekvivalentných úprav: pripočítanie a odčítanie rovnakého výrazu k obom stranám rovnice, úpravy výrazov na ľavej a pravej strane. Pomocou takých úprav ich prevedieme do tvaru x = a, kde a je riešenie.

Riešený príklad

Rovnicu 2x-7 = 5-4x môžeme riešiť týmito krokmi:

Počet riešení

V prípade základných lineárnych rovníc môžu nastať tri prípady:

• Rovnica nemá žiadne riešenie, napr. x+2=x+3.
• Rovnica má nekonečne veľa riešení, napr. pri rovnici x+1+x = 2x+1 je riešením rovnice ľubovoľné číslo.
• Rovnica má presne jedno riešenie, napr. vyššie uvedená rovnica 2x-7 = 5-4x má jediné riešenie x=2.

Časté chyby

Medzi časté chyby pri riešení rovníc patrí:

• vykonanie úpravy (pripočítanie čísla, vydelenie čísel) len na jednej strane rovnice,
• chybné skombinovanie konštánt a výrazov s premennou x, napr. úprava 3x + 2 na 5x,
• zlé znamienko pri výraze počas prevádzania z jednej strany rovnice na druhú.

Rovnice so zátvorkami môžeme riešiť rovnakým spôsobom ako základné rovnice, len v prvom kroku odstránime zátvorky. Napríklad: rovnicu 2(x+3) = 12 - x môžeme riešiť takto:

V niektorých prípadoch si však môžeme ušetriť prácu, ak zátvorky neroznásobíme. Napríklad v rovnici 3(x+1) = 18 je výhodnejšie najskôr rovnicu vydeliť číslom 3, čím dostaneme x+1 = 6, z čoho už ľahko dostaneme x=5.

Ak rovnica obsahuje zlomok, v ktorom sa vyskytuje neznáma v menovateli, musíme rovnicu najskôr vynásobiť menovateľom (prípadne spoločným násobkom všetkých menovateľov). Tým rovnicu prevedieme na základnú rovnicu, ktorú riešime bežným postupom.

Riešený príklad

Rovnicu so zlomkami riešime rovnakými postupmi ako základné rovnice, len pritom používame operácie so zlomkami.

Často sa môžeme operáciám so zlomkami vyhnúť tak, že si celú rovnicu najskôr roznásobíme spoločným násobkom všetkých menovateľov zlomkov.

Riešený príklad

Rovnice s desatinnými číslami riešime rovnakými postupmi ako základné rovnice, len pri tom myslíme na pravidlá na sčítania, odčítania a násobenia a delenia desatinných čísel. Často si môžeme riešenie uľahčiť tým, že celú rovnicu vynásobíme desiatkou (prípadne vyššou mocninou desiatky).

Riešený príklad