Vlastnosti funkcií

Pozn. V rámci zjednodušenia popisu berieme do úvahy len funkcie, ktorých definičný obor tvoria všetky reálne čísla.

Funkcia f sa nazýva párna práve vtedy, keď je pre každé x f(-x) = f(x). Graf párnej funkcie je súmerný podľa osi y. Príklady párnych funkcií: f_1(x) = x^2, f_2(x) = \cos(x), f_3(x) = x^4-3x^2+2.

Funkcia f sa nazýva nepárna práve vtedy, keď je pre každé x f(-x) = -f(x). Graf nepárnej funkcie je súmerný počiatku. Príklady nepárnych funkcií: f_1(x) = 3x, f_2(x) = \sin(x), f_3(x) = x^3-2x.

Funkcia f sa nazýva periodická práve vtedy, keď existuje číslo p != 0 (perióda funkcie) také, že pre každé x platí f(x+p)=f(x). Typickými príkladmi periodických funkcií sú funkcie goniometrické. Naopak napríklad polynómy periodické nie sú (s výnimkou konštantnej funkcie).

Funkcia f sa nazýva zdola obmedzená práve vtedy, keď existuje také číslo k, že pre každé x platí f(x) \geq k. Funkcia f sa nazýva zhora obmedzená, práve keď existuje také číslo k, že pre každé x platí f(x) \leq k. Funkcia f sa nazýva obmedzená, keď je súčasne obmedzená zhora aj zdola. Príklady:

• Funkcia f(x) = \sin(x) je obmedzená.
• Funkcia f(x) = x^2 je obmedzená zdola (pretože \forall x: f(x) \geq 0), ale nie je obmedzená zhora.
• Funkcia f(x) = 2x nie je obmedzená ani zhora, ani zdola.

Funkcia f sa nazýva prostá práve vtedy, keď pre každú dvojicu x_1 \neq x_2 platí f(x_1) \neq f(x_2).

Funkcia f sa nazýva rastúca práve vtedy, keď pre každú dvojicu x_1 < x_2 platí f(x_1) < f(x_2).

Funkcia f se nazýva klesajúca práve vtedy, keď pre každú dvojicu x_1 > x_2 platí f(x_1) > f(x_2).