Analytická geometria

Bod A na obrázku je v danej sústave súradníc určený ako x=1, y=2, čo môžeme zapísať ako A[1;2].

Bod A na obrázku je v danej sústave súradníc určený ako x=4, y=2, z=3, čo môžeme zapísať ako A[4;2;3].

• |CD| = \sqrt{(d_x-c_x)^2 + (d_y-c_y)^2}
• Dosadíme súradnice bodov C[0;1] a D[4;4]:
  \sqrt{(4-0)^2 + (4-1)^2}=\sqrt{4^2 + 3^2}=\sqrt{25}=5
• Vzdialenosť je: |CD|=5

• |MN| = \sqrt{(n_x-m_x)^2 + (n_y-m_y)^2}
• Dosadíme súradnice bodov M[2;-1] a N[-1;-2]:
  \sqrt{(-1-2)^2 + (-2-(-1))^2}=\sqrt{(-3)^2 + (-1)^2}=\sqrt{10}
• Vzdialenosť je: |MN|=\sqrt{10}

• |CD| = \sqrt{(d_x-c_x)^2 + (d_y-c_y)^2 + (d_z-c_z)^2}
• Dosadíme súradnice bodov C[1;2;0] a D[4;5;1]: ==$
• Vzdialenosť je: |CD|=\sqrt{19}

• |MN| = \sqrt{(n_x-m_x)^2 + (n_y-m_y)^2 + (n_y-m_y)^2}
• Dosadíme súradnice bodov M[0;-1;3] a N[-4;1;-1]: ===6$
• Vzdialenosť je: |MN|=6

• Nie je. Výrazy x_B-x_A a x_A-x_B nie sú rovnaké. Ale sú opačné a vo vzorci počítame ich druhé mocniny, ktoré sa rovnajú.
• Naviac geometricky je dĺžka úsečky AB rovnaká ako dĺžka úsečky BA.
• Dôvodom zápisu práve v tomto tvare je fakt, že dĺžka úsečky je rovná veľkosti vektora \overrightarrow{AB} a pri vektore sa jeho veľkosť vždy počíta „koncový bod mínus počiatočný“.

• |EF| = \sqrt{(x_F-x_E)^2 + (y_F-y_E)^2}
• Dosadíme súradnice bodov E[0;-1] a F[-4;2]: \sqrt{(-4-0)^2 + (2-(-1))^2}=\sqrt{4^2 + 3^2}=\sqrt{25}=5
• Dĺžka úsečky je: |EF|=5

Nájdite stred úsečky AB: A[6;-1], B[2;3]

• Pre súradnice stredu S[s_1;s_2] platí: s_1 = \frac{x_A+x_B}{2}, s_2 = \frac{y_A+y_B}{2}
• Dosadíme súradnice bodov A[6;-1], B[2;3]: s_1 = \frac{6+2}{2}=4, s_2 = \frac{-1+3}{2}=1
• Stred úsečky AB je bod S[4;1]

Určite súradnice druhého krajného bodu úsečky AB, ak je daný bod A[-3;0] a jej stred S[1;3].

• Pre súradnice stredu S[s_1;s_2] platí: s_1 = \frac{x_A+x_B}{2}, s_2 = \frac{y_A+y_B}{2}
• Dosadíme súradnice bodov A[-3;0], S[1;3]: 1 = \frac{-3+x_B}{2}, 3 = \frac{0+y_B}{2}
• Dopočítame neznáme x_B, y_B: 2=-3+x_B\Rightarrow x_B=5\\ 6=0+y_B\Rightarrow y_B=6
• Bod B má súradnice [5;6].

• |EF| = \sqrt{(x_F-x_E)^2 + (y_F-y_E)^2+ (z_F-z_E)^2}
• Dosadíme súradnice bodov EF; E[-2;0;1], F[-4;2;0]:
  \sqrt{(-4-(-2))^2 + (2-0)^2+(0-1)^2}=\sqrt{(-2)^2 + 2^2+(-1)^2}=\sqrt{4+4+1}=\sqrt{9}=3
• Dĺžka úsečky je: |EF|=3

Nájdite stred úsečky AB: A[2;1;-3], B[2;-3;3]

• Pre súradnice stredu S[s_1;s_2;s_3] platí: s_1 = \frac{x_A+x_B}{2}, s_2 = \frac{y_A+y_B}{2}, s_3 = \frac{z_A+z_B}{2}

• Dosadíme súradnice bodov A[2;1;-3], B[2;-3;3].
• s_1 = \frac{2+2}{2}=2, s_2 = \frac{1-3}{2}=-1, s_3 = \frac{-3+3}{2}=0
  

• Stred úsečky AB je bod S[2;-1;0]

Určite súradnice druhého krajného bodu úsečky AB, ak je daný bod A[1;2;4] a jej stred S[1;-3;0].

• Pre súradnice stredu S[s_1;s_2;s_3] platí: s_1 = \frac{x_A+x_B}{2}, s_2 = \frac{y_A+y_B}{2}, s_3 = \frac{z_A+z_B}{2}
• Dosadíme súradnice bodov A[1;2;4], S[1;-3;0].
• 1 = \frac{1+x_B}{2}, -3 = \frac{2+y_B}{2}, 0 = \frac{4+z_B}{2}
• Dopočítame neznáme x_B, y_B, z_B:

\begin{array}{rclcrcr} 2&=&1+x_B &\Rightarrow& x_B&=&1\\ -6&=&2+y_B &\Rightarrow& y_B&=&-8\\ 0&=&4+z_B&\Rightarrow& z_B&=&-4 \end{array}

• Bod B má súradnice [2;-8;-4].

• Ak chceme vektor \overrightarrow{AB} posunúť do počiatku súradného systému, posunieme ho o dva štvorčeky vľavo a o jeden štvorček dole.
• Bod A sa posunie do bodu O, bod B sa posunie do bodu C. Tento posun môžeme vyjadriť takto:
  • A sa posunie na [2-2;1-1]=[0;0]
  • B sa posunie na [4-2;5-1]=[2;4]
• Súradnice vektora na obrázku sú: \vec{u}=\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OC}=(2;4)

Vektor na obrázku má súradnice \vec{u}=(-3;2), jeho veľkosť je \left| \vec{u} \right|=\sqrt{(-3)^2+2^2}=\sqrt{(-3)^2+2^2}=\sqrt{13}

• Určite opačný vektor k vektoru \vec{u}=(3;-1).
• Opačný vektor \vec{v} k vektoru \vec{u} má súradnice: (-u_1;-u_2)=(-3;1)

• Doplňte súradnicu vektora \vec{v}=(v_1;3) tak, aby bol kolineárny s vektorom \vec{u}=(2;-1).
• Pre druhú súradnicu platí: v_2=3, u_2=-1, teda v_2= (-3) \cdot u_2
• Vidíme, že k=-3 je záporné, teda \vec{u} a \vec{v} majú opačnú orientáciu
• Pre prvú súradnicu musí platiť: v_1= (-3) \cdot u_1= (-3)\cdot2=-6.

• Doplňte súradnicu vektora \vec{v}=(v_1;4) tak, aby bol kolmý k vektoru \vec{u}=(2;-1).
• Platí: v_2=2 \cdot u_1, teda musí platiť: v_1 = - 2 \cdot u_2.
• Máme teda v_1 = - 2 \cdot u_2 = -2 \cdot (-1) = 2.

Načrtnite vektor \vec{w}=2\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}.

Sú dané vektory \vec{u}=(2;-3), \vec{v}=(4;1). Určite súradnice vektora \vec{w}=\vec{u}-4\cdot \vec{v}.

• w_1=u_1-4\cdot v_1=2-4\cdot 4=-14
• w_2=u_2-4\cdot v_2=-3-4\cdot 1=-7

Určite skalárny súčin vektorov, ak platí: \left| \vec{u} \right|=4, \left| \vec{v} \right|=3 a vektory zvierajú uhol 60°.

• Vzorec: \vec{u}\cdot \vec{v}=\left| \vec{u} \right|\cdot\left| \vec{v} \right|\cdot \cos \alpha
• Dosadíme známe hodnoty: \vec{u}\cdot \vec{v}=4\cdot3\cdot \cos 60°=4\cdot3\cdot\frac{1}{2}=6

Určite uhol vektorov \vec{u}=(3;3) a \vec{v}=(2;0).

• Platí \cos \alpha=\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\left| \vec{u} \right|\cdot\left| \vec{v} \right|}.
• Pomocou známych súradníc vektorov vieme vypočítať skalárny súčin \vec{u}\cdot\vec{v} a veľkosti vektorov \left| \vec{u} \right|, \left| \vec{v} \right|:
• \vec{u}\cdot \vec{v}=u_1\cdot v_1+u_2 \cdot v_2=3\cdot2+3\cdot0=6
• \left| \vec{u} \right|=\sqrt{u_1^2 + u_2^2}=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}
• \left| \vec{v} \right|=\sqrt{v_1^2 + v_2^2}=\sqrt{2^2+0^2}=\sqrt{4}
• Dosadíme tieto hodnoty do vzťahu pre výpočet \cos \alpha:
• \cos \alpha =\frac {6}{\sqrt{18}\cdot\sqrt{4}}=\frac{6}{3\sqrt{2}\cdot2}=\frac{1}{\sqrt{2}}
• Uhol vektorov je 60°.

• Priamka p je určená bodom A a vektorom \vec{u}=\overrightarrow{AB}, teda p:X=A+t\vec{u}
• Pre hodnotu t=0 dostaneme: X=A+t\vec{u}=A+0\cdot \vec{u} … bod A
• Pre hodnotu t=1 dostaneme: X=A+t\vec{u}=A+1\cdot \vec {u} … bod B
• Pre hodnotu t=2 dostaneme: X=A+t\vec{u}=A+2\cdot \vec {u} … bod C
• Pre hodnotu t=\frac{1}{2} dostaneme: X=A+t\vec{u}=A+\frac{1}{2}\cdot \vec{u} … bod D (stred úsečky AB)
• Pre hodnotu t=-1 dostaneme: X=A+t\vec{u}=A-1\cdot \vec{u} … bod E

• Každá hodnota parametra určuje jeden bod na priamke, na určenie celej priamky teda potrebujeme všetky reálne čísla, preto píšeme t\in\mathbb{R}.
• Body, ktoré ležia na úsečke AB (teda body ležiace medzi bodmi A a B), vyjadríme parametricky, ak do rovnice X=A+t\vec{u} dosadíme hodnoty parametra t spĺňajúce 0\leq t\leq1.

1. Pre priamku danú všeobecnou rovnicou ax+by+c=0:
   • \vec{v} je normálový vektor priamky p, jeho súradnice sú: \vec{v}=(a;b)
   • \vec{u} je smerový vektor priamky p, pretože je to vektor kolmý na vektor \vec{v}=(a;b), jeho súradnice sú: \vec{u}=(-b;a)
2. Pre priamku danú parametricky: \begin{array}{rrl}x&=&a_1+t\cdot u_1\\y&=&a_2+t\cdot u_2\\&&t\in\mathbb{R}\end{array}
   • \vec{u} je smerový vektor priamky p, jeho súradnice sú: \vec{u}=(u_1;u_2)
   • \vec{v} je normálový vektor priamky p, pretože je to vektor kolmý na vektor \vec{u}=(u_1;u_2), jeho súradnice sú: \vec{v}=(-u_2;u_1)

• Pre všetky body ležiace na priamke je druhá súradnica rovnaká a to: y=c
• Teda priamka má všeobecnú rovnicu: y-c=0

• Pre všetky body ležiace na priamke je prvá súradnica rovnaká a to: x=c
• Teda priamka má všeobecnú rovnicu: x-c=0

• Priamka prechádza bodom O=[0;0], teda súradnice počiatku spĺňajú jej všeobecnú rovnicu ax+by+c=0.
• Dosadíme súradnice bodu O a skúsime zistiť nejaké informácie o konštantách a,b,c.
• a\cdot0+b\cdot0+c=0\Leftrightarrow c=0
• Preto má priamka, ktorá prechádza počiatkom, všeobecnú rovnicu ax+by=0.

• priamka p je určená bodom A a smerovým vektorom \vec{u}=\overrightarrow{AB}=B-A=(2;-1)
• parametrické rovnice priamky p: \begin{array}{rrl}x&=&1+2t\\y&=&2-t\\&&t\in\mathbb{R}\end{array}

Určíme súradnice smerového vektora a jedného bodu na priamke:

• napríklad: \vec{u}=(2;1), A=[1;2]
• parametrické rovnice priamky p: \begin{array}{rrl}x&=&1+2t\\y&=&2+t\\&&t\in\mathbb{R}\end{array}

Ďalšia možnosť parametrického vyjadrenia:

• \vec{v}=(-4;-2), B=[3;3]
• parametrické rovnice priamky p: \begin{array}{rrl}x&=&3-4t\\y&=&3-2t\\&&t\in\mathbb{R}\end{array}

Na určenie parametrických rovníc môžeme vybrať ktorýkoľvek bod ležiaci na priamke a akýkoľvek zápis súradníc smerového vektora, možností ako parametricky vyjadriť danú priamku je teda nekonečne veľa.

• Priamka p je určená bodom A a smerovým vektorom \vec{u}=\overrightarrow{AB}=B-A=(1;-2).
• Normálový vektor je kolmý na vektor \vec{u}=(1;-2), teda napríklad vektor \vec{n}=(2;1).
• Súradnice normálového vektoru sú konštanty a a b vo všeobecnej rovnici priamky. Všeobecná rovnica má tvar: 2x+y+c=0
• Konštantu c dopočítame dosadením súradníc bodu A=[1;5] :
• 2\cdot1+5+c=0\Rightarrow c=-7
• Všeobecná rovnica priamky p je: 2x+y-7=0

Určite všeobecnú rovnicu priamky p, ktorá je daná nasledujúcou parametrickou sústavou rovníc: \begin{array}{rrl}x&=&1+2t\\y&=&4+6t\\&&t\in\mathbb{R}\end{array}

• Priamka p je určená bodom A=[1;4] a smerovým vektorom \vec{u}=(2;6).
• Súradnice smerového vektora môžeme upraviť na tvar: \vec{u}=(1;3).
• Normálový vektor je kolmý na vektor \vec{u}=(1;3), teda napríklad vektor \vec{n}=(3;-1).
• Súradnice normálového vektora sú konštanty a a b vo všeobecnej rovnici priamky. Všeobecná rovnica má tvar: 3x-y+c=0
• Konštantu c dopočítame dosadením súradníc bodu A=[1;4] :
• 3\cdot1-4+c=0\Rightarrow c=1
• Všeobecná rovnica priamky p je: 3x-y+1=0

Určite parametrické vyjadrenie priamky p, ktorá má všeobecnú rovnicu: 3x-2y+4=0.

• Priamka p má normálový vektor \vec{n}=(3;-2).
• Smerový vektor je kolmý na vektor \vec{n}=(3;-2), teda napríklad vektor \vec{u}=(2;3).
• Určíme jeden bod na priamke p : jednu súradnicu môžeme zvoliť, napríklad x=0, druhú súradnicu dopočítame: 3\cdot0-2y+4=0\Rightarrow y=2
• Zo všeobecnej rovnice sme teda zistili, že na priamke leží bod A=[0;2].
• Parametrické vyjadrenie priamky p je: \begin{array}{rrl}x&=&0+3t\\y&=&2-2t\\&&t\in\mathbb{R}\end{array}

• Smernica priamky p: k_1=\tan \varphi_1=\frac{1}{2}
• Smernica priamky q: k_2=\tan \varphi_2=\frac{1}{1}=1
• Smernica priamky r: k_3=\tan \varphi_3=\frac{2}{1}=2
• Čím väčšia odchýlka od kladnej časti osi x, tým väčšia hodnota smernice k.
• Priamka rovnobežná s osou x zviera s kladnou časťou osi x uhol 0^\circ a teda jej smernica je \tan 0^\circ=0.
• Priamka rovnobežná s osou y zviera s kladnou časťou osi x uhol 90^\circ a pre túto hodnotu funkcie tangens nie je definovaná, preto nemôžeme určiť smernicu.

Hľadáme smernicový tvar rovnice priamky: y=kx+q.

• Pre nájdenie konštánt k a q určíme smerový vektor priamky p a priesečník s osou y.
• smerový vektor priamky: \vec{u}=(1;-2)
• smernica: k=\tan \varphi=\frac{u_2}{u_1}=\frac{-2}{1}=-2
• priesečník priamky s osou y: P=[0;5]
• konštanta q=y_P=5
• priamka na obrázku má smernicový tvar y=-2x+5

Určite vzájomnú polohu dvoch priamok p, q zadaných parametricky:

p: \begin{array}{rrl}x&=&-3+3t\\y&=&\hspace{0.25cm}2+t\\&&\hspace{0.25cm}t\in\mathbb{R}\end{array} \hspace{0.5cm}q: \begin{array}{rrl}x&=&1-3s\\y&=&2-s\\&&s\in\mathbb{R}\end{array}

• smerový vektor priamky p:\hspace{0.25cm}\vec{u}=(3;1)
• smerový vektor priamky q:\hspace{0.25cm}\vec{v}=(-3;-1)
• Priamky p a q sú rovnobežné, pretože ich smerové vektory sú kolineárne.
• Overíme, že priamky nie sú totožné. Stačí určiť, či bod, ktorý leží na jednej priamke neleží na priamke druhej.
• Na priamke p leží napríklad bod A=[-3;2].
• Overíme, že tento bod neleží na priamke q dosadením súradníc bodu A do rovníc priamky q: \begin{array}{rrl}-3&=&1-3s \Rightarrow s=\frac{4}{3}\\2&=&2-\hspace{0.15cm}s\Rightarrow s=0\end{array}
• Vyšli rôzne hodnoty parametra s, takže bod A neleží na q \Rightarrow priamky nie sú totožné

Určite vzájomnú polohu dvoch priamok daných všeobecnými rovnicami p: 2x+y-1=0 a q:4x+2y+3=0.

• normálový vektor priamky p:\hspace{0.25cm}\vec{n}=(2;1)
• normálový vektor priamky q:\hspace{0.25cm}\vec{m}=(4;2)
• Priamky p a q sú rovnobežné, pretože ich normálové vektory sú kolineárne.
• Overíme, že priamky nie sú totožné. Stačí určiť, či bod, ktorý leží na jednej priamke neleží na priamke druhej.
• Na priamke p leží napríklad bod A=[0;1].
• Overíme, či A leží na p dosadením súradníc bodu A do rovnice priamky p: 4\cdot0+2\cdot1+3\neq 0
• A nespĺňa rovnicu, takže neleží na priamke q \Rightarrow priamky nie sú totožné

p: \begin{array}{rrl}x&=&-1+t\\y&=&\hspace{0.25cm}3+2t\\&&\hspace{0.25cm}t\in\mathbb{R}\end{array} \hspace{0.5cm}q: \begin{array}{rrl}x&=&-4+s\\y&=&\hspace{0.25cm}3-s\\&&\hspace{0.25cm}s\in\mathbb{R}\end{array}

• smerový vektor priamky p:\hspace{0.25cm}\vec{u}=(1;2)
• smerový vektor priamky q:\hspace{0.25cm}\vec{v}=(1;-1)
• Priamky p a q sú rôznobežné, pretože ich smerové vektory nie sú kolineárne.

• Priesečník priamok spĺňa rovnice oboch priamok, teda každú z jeho súradníc je možné vyjadriť dvomi spôsobmi, dostávame nasledujúcu sústavu rovníc: \begin{array}{lrr}-1+t&=&-4+s\\\hspace{0.25cm}3+2t&=&3-s\end{array}

• Sústavu môžeme vyriešiť sčítaním oboch rovníc: 2+3t=-1\Rightarrow3+3t=0\Rightarrow t=-1
• Výsledný parameter t dosadíme do parametrických rovníc ktorejkoľvek z priamok a dostaneme súradnice x,y priesečníka.

• Priesečník priamok p a q je bod R=[-2;1].

Určíme vzájomnú polohu dvoch priamok zadaných všeobecnými rovnicami p: 2x+y-1=0 a q:x-y+1=0.

• normálový vektor priamky p:\hspace{0.25cm}\vec{n}=(2;1)
• normálový vektor priamky q:\hspace{0.25cm}\vec{m}=(1;-1)
• Priamky p a q sú rôznobežné, pretože ich normálové vektory nie sú kolineárne.
• Priesečník priamok spĺňa rovnice oboch priamok, teda jeho súradnice sú riešením sústavy: \begin{array}{rrr}2x+y-1&=&0\\x-y+1&=&0\end{array}
• Môžeme vyriešiť sčítaním oboch rovníc: 3x=0\Rightarrow x=0
• Priesečník priamok p a q je bod R=[0;1]

Určite vzájomnú polohu priamok p,q zadaných takto:

\hspace{0.25cm}p: 2x-y+3=0\hspace{0.25cm} \hspace{0.5cm}q: \begin{array}{rrl}x&=&3-2t\\y&=&2-4t\\&&t\in\mathbb{R}\end{array}

• normálový vektor priamky p:\hspace{0.25cm}\vec{n}=(2;-1)
• smerový vektor priamky q:\hspace{0.25cm}\vec{v}=(-2;-4)
• Priamky p a q sú rovnobežné, pretože ich smerové vektory sú kolineárne. Preto je normálový vektor jednej priamky kolmý na smerový vektor druhej priamky.
• Overíme, že priamky nie sú totožné: stačí určiť, či bod, ktorý leží na jednej priamke neleží na priamke druhej.
• Na priamke q leží napríklad bod B=[3;2].
• Na priamke p tento bod neleží, čo zistíme dosadením súradníc bodu B do rovnice priamky: 2\cdot3-2+3\neq 0
• Bod B nespĺňa rovnicu, takže neleží na priamke p \Rightarrow priamky nie sú totožné

Určite vzájomnú polohu priamok p,q zadaných:

\hspace{0.25cm}p: x-3y+3=0\hspace{0.25cm} \hspace{0.5cm}q: \begin{array}{rrl}x&=&\hspace{0.28cm}1+t\\y&=&-2+2t\\&&\hspace{0.28cm}t\in\mathbb{R}\end{array}

• normálový vektor priamky p:\hspace{0.25cm}\vec{n}=(1;-3)
• smerový vektor priamky q:\hspace{0.25cm}\vec{v}=(1;2)
• Priamky p a q sú rôznobežné, pretože ich smerové vektory nie sú kolineárne. Vyplýva z toho, že normálový vektor jednej priamky nie je kolmý na smerový vektoru druhej priamky.
• Priesečník priamok spĺňa rovnice oboch priamok, teda jeho súradnice nájdeme tak, že parametrické vyjadrenie priamky q dosadíme do všeobecnej rovnice priamky p: \begin{array}{rrl}(1+t)-3(-2+2t)+3&=&0\\1+t+6-6t+3&=&0\\10-5t&=&0\\t&=&2\end{array}
• Priesečník priamok p a q je bod R=[3;2]

Hľadáme priesečník(y) priamok p,q zadaných ako: \hspace{0.25cm}p: x-3y+3=0\hspace{0.25cm} a \hspace{0.25cm}q: \begin{array}{rrl}x&=&\hspace{0.28cm}1+t\\y&=&-2+2t\end{array}

• Dosadíme parametrické vyjadrenie do všeobecnej rovnice a riešime sústavu rovníc:

\begin{array}{rrl}(1+t)-3(-2+2t)+3&=&0\\1+t+6-6t+3&=&0\\10-5t&=&0\\t&=&2\end{array}

• Jedno riešenie \Rightarrow rôznobežné priamky

Hľadáme priesečník(y) priamok p,q zadaných ako: \hspace{0.25cm}p: 2x-y+3=0\hspace{0.25cm} a \hspace{0.25cm}q: \begin{array}{rrl}x&=&3-2t\\y&=&2-4t\end{array}

• Dosadíme parametrické vyjadrenie do všeobecnej rovnice a riešime sústavu rovníc:

\begin{array}{rrl}2(3-2t)-(2-4t)+3&=&0\\6-4t-2+4t+3&=&0\\7&=&0\end{array}

• Žiadne riešenie \Rightarrow rôzne rovnobežné priamky

Hľadáme priesečník(y) priamok p,q zadaných ako: \hspace{0.25cm}p: 2x-y+3=0\hspace{0.25cm} a \hspace{0.25cm}q: \begin{array}{rrl}x&=&3+t\\y&=&9+2t\end{array}

• Dosadíme parametrické vyjadrenie do všeobecnej rovnice a riešime sústavu rovníc:

\begin{array}{rrl}2(3+t)-(9+2t)+3&=&0\\6+2t-9-2t+3&=&0\\0&=&0\end{array}

• Nekonečne veľa riešení \Rightarrow totožné priamky

Určite, či body A=[2;3] a B=[-1;2] ležia na priamke p:2x-3y+5=0.

• Do rovnice priamky dosadíme súradnice bodu A=[2;3]:
• 2\cdot 2-3\cdot3+5=0\Rightarrow bod A leží na priamke p
• Do rovnice priamky dosadíme súradnice bodu B=[-1;2]:
• 2\cdot (-1)-3\cdot2+5=-3\Rightarrow bod B neleží na priamke p

Určite, či body A=[3;1] a B=[4;4] ležia na priamke p danej parametricky: \begin{array}{rrl}x&=&2-t\\y&=&3+2t\\&&t\in\mathbb{R}\end{array}

• Do rovníc priamky dosadíme súradnice bodu A=[3;1]:

\begin{array}{rrrr}3&=&2-t&\Rightarrow t=-1\\1&=&3+2t&\Rightarrow t=-1\end{array} \Rightarrow bod A leží na priamke p

• Do rovnice priamky dosadíme súradnice bodu B=[4;5]:

\begin{array}{rrrl}4&=&2-t&\Rightarrow t=-2\\5&=&3+2t&\Rightarrow t=1\end{array}\Rightarrow bod B neleží na priamke p

Určite vzdialenosť bodu M=[5;2] od priamky p:4x+3y-1=0.

• Priamka k, ktorá prechádza bodom M a je kolmá na priamku p má smerový vektor kolineárny s normálovým vektorom priamky p.
• Súradnice smerového vektora priamky k sú: \vec{u}=(4;3).
• Priamka k má parametrické vyjadrenie: p:X=M+t\vec{u}
• p:\begin{array}{rrl}x&=&5+4t\\y&=&2+3t\\&&t\in\mathbb{R}\end{array}
• Súradnice priesečníka P priamky k s priamkou p určíme dosadením parametrického vyjadrenia priamky k do všeobecnej rovnice priamky p.

\begin{array}{rrl}4(5+4t)+3(2+3t)-1&=&0\\20+16t+6+9t-1&=&0\\25+25t&=&0\Rightarrow t=-1\end{array}

• Priesečník priamok k a p je bod P=[1;-1].
• Vzdialenosť bodu M od priamky p je dĺžka úsečky PM:
• Vzorec pre dĺžku úsečky: d=\sqrt{(x_M-x_P)^2+(y_M-y_P)^2}
• Dosadíme súradnice bodov M,P: d=\sqrt{(5-1)^2+(2-(-1))^2}=\sqrt{16+9}=5

Určite vzdialenosť bodu M=[5;2] od priamky p:4x+3y-1=0 s využitím vzorca.

• Dosadíme do vzorca d=\frac{\left| am_1+bm_2+c \right|}{\sqrt{a^2+b^2}} súradnice bodu M=[5;2] a koeficienty a a b zo všeobecnej rovnice priamky.
• Všeobecná rovnica pre p je 4x+3y-1=0, teda a=4 a b=3.
• Máme: d=\frac{\left| 4\cdot5+3\cdot2-1\right|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{25}{\sqrt{25}}=5

Určite vzdialenosť rovnobežiek p:2x-4y+3=0 a q:x-2y+1=0.

• Určíme súradnice jedného bodu (M) na priamke q tak, že jednu súradnicu zvolíme a druhú dopočítame.
• Zvolíme napríklad súradnicu y=0, potom x-2\cdot0+1=0\Rightarrow x=-1
• Dosadíme do vzorca d=\frac{\left| am_1+bm_2+c \right|}{\sqrt{a^2+b^2}} súradnice bodu M=[-1;0] a koeficienty a a b zo všeobecnej rovnice priamky p.
• Všeobecná rovnica pre p je 2x-4y+3=0, teda a=2 a b=-4.
• Máme: d=\frac{\left| 2\cdot(-1)-4\cdot0+3\right|}{\sqrt{2^2+(-4)^2}}=\frac{1}{\sqrt{20}}
• Vzdialenosť rovnobežiek p a q je: d=\frac{1}{\sqrt{20}}

• Odchýlka priamok p a q na obrázku je ostrý uhol \alpha, nie tupý uhol \beta.
• \alpha a \beta sú vedľajšie uhly, pre ktoré je hodnota funkcie \cos opačná, teda: \cos\alpha=-\cos\beta
• Pre uhol \alpha je \cos\alpha > 0, pre \beta je \cos\beta < 0
• Absolútna hodnota vo vzorci nám zaručí, že nájdeme uhol, kde hodnota funkcie \cos je kladná, teda uhol ostrý, ktorý je odchýlkou daných priamok.

V trojuholníku na obrázku:

• uhol \alpha je menší než 90^\circ a je to odchýlka priamok AB a AC
• uhol \beta je väčší než 90^\circ a nie je to odchýlka priamok AB a BC
• uhol \gamma je menší než 90^\circ a je to odchýlka priamok BC a AC

Veľkosť uhlov v trojuholníku nemusí byť rovnaká ako odchýlka priamok, na ktorých ležia strany trojuholníka. Uhly v trojuholníku počítame ako odchýlku vektorov, ktoré určujú daný uhol. Tento uhol môže byť väčší než 90^\circ, preto využijeme vzorec pre výpočet odchýlky vektorov (vo vzorci nebude absolútna hodnota).

Určite odchýlku priamok p:x-2y+3=0 a q:2x-y+1=0

• Priamky sú dané všeobecnými rovnicami, preto pre výpočet ich odchýlky využijeme normálové vektory: \overrightarrow{n_p}=(1;-2) a \overrightarrow{n_q}=(2;-1)
• Dosadíme do vzorca: \cos \alpha =\frac{\left| \vec{u} \cdot \vec{v} \right|}{\left| \vec{u} \right|\cdot \left| \vec{v} \right|}=\frac{\left| 1\cdot2+(-2) \cdot(-1) \right|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}\cdot\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{4}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}=\frac{4}{5}
• Pomocou funkcie cos^{-1} na kalkulačke dopočítame odchýlku: \alpha=36^\circ

Pre všetky body ležiace v rovine je tretia súradnica rovnaká, teda rovina má všeobecnú rovnicu: z+d=0.

Pre všetky body ležiace v rovine je druhá súradnica rovnaká, teda rovina má všeobecnú rovnicu: y+d=0.

Pre všetky body ležiace v rovine je prvá súradnica rovnaká, teda rovina má všeobecnú rovnicu: z+d=0.

• Rovina prechádza bodom O=[0;0;0], musí teda platiť: a\cdot0+b\cdot0+c\cdot0+d=0\Rightarrow d=0.
• Rovina, ktorá prechádza počiatkom má všeobecnú rovnicu: ax+by+cz=0.

Určite parametrické rovnice roviny \alpha určenej body A=[3;2;1], B=[1;3;4], C=[2;-3;3].

• rovina \alpha je určená bodom A a vektormi \vec{u}=\overrightarrow{AB}, \vec{v}=\overrightarrow{AC}:
• \vec{u}=\overrightarrow{AB}=B-A=(-2;1;3)
• \vec{v}=\overrightarrow{AC}=C-A=(-1;-5;2)
• parametrické rovnice roviny \alpha sú:

\begin{array}{rrl}x&=&3-2t-s\\y&=&2+t-5s\\z&=&1+3t+2s\\&&t,s\in\mathbb{R}\end{array}

• rovina \alpha je určená bodom A a vektormi \vec{u}, \vec{v}
• súradnice určíme z obrázka:
  • A=[0;3;0],
  • \vec{u}=(2;-3;0),
  • \vec{v}=(0;-3;3)
• parametrické rovnice roviny \alpha sú:

\begin{array}{rrl}x&=&2t\\y&=&3-3t-3s\\z&=&3s\\&&t,s\in\mathbb{R}\end{array}

Určite parametrické rovnice roviny určenej dvomi rôznobežkami s nasledujúcimi parametrickými rovnicami:

p:\begin{array}{rrl}x&=&2+3t\\y&=&1+2t\\z&=&4-4t\\&&t\in\mathbb{R}\end{array}, q:\begin{array}{rrl}x&=&2+4s\\y&=&1-2s\\z&=&4-5s\\&&s\in\mathbb{R}\end{array}

• rovina \alpha je určená spoločným bodom rôznobežiek a smerovými vektormi priamok p a q
  • spoločný bod rôznobežiek: R=[2;1;4],
  • smerový vektor priamky p:\vec{u}=(3;2;4),
  • smerový vektor priamky q:\vec{v}=(4;-2;-5)
• parametrické rovnice roviny \alpha sú:

\begin{array}{rrl}x&=&2+3t+4s\\y&=&1+2t-2s\\z&=&4-4t-5s\\&&t,s\in\mathbb{R}\end{array}

Určite všeobecnú rovnicu roviny \alpha určenej bodom A=[-3;1;2] a normálovým vektorom \vec{n}=(2;3;-4).

• Súradnice normálového vektora sú konštanty a, b, c vo všeobecnej rovnici roviny, preto všeobecná rovnica bude mať tvar: 2x+3y-4z+d=0
• Konštantu d určíme dosadením súradníc bodu A=[-3;1;2] do všeobecnej rovnice: 2\cdot(-3)+3\cdot1-4\cdot 2+d=0\Rightarrow -11+d=0\Rightarrow d=11
• Všeobecná rovnica roviny \alpha je: 2x+3y-4z+11=0

Všeobecná rovnica roviny \alpha, ktorá prechádza bodom A=[2;3;1] a je rovnobežná s rovinou \beta:3x+y+4z+1=0.

• Dve rovnobežné roviny majú rovnaký normálový vektor, súradnice normálového vektoru sú súradnice a, b, c vo všeobecnej rovnici roviny.
• Preto všeobecná rovnica hľadanej roviny \alpha bude mať tvar: 3x+y+4z+d=0
• Konštantu d určíme dosadením súradníc bodu A=[2;3;1] do všeobecnej rovnice: 3\cdot2+3+4\cdot 1+d=0\Rightarrow 13+d=0\Rightarrow d=-13
• Všeobecná rovnica roviny \alpha je: 3x+y+4z-13=0

Určite, či body A=[3;4;2] a B=[1;3;0] ležia v rovine \alpha danej všeobecnou rovnicou 2x-y+3z+1=0.

• Do rovnice roviny dosadíme súradnice bodu A=[3;4;2].
• 2\cdot 3-4+3\cdot2+1=0\Rightarrow9\neq 0, teda bod A neleží v rovine \alpha.
• Do rovnice priamky dosadíme súradnice bodu B=[1;3;0].
• 2\cdot 1-3+3\cdot0+1=0\Rightarrow0=0, teda bod B leží v rovine \alpha.

Určite, či body A=[2;3;4] a B=[0;2;2] ležia v rovine \alpha danej parametrickými rovnicami:

\begin{array}{rrl}x&=&1-t+s\\y&=&2+t+s\\z&=&3-t+s\\&&t,s\in\mathbb{R}\end{array}

• Do rovníc roviny dosadíme súradnice bodu A=[1;3;4]: \begin{array}{rrrr}2&=&1-t+s\\3&=&2+t+s\\4&=&3-t+s\\\end{array}
• Z prvých dvoch rovníc určíme hodnoty t a s, dosadením do tretej rovnice zistíme, či sú nájdené hodnoty riešením sústavy a teda či bod leží na priamke:

1. prvú a druhú rovnicu sčítame: 5=3+2s\Rightarrow s=1
2. hodnotu s=1 dosadíme do prvej rovnice: 1=1-t+1\Rightarrow t=1
3. hodnoty s=1 a t=1 dosadíme do tretej rovnice: 4=3-1+1. Táto rovnosť neplatí, teda bod A neleží v rovine \alpha.

• Do rovníc roviny dosadíme súradnice bodu B=[0;-3;2]: \begin{array}{rrrr}0&=&1-t+s\\-3&=&2+t+s\\2&=&3-t+s\\\end{array}
• Z prvých dvoch rovníc určíme hodnoty t a s, dosadením do tretej rovnice zistíme, či sú nájdené hodnoty riešením sústavy a teda či bod leží na priamke:

1. prvú a druhú rovnicu sčítame: -3=3+2s\Rightarrow s=-3
2. hodnotu s=-3 dosadíme do prvej rovnice: 0=1-t-3\Rightarrow t=-2
3. hodnoty s=-3 a t=-2 dosadíme do tretej rovnice: 2=3-(-2)-3. Táto rovnosť platí, teda bod B leží v rovine \alpha.

• Stredová rovnica je v tvare: (x-m)^2 +(y-n)^2=r^2
• Dosadíme súradnice stredu a polomer. Pri dosadení si dáme pozor na to, že súradnice stredu v stredovej rovnici odčítame: (x-(-1))^2 +(y-2)^2=3^2
• Po úprave: (x+1)^2 +(y-2)^2=9

• Najskôr si usporiadame členy podľa premenných: x^2+4x+y^2-6y-12=0.
• Našim ďalším cieľom je upraviť výraz na ľavej strane ako súčet dvoch druhých mocnín (štvorcov), podľa vzorcov a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b)^2.
• K obom stranám rovnice pripočítame konštanty 4 a 9, aby sme súčty členov s premennými x a y mohli upraviť na druhé mocniny (prevedieme v oboch prípadoch doplnenie na štvorec): x^2+4x+4+y^2-6y+9-12=4+9
• A upravíme: (x+2)^2 +(y-3)^2-12=13
• Na záver ešte prevedieme -12 na druhú stranu rovnice: (x+2)^2 +(y-3)^2=25
• Týmto sme previedli všeobecnú rovnicu kružnice na stredovú rovnicu kružnice.
• Polomer kružnice je r=\sqrt{25}=5.
• Súradnice stredu S[m,n] odčítame v stredovej rovnici od premenných x a y, majú teda opačné znamienka než konštanty v zátvorkách v stredovej rovnici \Rightarrow S[-2;3].

• Stredová rovnica je v tvare (x-m)^2 +(y-n)^2=r^2.
• Zátvorky rozložíme na súčiny dvojčlenov (x-m)(x-m) +(y-n)(y-n)=r^2.
• V každom súčine zameníme jedno x za x_0 a jedno y za y_0
• Dostaneme rovnicu dotyčnice (x_0-m)(x-m) +(y_0-n)(y-n)=r^2

• Overíme, či bod T leží na kružnici: (3-1)^2+(1+2)^2=13 \Rightarrow 4+9=13
• Dotyčnica má rovnicu (x_0-m)(x-m) +(y_0-n)(y-n)=r^2
• Dosadíme súradnice bodu T: (3-1)(x-1) +(1+2)(y+2)=13
• Roznásobíme zátvorky: 2x-2 +3y+6=13
• A dostaneme všeobecnú rovnicu dotyčnice 2x+3y-9=0

• Poláru využívame na konštrukciu dotyčníc ležiacich z bodu mimo kružnicu.
• Podľa vzorca určíme rovnicu poláry, teda priamky.
• Nájdeme priesečníky poláry a kružnice – to sú body dotyku hľadaných dotyčníc.
• Keď poznáme body dotyku, určíme podľa vzťahu pre rovnicu dotyčnice v bode kružnice všeobecné rovnice oboch dotyčníc.

• Pozrieme sa do menovateľov.
• Väčší menovateľ je druhá mocnina veľkosti hlavnej polosi (a menší menovateľ je druhá mocnina veľkosti vedľajšej polosi).
• Premenná v danom čitateli (zlomku s väčším menovateľom) potom určuje, s ktorou osou je hlavná os elipsy rovnobežná.
• Stručne povedané: ak je väčšie číslo napríklad v menovateli s premennou x, je hlavná os rovnobežná s osou x.

• Stredová rovnica je v tvare \frac{(x-m)^2}{b^2} +\frac{(y-n)^2}{a^2}=1.
• Dosadíme súradnice stredu a veľkosti hlavnej a vedľajšej polosi. Pri dosadení si dáme pozor na to, že súradnice stredu odčítame: \frac{(x-(-2))^2}{2^2} +\frac{(y-3)^2}{3^2}=1
• Po úprave: \frac{(x+2)^2}{4} +\frac{(y-3)^2}{9}=1

• Najskôr si usporiadame členy: x^2+8x+3y^2-18y+31=0.
• Z členov s premennou y vytkneme 3: x^2+8x+3(y^2-6y)+31=0
• K obom stranám rovnice pripočítame konštanty 16 a 27, aby sme členy s premennými x a y mohli upraviť podľa vzťahu (a\pm b)^2=a^2 \pm 2ab +b^2.
• Máme: x^2+8x+16+3(y^2-6y+9)+31=16+27
• A upravíme: (x+4)^2 +3(y-3)^2+31=43
• Prevedieme konštantu 31 na druhú stranu rovnice: (x+4)^2 +3(y-3)^2=12
• Na záver rovnicu vydelíme 12: \frac{(x+4)^2}{12} +\frac{(y-3)^2}{4}=1
• Ide teda o elipsu.

• Overíme, či bod T leží na elipse: \frac{(1-2)^2}{9} +\frac{(-2-2)^2}{18}=1 \Rightarrow \frac19+\frac{16}{18}=1 \Rightarrow 1=1
• Dotyčnica má rovnicu \frac{(x-m)(x_0-m)}{b^2} +\frac{(y-n)(y_0-n)}{a^2}=1
• Dosadíme súradnice bodu T: \frac{(x-2)(1-2)}{9} +\frac{(y-2)(-2-2)}{18}=1
• Zbavíme sa zlomkov: 2(x-2)\cdot(-1) +(y-2)\cdot(-4)=18
• Roznásobíme zátvorky: -2x+4 -4y+8=18
• A dostaneme všeobecnú rovnicu dotyčnice: x+2y+3=0

• body paraboly majú y súradnicu aspoň tak veľkú ako vrchol (teda n)
• vrcholová rovnica: (x-m)^2= + 2p(y-n)

• body paraboly majú y súradnicu najviac tak veľkú ako vrchol (teda n)
• vrcholová rovnica: (x-m)^2= - 2p(y-n)

• body paraboly majú x súradnicu aspoň tak veľkú ako vrchol (teda m)
• vrcholová rovnica: (y-n)^2= + 2p(x-m)

• body paraboly majú x súradnicu najviac tak veľkú ako vrchol (teda m)
• vrcholová rovnica: (y-n)^2= - 2p(x-m)

• všeobecná rovnica: y=ax^2+bx+c
• kde a>0

• všeobecná rovnica: y=ax^2+bx+c
• kde a < 0

• všeobecná rovnica: x=ay^2+bx+c
• kde a > 0

• všeobecná rovnica: x=ay^2+bx+c
• kde a < 0

• majme parabolu danú vrcholovou rovnicou: (x-2)^2=2(y-1)
• pre túto parabolu je m=2, n=1, p=1
• na tejto parabole leží (súradnica spĺňajúca rovnicu) napríklad bod T=[4;3]
• dotyčnica danej paraboly v bode T=[4;3] má rovnicu: (x-2)(x-4)= (y-1)+(y-3)

• majme parabolu danú vrcholovou rovnicou: (x-2)^2=-4(y-1)
• pre túto parabolu je m=2, n=1, p=2
• na tejto parabole leží (súradnice spĺňajú rovnicu) napríklad bod T=[6;-3]
• dotyčnica danej paraboly v bode T=[6;-3] má rovnicu: (x-2)(x-6)= -2(y-1)-2(y+3)

• Pozrieme sa na znamienka členov s premennou x a y.
• Premenná v člene, ktorý má pred sebou znamienko plus udáva, s ktorou súradnicovou osou je rovnobežná hlavná os hyperboly.
• V menovateli danej premennej je potom (v druhej mocnine) veľkosť hlavnej polosi.
• Stručne povedané: ak je znamienko plus napríklad v prípade člena s premennou x, je hlavná os rovnobežná s osou x a v menovateli je druhá mocnina veľkosti hlavnej polosi a.

Určite stredovú rovnicu hyperboly so stredom v bode S[1;-5], ak je veľkosť hlavnej polosi 2, veľkosť vedľajšej polosi 6 a hlavná os je rovnobežná s osou y.

• Stredová rovnica je v tvare -\frac{(x-m)^2}{b^2} +\frac{(y-n)^2}{a^2}=1. Hlavná polos má veľkosť a, vedľajšia b.
• Dosadíme súradnice stredu a veľkosti hlavnej a vedľajšej polosi. Pri dosadení si dáme pozor na to, že súradnice stredu odčítame: -\frac{(x-1)^2}{6^2} +\frac{(y-(-5))^2}{2^2}=1
• Po úprave: -\frac{(x-1)^2}{36} +\frac{(y+5)^2}{4}=1

• Najskôr si vyznačíme stred, hlavné a vedľajšie vrcholy.
• Potom zostrojíme charakteristický obdĺžnik hyperboly. To je obdĺžnik, ktorý má strany rovnobežné s osami a vrcholmi hyperboly sú stredy jeho strán. Dĺžky jeho strán sú teda 2a a 2b.
• Asymptoty sú uhlopriečky charakteristického obdĺžnika.

• Najskôr si usporiadame členy: -x^2+8x+y^2-18y+40=0.
• Z členov s premennou x vytkneme -1: -(x^2-8x)+y^2-18y+40=0
• K obom stranám rovnice pripočítame konštantu 81 a odčítame konštantu 16, aby sme členy s premennými x a y mohli upraviť podľa vzťahu pre (a\pm b)^2: -(x^2-8x+16)+y^2-18y+81+40=81-16
• A upravíme: -(x-4)^2 +(y-9)^2+40=65
• Prevedieme konštantu 40 na druhú stranu rovnice: -(x-4)^2 +(y-9)^2 =25
• Na záver rovnice vydelíme 25: -\frac{(x-4)^2}{25} +\frac{(y-9)^2}{25}=1
• Ide teda o hyperbolu. Hlavná os je rovnobežná s osou y a a=b=5.

• Najskôr určíme vzájomnú polohu priamky a hyperboly.
• Ak vyjdú dva priesečníky, ide o sečnicu vo všeobecnej polohe.
• Ak vyjde jeden priesečník, musíme ešte rozhodnúť, či je priamka rovnobežná s asymptotou. Ak nie, ide o dotyčnicu. V opačnom prípade ide o sečnicu.