Pokročilé rovnice

Najjednoduchším typom rovníc sú lineárne rovnice, ktoré obsahujú iba konštanty a násobky jednej premennej. Tie sú dôkladne pokryté v základnej sekcii o rovniciach. V tejto sekcii sú pokryté rovnice náročnejších typov:

Rovnice s lomenými výrazmi riešime rovnakými postupmi ako základné rovnice.

Užitočným (nie však vždy nevyhnutným) prvým krokom býva roznásobenie oboch strán rovnice spoločným násobkom všetkých menovateľov lomených výrazov.

Podmienky riešiteľnosti

Aby lomený výraz dával zmysel, nesmie sa menovateľ rovnať nule. Po vyriešení rovnice teda musíme skontrolovať, že výsledné riešenie túto podmienku spĺňa pre všetky menovatele v rovnici.

Riešený príklad

Sústava dvoch rovníc s dvomi neznámymi je podobná ako základná rovnica, len máme namiesto jednej premennej x ešte aj premennú y a rovnice sú dve. Podobne ako pri rovniciach s jednou premennou, aj tu môžeme nájsť viacero rôznych typov. Dve rovnice s dvomi neznámymi môžu byť lineárne, kvadratické, logaritmické a iné. Väčšinou sa však precvičujú len základne lineárne rovnice, keďže ak dobre zvládneme ich riešenie, môžeme naučené postupy použiť aj na zložitejšie rovnice. Základné metódy riešenia sústavy dvoch rovníc sú dosadzovacia metóda a sčítacia metóda.

Dosadzovacia metóda

Pri riešení dosadzovacou metódou vyjadríme z jednej rovnice jednu neznámu pomocou druhej. Toto vyjadrenie potom dosadíme do druhej rovnice, čím dostaneme jednu obyčajnú rovnicu s jednou neznámou. Ukážka postupu na uvedenom príklade:

Sčítacia metóda

Pri riešení sčítacou metódou sčítame (či odčítame) oddelene ľavé a pravé strany oboch rovníc. Táto úprava vedie k cieľu, ak nám pri tejto operácii jedna z premenných vypadne. V niektorých prípadoch je preto nutné najskôr jednu z rovníc vynásobiť vhodným číslom. V prípade našej ukážkovej sústavy stačí rovnice jednoducho sčítať. Tým dostaneme 3x = 9, odtiaľ x=3 a dosadením potom už dopočítame y.

Kvadratická rovnica je rovnica, v ktorej se vyskytuje jedna neznáma v druhej mocnine. Základný tvar kvadratickej rovnice je: ax^2+bx+c=0, kde a, b, c sú reálne čísla a a\neq 0. Pri kvadratických rovniciach používame nasledujúce názvoslovie:

• ax^2 je kvadratický člen,
• bx je lineárny člen,
• c je absolútny člen.

Príkladom kvadratickej rovnice je 2x^2+6x-20 = 0. V tejto rovnici je kvadratický člen 2x^2, lineárny člen 6x a absolútny člen -20. Korene tejto rovnice sú 2 a -5.

Špeciálne typy kvadratických rovníc:

• Ak je b=0 nazývame rovnicu rýdzo kvadratickou: ax^2+c=0.
• Ak je c=0 hovoríme o rovnici bez absolútneho člena: ax^2+bx=0.

Riešenie kvadratickej rovnice

Každú kvadratickú rovnicu je možné riešiť pomocou výpočtu diskriminantu D. Preň platí: D=b^2-4\cdot a\cdot c. Môžu nastať 3 situácie:

• D < 0 – rovnica nemá v reálnych číslach riešenie.
• D=0 – rovnica má jeden dvojnásobný koreň.
• D > 0 – rovnica má dva rôzne reálne korene.

Pre korene rovnice platí:

• x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}
• x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}

Kvadratické rovnice môžeme riešiť aj bez počítania diskriminantu za využitia Vietových vzťahov. Pre korene rovnice platí: x_1+x_2=-\frac{b}{a}, x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}. V prípade a=1: x_1+x_2=-b, x_1\cdot x_2=c.

Príklad riešenia kvadratickej rovnice

• Riešime rovnicu x^2+2x-3=0.
• Pre túto rovnicu a=1, b=2, c=-3.
• Diskriminant D=b^2-4ac = 2^2-4\cdot 1\cdot(-3) = 4+12=16.
• D>0, rovnica má teda dve riešenia.
• x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \frac{-2+\sqrt{16}}{2\cdot 1} = 1
• x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \frac{-2-\sqrt{16}}{2\cdot 1} = -3
• Korene rovnice sú teda 1 a -3.

Exponenciálna rovnica má neznámu v exponente (mocniteli), napr. 3^{2x}-3^x=6.

Exponenciálnu rovnicu je možné riešiť rôznymi spôsobmi. Najjednoduchšie je riešenie rovnice s rovnakými základmi. Ak sa nám podarí rovnicu previesť na tvar a^{f(x)} = a^{g(x)}, môžeme sa zbaviť exponenciálnej funkcie a riešiť f(x) = g(x). Zložitejšie spôsoby riešenia exponenciálnych rovníc sú logaritmovanie a substitúcia.

Logaritmická rovnica je taká, kde neznáma vystupuje ako argument logaritmickej funkcie, napr. 2 \cdot \log_6(x-2) = \log_6(14-x).

Pri logaritmických rovniciach si musíme dávať pozor na podmienky riešenia. Argument každého logaritmu totiž musí byť vždy kladné číslo. V uvedenom príklade teda musí platiť x-2>0 a súčasne 14-x > 0.

Logaritmické rovnice riešime s využitím vlastností logaritmickej funkcie a jej vzťahu k exponenciálnej funkcii. Čiastkové spôsoby, ako riešiť logaritmické rovnice:

• Prevedieme rovnicu na tvar \log_a f(x) = c. Potom musí platiť f(x) = a^c.
• Prevedieme rovnicu na tvar \log_a f(x) = \log_a g(x). Potom musí platiť f(x) = g(x).

V goniometrických rovniciach sa neznáma objavuje v argumente goniometrických funkcií, napr. \sin × = 2 \cos (x+\pi). Ak nie je uvedené inak, predpokladáme, že sú argumenty goniometrických funkcií v radiánoch.

Zápis výrazov s goniometrickými funkciami a priorita operácií

V zápise výrazov s goniometrickými funkciami často vynechávame zátvorky okolo argumentu (píšeme \sin x namiesto \sin(x)), ak je jasné, čo je argumentom goniometrickej funkcie.

Je dôležité si pri čítaní výrazov s goniometrickými funkciami uvedomiť, ktorá operácia sa bude vykonávať skôr. Napríklad \cos × + 2 nie je to isté ako \cos(x+2), pretože funkciu \cos aplikujeme pri výraze bez zátvoriek skôr než sčítaní alebo odčítaní. Zvyklosť je chápať \sin 2x ako \sin (2x), ale keď máme výraz \sin × \sin x, chápeme ho ako \sin (x) \cdot \sin (x).

Mocniny hodnôt goniometrických funkcií majú tiež svoj špeciálny zápis.

Tipy na riešenie goniometrických rovníc

Okrem znalostí o hodnotách, vlastnostiach a grafoch goniometrických funkcií sa môžu hodiť tiež

• goniometrické vzorce,
• že vzťah \sin^2 × + \cos^2 × = 1 platí pre ľubovoľné reálne x,
• substitúcia, napr. \cos^2 × -2 \cos × +1 = 0 môžeme najskôr riešiť ako kvadratickú rovnicu t^2 -2t +1 pre t=\cos x, a až pre známe hodnoty riešení t hľadať zodpovedajúce hodnoty x.