Slovenčina
Angličtina
Informatika
Vieme to
Nemčina
Biológia
Zemepis
Chémia
Aritmetika
Zlomky, percentá
Geometria
Elementárna algebra
Funkcie
Jednotky, miery
Diskrétna matematika
Finančná gramotnosť
Rozhodovačka
Pexeso
Krok po kroku
Počítanie
Grafár
Porozumenie
Presúvanie
Mriežkovaná
Rozdeľovačka
Pokazená kalkulačka
Roboti
Strieľačka
Príšerky
Preteky
Územia
Tipovačka
Tímovka
Množiny
Množina je súbor prvkov. Množiny využívame ako čiastkový prvok v mnohých oblastiach matematiky. Príklad z geometrie: kružnica je množina bodov, ktoré majú rovnakú vzdialenosť od stredu. Množiny majú aj mnoho praktických využití. Napríklad pri vývoji internetového obchodu program pracuje s množinou dostupných výrobkov. Množiny sú tiež dôležité na štúdium základov matematiky. Pomáhajú nám napríklad ujasniť si, čo je to nekonečno.
Na prácu s množinami potrebujeme najskôr ovládnuť základné pojmy a značenie a pozrieť sa na rôzne spôsoby, ako môžeme množiny zapísať (výmenovaním, charakteristickou vlastnosťou, štandardným značením).
S množinami môžeme vykonávať množinové operácie ako sú zjednotenie a prienik. Tieto operácie je vhodné si najskôr precvičiť na konkrétnych príkladoch. Keď máme jasno v jednotlivých prípadoch, prichádzajú na rad všeobecné vlastnosti množín a množinových operácií. Na získanie vhľadu a intuície je vhodné zakreslovať si množiny pomocou Vennových diagramov.
Medzi pokročilejšie témy patria množiny množín a potenčná množina.
Množiny: pojmy
Množina je súbor prvkov. Pri množine nie je dôležité poradie prvkov a nezohľadňuje opakované výskyty prvkov. Nasledujúce množiny sú všetky rovnaké:
- \{\square, \bigcirc, \triangle\}
- \{\bigcirc, \triangle, \square\}
- \{\square, \square, \square, \bigcirc, \bigcirc, \triangle\}
| Značenie | Pojem | Komentár |
|---|---|---|
| \emptyset | prázdna množina | |
| \overline{A} | doplnok | prvky, ktoré nepatria do množiny A |
| x \in A | patria do množiny | prvky x patria do množiny A |
| A \cap B | prienik | prvky, ktoré patria do oboch množín A, B |
| A \cup B | zjednotenie | prvky, ktoré patria aspoň do jednej z množín A, B |
| A \setminus B | rozdiel | prvky, ktoré patria do množiny A, ale nepatria do B |
| A = B | rovnosť | rovnosť množín A, B |
| A \subseteq B | podmnožina | všetky prvky množiny A patria aj do množiny B |
| A \subset B | vlastná podmnožina | A je podmnožina B a súčasne A \neq B |
| (zvislá čiara)A(zvislá čiara) | veľkosť množiny | počet prvkov množiny |
| A \cap B = \emptyset | disjunktné množiny | množiny A, B nemajú žiadny spoločný prvok |
Zápis množín
Dôležité číselné množiny majú v matematike svoje štandardné označenie:
| \mathbb{N} | množina prirodzených čísel |
| \mathbb{Z} | množina celých čísel |
| \mathbb{Q} | množina racionálnych čísel |
| \mathbb{R} | množina reálnych čísel |
Ostatné množiny zapisujeme dvomi hlavnými spôsobmi:
Zápis vymenovaním. Jednoducho vymenujeme prvky množiny a zapíšeme ich pomocou zloženej zátvorky. Napríklad M = \{3, 7, 9\} je trojprvková množina obsahujúca čísla 3, 7 a 9.
Symbolický zápis množín. Určíme, zo ktorej množiny prvky vyberáme a akú musia spĺňať vlastnosť. Napríklad M = \{x \in \mathbb{N} \mid x < 10\} je množina prirodzených čísel menších než 10.
Prienik, zjednotenie
| Značenie | Pojem | Komentár |
|---|---|---|
| A \cap B | prienik | prvky, ktoré patria do oboch množín A, B |
| A \cup B | zjednotenie | prvky, ktoré patria aspoň do jednej z množín A, B |
| A \setminus B | rozdiel | prvky, ktoré patria do množiny A, ale nepatria do B |
| A \ominus B | symetrický rozdiel | prvky, ktoré patria práve do jednej z množín A a B |
Znázornenie množinových operácií pomocou Vennových diagramov:
Vlastnosti množín a množinových operácií
- Každá množina je svojou podmnožinou: A\subseteq A.
- Množina nemôže byť svojou vlastnou podmnožinou.
- Prázdna množina je podmnožina akejkoľvek množiny: \emptyset \subseteq A.
- Prázdná množina nemá žiadnu vlastnú podmnožinu.
- A \subseteq A \cup B
- A \cap B \subseteq A
- A \subseteq A \wedge B \subseteq A \Leftrightarrow A=B
Vennove diagramy
Vennov diagram znázorňuje všetky možné vzťahy niekoľkých množín. Vennov diagram znázorňuje prvky množín ako body v rovine a množiny ako plochy vnútri kriviek. Najčastejšie používané sú Vennove diagramy pre dve a tri množiny, v ktorých sú množiny znázornené pomocou kruhov. Je možné stvárniť Vennove diagramy aj v prípade viacerých množín, ale k tomu si už nevystačíme s kruhmi (tieto diagramy nie sú prehľadné, a tak sa príliš nevyužívajú).
Typický Vennov diagram pre tri množiny:
Príklad s konkrétnymi prvkami (množina A obsahuje červené útvary, množina B obsahuje kolieska, množina C obsahuje vyplnené útvary):
Vennove diagramy využívame napríklad pre názornú ilustráciu množinových operácií. Nasledujúci obrázok ilustruje B \cap (A \cup C):
Množiny množín, potenčná množina
Množina prvkom množiny
Prvkom množiny môže byť aj iná množina. S takým prvkom pracujeme rovnako ako s inými prvkami, len sa nesmieme nechať zmiasť.
Príklad: Množina M = \{a, \{b, c, d, e\}, \emptyset\} obsahuje tri prvky:
- „obyčajný“ prvok a
- štvorprvkovú množinu \{b, c, d, e\}
- prázdnu množinu \emptyset
Pozor na rozdiel medzi prázdnou množinou a množinou obsahujúcou prázdnu množinu:
- \emptyset (tiež môžeme písať \{\}) je prázdná množina, jej veľkosť je 0,
- \{\emptyset\} je množina obsahujúca prázdnu množinu, jej veľkosť je 1.
Potenčná množina
Potenčná množina množiny M obsahuje všetky podmnožiny množiny M. Potenčnú množinu značíme \mathcal{P}(M) (existujú aj ďalšie značenia, napríklad 2^M).
Príklad: Pre množinu M = \{a, b, c\} sú všetky jej podmnožiny:
- \{\}
- \{a\}
- \{b\}
- \{c\}
- \{a, b\}
- \{a, c\}
- \{b, c\}
- \{a, b, c\}
Potenčná množina je množina všetkých týchto množín, teda \mathcal{P}(M)=\{\{\}, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\}, \{a, b, c\}\}.
Potenčná množina množiny M vždy obsahuje ako svoj prvok samú množinu M. Každá potenčná množina tiež obsahuje ako svoj prvok prázdnu množinu.
