Slovenčina
Angličtina
Informatika
Vieme to
Nemčina
Biológia
Zemepis
Chémia
Fyzika
Aritmetika
Zlomky, percentá, desatinné čísla
Geometria
Elementárna algebra
Funkcie
Jednotky, miery
Diskrétna matematika
Finančná gramotnosť
Rozhodovačka
Pexeso
Krok za krokom
Počítanie
Grafár
Porozumenie
Označovanie
Presúvanie
Mriežkovaná
Rozdeľovačka
Pokazená kalkulačka
Roboti
Strieľačka
Príšerky
Preteky
Územia
Tipovačka
Tímovka
Môj účet
Odhlásiť saVýpis prehľadov
Algebraické výrazy a ich úpravy
Prechádzate súhrny informácií k určitým témam. Systémy Vieme sa zameriavajú hlavne na ich precvičovanie. K cvičeniam k jednotlivým podtémam sa dostanete pomocou odkazov nižšie.
Podkapitoly
Algebraické výrazy a ich úpravy
Algebraický výraz je tvorený z konštánt („čísla“) a premenných („písmena“), ktoré sú dokopy spojené pomocou algebraických operácií (napr. sčítania, násobenia) a zátvoriek. Premenná zastupuje čísla z určitého oboru hodnôt. Pomocou algebraických výrazov môžeme vykonávať všeobecné výpočty.
Príklad:
- Vidiečan Vido má na dvore o ošípaných a s sliepok.
- Výraz 4\cdot p + 2 \cdot s vyjadruje celkový počet nôh, ktoré zvieratá na dvore majú.
- V tomto výraze sú čísla 4 a 2 konštanty, písmená p a s sú premenné, ktorých oborom sú prirodzené čísla.
- Výraz môžeme upraviť do tvaru 2(2p+s). Táto úprava zachováva hodnotu výrazu pre všetky možné priradenia hodnôt premenných.
Dosadzovanie do výrazov
Základný krok pri práci s algebraickými výrazmi je dosadenie hodnoty za premennú. Častým zdrojom chýb pri dosadzovaní sú „mínuska“, dávame si na ne teda obzvlášť pozor.
Príklad:
| Výraz | Hodnoty premenných | Dosadenie |
|---|---|---|
| 14-3n | n=2 | 14-3\cdot 2 = 8 |
| 3x-y | x=2, y=4 | 3\cdot2 - 4 = 2 |
| 2a+3b | a=5, b=-1 | 2\cdot 5 + 3\cdot(-1) = 7 |
| 1-x-2y | x=-5, y=7 | 1-(-5)-2\cdot 7 = 1+5-14=-8 |
Úpravy výrazov s jednou neznámou
Vykonávame také úpravy výrazov, ktoré zachovávajú hodnotu výrazu pre všetky možné dosadenia za premenné. Príklady úprav:
| Popis | Výraz | Upravený výraz |
|---|---|---|
| Sčítanie členov s premennou | 3x+4+6x | =9x+4 |
| Roznásobenie zátvorky | 3(x+2) | =3x+6 |
| Odčítanie zátvorky | 1-(x-2) | =1-x+2 =3-x |
| Vytknutie premennej | x^2+2x+3 | =x\cdot x +2x+3=x(x+2)+3 |
| Umocnenie | (x+1)^2 | =(x+1)(x+1)=x^2+2x+1 |
Pozor na častú chybu v prípade odčítania zátvorky: nesmieme zabudnúť, že „mínus a mínus dáva plus“.
HoreÚpravy výrazov s mnohočlenmi
Vykonávame také úpravy výrazov, ktoré zachovávajú hodnotu výrazu pre všetky možné dosadenia za premenné. Príklady úprav:
| Popis | Výraz | Upravený výraz |
|---|---|---|
| Sčítanie členov s rovnakou premennou | 3x+2y+4x | =7x+2y |
| Roznásobenie zátvorky | x(y-2) | =xy-2x |
| Vytknutie | 4x-x^2y+3 | =x(4-xy)+3 |
| Umocnenie | (a+b)^2 | =(a+b)(a+b)=a^2+2ab+b^2 |
| Roznásobenie dvoch zátvoriek | (a+b)(a-b) | =(a+b)(a-b)=a^2+ab-ab-b^2 = a^2-b^2 |
Úpravy výrazov so zlomkami
Úpravy výrazov so zlomkami vykonávame rovnakými základnými postupmi ako ostatné úpravy výrazov, len pri tom používame ešte aj operácie špecifické pre zlomky, napr. krátenie zlomkov, sčítanie a odčítanie zlomkov, násobenie a delenie zlomkov. Príklady úprav:
| Popis | Výraz | Upravený výraz |
|---|---|---|
| Krátenie zlomkov | \frac{3x+6}{15} | =\frac{x+2}{5} |
| Súčet zlomkov | \frac{x}{2}+\frac{x}{3} | =\frac{3x}{6}+\frac{2x}{6} = \frac{5x}{6} |
| Násobenie zlomkov | \frac{x+1}{2} \cdot \frac{1}{3} | =\frac{x+1}{6} |
Lomené výrazy
Lomený výraz má tvar zlomku, v menovateli ktorého je mnohočlen (výraz s premennou). Príkladom lomeného výrazu je \frac{x+2}{x^2-1}. S lomenými výrazmi počítame podobne ako so zlomkami.
Pri lomených výrazoch je treba brať do úvahy podmienky, za ktorých majú zmysel. Lomený výraz má zmysel pre všetky hodnoty premenných, pre ktoré je výraz v menovateli iný než nula. Príklady:
- Výraz \frac{x+5}{x-3} má zmysel pre x \neq 3.
- Výraz \frac{x^3}{x^2-1} má zmysel pre x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}, pretože x^2-1 = 0 pre hodnoty -1 a 1.
- Výraz \frac{x^3}{x^2+1} má zmysel pre všetky reálne čísla, pretože x^2+1 je vždy väčšie ako nula.
Podmienky lomených výrazov
V prípade lomených výrazov je treba brať do úvahy podmienky, pre ktoré má zmysel. Lomený výraz má zmysel pre všetky hodnoty premenných, pre ktoré je výraz v menovateli iný ako nula. Príklady:
- Výraz \frac{x+5}{x-3} má zmysel pre x \neq 3.
- Výraz \frac{x^3}{x^2-1} má zmysel pre x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}, pretože x^2-1 = 0 pre hodnoty -1 a 1.
- Výraz \frac{x^3}{x^2+1} má zmysel pre všetky reálne čísla, pretože x^2+1 je vždy väčšie než nula.
Určiť, kedy je výraz iný ako nula, nemusí byť úplne ľahké. Na ilustráciu uveďme ťažší príklad výrazu s všeobecným kvadratickým menovateľom (môžu sa hodiť poznatky z kvadratických rovníc a grafy kvadratických funkcií).
Určenie podmienok lomeného výrazu \frac{1}{x^2+kx+3}
- Výraz má zmysel ak x^2+kx+3 \neq 0.
- Diskriminant kvadratickej rovnice x^2+kx+3 = 0 pre premennú x je k^2-12.
- Uvedená kvadratická rovnica má jedno alebo dve riešenia x_1=\frac{-k+\sqrt{k^2-12}}{2}, x_2=\frac{-k-\sqrt{k^2-12}}{2} pre k^2-12 \geq 0, teda pre k \leq -\sqrt{12} alebo k \geq \sqrt{12}.
- Lomený výraz má zmysel, keď jeho menovateľ nie je rovný nule, teda keď nemá kvadratická rovnica žiadne riešenie alebo x nie je rovno riešenie tejto rovnice.
- Celkovo má výraz \frac{1}{x^2+kx+3} zmysel keď k \in (-\sqrt{12},\sqrt{12}) nebo x \notin \{ x_1,x_2\}.
Určenie podmienok lomeného výrazu \frac{1}{\frac{x-3}{x}}
- Výraz má zmysel, ak žiadny zlomok nemá nulový menovateľ.
- Ide o zlomok \frac{1}{\frac{x-3}{x}} s menovateľom \frac{x-3}{x} a tiež o zlomok \frac{x-3}{x} s menovateľom x.
- \frac{x-3}{x} by bolo rovné nule pre x=3.
- x by bolo rovné nule priamo pre x=0.
- Takže celkovo podmienky, za ktorých má zmysel výraz zo zadania, sú: x \neq 3, x \neq 0
Lomené výrazy: úpravy a výpočty
S lomenými výrazmi počítame podobne ako so zlomkami, iba musíme úpravy vykonávať s mnohočlenmi.
Príklad: úprava výrazu \frac{3}{4x} + \frac{2}{3x}
- Prevedieme oba výrazy na spoločný menovateľ: \frac{9}{12x} + \frac{8}{12x}.
- Sčítame: \frac{9+8}{12x} = \frac{17}{12x}.
Príklad: úprava výrazu \frac{x+y}{x^2-y^2}
- Menovateľ rozpíšeme pomocou vzorca x^2-y^2=(x+y)(x-y).
- Dostávame \frac{x+y}{(x+y)(x-y)}.
- Pokrátime na \frac{1}{x-y}.
