Zlomky, percentá, desatinné čísla

Zlomky zapisujeme v tvare \frac{a}{b}, kde a sa nazýva čitateľ a b menovateľ. Aby mal zlomok zmysel, nesmie byť menovateľ nula. Význam zlomku zodpovedá deleniu. Napríklad: v zlomku \frac32 je čitateľom číslo 3 a menovateľom číslo 2, hodnota zlomku \frac32 sa rovná deleniu 3:2 = 1{,}5 („jeden a pol“).

Rozširovanie a krátenie

Hodnota zlomku sa nemení rozširovaním a krátením (nenulovým číslom c).

Príklady:

• Rozšírenie zlomku \frac64 číslom 5: \frac64 = \frac{6\cdot 5}{4\cdot 5} = \frac{30}{20}.
• Krátenie zlomku \frac64 číslom 2: \frac64 = \frac{6:2}{4:2} = \frac{3}{2}.

Základný tvar

Vďaka rozširovaniu a kráteniu môžeme rovnakú hodnotu zapísať nekonečným mnôžstvom rôznych zlomkov. Zlomok \frac{a}{b} je v základnom tvare, ak sú čísla a, b nesúdeliteľné (ich jediný kladný spoločný deliteľ je teda číslo 1). Príklady:

• Zlomok \frac64 nie je v základnom tvare, pretože čísla 6 a 4 sú súdeliteľné (majú spoločný deliteľ 2, ktorým je môžné zlomok krátiť).
• Zlomok \frac34 je v základnom tvare, pretože čísla 3 a 4 sú nesúdeliteľné.

Zlomky vyjadrujú „časti z celku“. Môžeme ich graficky vyjadriť mnohými spôsobmi:

Zlomok môžeme na číselnú os umiestniť tak, že ho prevedieme na desatinné číslo (vydelíme jednoducho čitateľ menovateľom) a potom postupujeme rovnako ako pri desatinných číslach. Napríklad \frac{6}{5} = 1{,}2, teda zlomok \frac{6}{5} leží dve desatiny za jednotkou. Ďalšie príklady:

Zlomky menšie než 1 môžeme umiestňovať na číselnú os tiež priamo (bez prevodu na desatinné číslo) vďaka predstave „časť z celku“. Ak máme umiestniť zlomok \frac{3}{7}, predstavíme si, ako by sme rozdelili úsečku od 0 po 1 na sedem rovnakých častí. Zlomok \frac{3}{7} potom umiestnime na tretiu pozíciu.

Hodí sa si vybudovať dobrú predstavu hlavne pre zlomky s malým menovateľom:

Než sa pustíme do porovnávania zlomkov, je dobré mať jasno v tom, čo je čitateľ („to hore“) a menovateľ („to dole“). V zlomku \frac{3}{7} je 3 čitateľ, 7 menovateľ.

Porovnávanie zlomkov s rovnakým menovateľom

Porovnávania zlomkov s rovnakým menovateľom je jednoduché: stačí jednoducho porovnať čitatele. Ak napríklad porovnávame zlomky \frac{3}{7} a \frac{5}{7}, je väčší druhý zlomok. Oba zlomky vyjadrujú sedminy z celku a je jednoducho viac, keď máme sedmín päť.

Porovnávanie zlomkov s rovnakým čitateľom

Ak majú zlomky rovnaký čitateľ, potom stačí porovnať menovatele. V tomto prípade je ale poradie zlomkov opačné než poradie menovateľov. Ak porovnávame napríklad zlomky \frac{1}{4} a \frac{1}{5}, je väčšia jedna štvrtina: dostanem väčší kúsok pizzy, ak sa bude deliť medzi 4 ľudí, než keď sa bude deliť medzi 5 ľudí.

Odlišný menovateľ aj čitateľ

V tomto prípade potrebujeme zlomky najskôr previesť na spoločný menovateľ a až potom vykonať porovnanie podľa čitateľov. Príklad: porovnanie zlomkov \frac{2}{3} a \frac{4}{7}. Najmenší spoločný menovateľ je 21, po rozšírení dostávame dvojicu zlomkov \frac{2}{3}=\frac{2\cdot 7}{3\cdot 7}=\frac{14}{21} a \frac{4}{7}=\frac{4\cdot 3}{7\cdot 3}=\frac{12}{21}. Pretože 14 > 12, je väčší prvý zlomok, tj. \frac{2}{3}.

Porovnanie bez výpočtu

Často môžeme vykonať porovnanie aj bez detailného výpočtu, ak si zlomky správne predstavíme alebo porovnáme s vhodnou hodnotou „medzi“:

• Zlomky \frac{2}{3} a \frac{7}{6}. Prvý z nich je menší než 1, druhý je väčší než 1. Platí teda \frac{2}{3} < \frac{7}{6}.

• Zlomky \frac{1}{3} a \frac{4}{5}. První z nich je určite menší než polovica, druhý je výrazne väčší než polovica. Platí teda \frac{1}{3} < \frac{4}{5}.

Rovnakú hodnotu môžeme vyjadriť mnohými zlomkami, napríklad \frac23 = \frac46 = \frac{10}{15} = \frac{200}{300}. Len jedno možné vyjadrenie však považujeme za základný tvar. Zlomok je v základnom tvare, ak sú čitateľ a menovateľ nesúdeliteľné, nemajú teda žiadny spoločný deliteľ okrem jednotky. V uvedenom príklade je v základnom tvare zlomok \frac23.

Ako krátenie zlomku sa označuje operácia, kedy čitateľ a menovateľ vydelíme rovnakým, nenulovým číslom. Krátenie zachováva hodnotu zlomku. Ak chceme zlomok previesť do základného tvaru, krátime najväčším spoločným deliteľom čitateľa a menovateľa.

Príklady

• Zlomok \frac{15}{28} je v základnom tvare, pretože čísla 15 a 28 nemajú spoločný deliteľ (sú nesúdeliteľné).

• Zlomok \frac{25}{30} môžeme krátiť číslom 5, čím dostaneme zlomok \frac{5}{6}, ktorý je v základnom tvare.

• Zlomok \frac{12}{18} môžeme krátiť číslom 2, čím dostaneme zlomok \frac{6}{9}. Ak chceme krátiť na základný tvar, nájdeme najväčší spoločný deliteľ čísel 12 a 18, čo je 6. Po krátení číslom 6 dostávame zlomok \frac{2}{3}.

Ak má zlomok menovateľ väčší než čitateľ (zlomok je menší než jedna), označuje sa zlomok ako pravý. Nepravé zlomky (teda tie, ktoré sú väčšie ako jedna) môžeme zapísať pomocou zmiešaného čísla. Zmiešané číslo a\frac{b}{c} je zápis súčtu a + \frac{b}{c}, kde \frac{b}{c} je kladný zlomok menší než jedna. Príklady:

• 1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}
• 2\frac{3}{5} = \frac{13}{5}

Prevod zmiešaného čísla na zlomok urobíme na základe pozorovania, že jednotku môžeme zapísať ako \frac{c}{c}. Príklad: 3\frac14 = 3\cdot\frac44 + \frac14 = \frac{12}{4}+\frac14 = \frac{13}{4}.

Prevod nepravého zlomku na zmiešané číslo urobíme pomocou delenia so zvyškom. Celá časť zmiešaného čísla zodpovedá podielu, čitateľ zvyšného zlomku zodpovedá zvyšku. Príklad:

• \frac{17}{3} = 5\frac23, pretože 17:3 je 5 a zvyšok 2.
• \frac{15}{7}= 2\frac17, pretože 15:7 je 2 a zvyšok 1.

Než sa pustíme do sčítania zlomkov, je dobré mať jasno v tom, čo je čitateľ („to hore“) a menovateľ („to dole“). V zlomku \frac{3}{7} je 3 čitateľ, 7 menovateľ.

Sčítanie zlomkov s rovnakým menovateľom

Ak majú sčítané zlomky rovnaké menovatele, stačí jednoducho sčítať čitatele. Menovateľ necháme rovnaký, teda \frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}.

Sčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi

Ak majú sčítané zlomky rôzne menovatele, musíme ich najskôr rozšířiť tak, aby mali rovnaký menovateľ. Najvýhodnejšie je rozšíriť zlomky na najmenší spoločný násobok pôvodných menovateľov. Keď už majú zlomky rovnaký menovateľ, sčítame ich vyššie uvedeným postupom.

Úpravy a odčítanie

Výsledný zlomok väčšinou ešte krátime, aby sme dostali výsledok v základnom tvare. Odčítanie zlomkov funguje rovnakým spôsobom.

Príklady

• Príklad s rovnalým menovateľom, bez nutnosti krátenia:
  \frac{2}{5}+\frac{1}{5} = \frac{2+1}{5} = \frac{3}{5}.

• Príklad s rovnakým menovateľom, kedy výsledok krátime:
  \frac{5}{6}-\frac{1}{6} = \frac{5-1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.

• Príklad s rôznymi menovateľmi: \frac{5}{6} - \frac{3}{4}. Najmenší spoločný násobok menovateľov 6 a 4 je 12, rozšírime teda zlomky na menovateľ 12:
  \frac{5}{6} - \frac{3}{4} = \frac{5\cdot 2}{6\cdot 2} - \frac{3\cdot 3}{4\cdot 3}= \frac{10}{12} - \frac{9}{12} = \frac{1}{12}

Násobenie zlomkov si môžeme predstaviť s pomocou čokolády. Ak násobíme \frac45\cdot \frac23 je to ako keby sme brali štyri z piatich stĺpčekov a dva z troch riadkov. Koľko štvorčekov čokolády takto vezmeme? Osem z pätnástich, teda \frac{8}{15}.

Pri násobení zlomkov teda jednoducho vynásobíme čitateľ prvého zlomku a čitateľ druhého zlomku a dostaneme výsledný čitateľ, podobne pre menovateľ: \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d} = \frac{a\cdot c}{b\cdot d}. Ak sa chceme vyhnúť násobeniu veľkých čísel, môžeme zlomky krátiť, a to aj „do kríža“. Príklady:

• \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{5} = \frac{2\cdot 1}{3\cdot 5}=\frac{2}{15}
• \frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4} = \frac{2\cdot 3}{3\cdot 4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} (všimnite si, že neroznásobujeme, ale hneď krátime)

Delenie zlomkov je to isté ako násobenie prevráteným zlomkom: \frac{a}{b}:\frac{c}{d} = \frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}. Príklady:

• \frac13:\frac12 =\frac13\cdot \frac21 = \frac23
• \frac{2}{5}:\frac{3}{4}=\frac{2}{5}\cdot \frac{4}{3} = \frac{2\cdot 4}{5\cdot 3} = \frac{8}{15}

Umocňovanie a odmocňovanie zlomkov

Pri umocňovaní (odmocňovaní) zlomku jednoducho umocníme (odmocníme) čitateľ aj menovateľ:

• \large(\frac{2}{3}\large)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}

• \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}

• \large(\frac{4}{5}\large)^{-1} = \frac{4^{-1}}{5^{-1}} = \frac{5}{4} (umocňovanie na -1 zodpovedá prehodeniu čitateľa a menovateľa)

Umocňovanie na zlomok

Umocňovanie na zlomok zodpovedá tomu, že vezmeme mocninu podľa čitateľa a odmocninu podľa menovateľa, teda x^\frac{a}{b} = \sqrt[b]{a^x}. Príklady:

• 2^\frac{2}{3} = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4} = 1{,}587\ldots

• 4^\frac{1}{2} = \sqrt{4^1} = 2

• 81^\frac{3}{4} = \sqrt[4]{81^3} = \sqrt[4]{81}^3 = 3^3 = 27

Percento (%) je bezrozmerná jednotka vyjadrujúca jednu stotinu celku. Napríklad zápis „42 %“ (42 percent) je to isté ako zlomok \frac{42}{100} alebo desatinné číslo 0,42.

Promile (‰) je jedna desatina percenta, teda jedna tisícina celku.

Základné využitie percent je na vyjadrenie časti celku, napríklad:

• aká časť obyvateľov pracuje v poľnohospodárstve,
• koľko študentov úspešne splnilo skúšku,
• koľko alkoholu obsahuje fľaša vína.

Ďalšie oblasti využitia percent sú:

• vyjadrovanie pravdepodobnosti (aká je šanca, že bude zajtra pršať),
• finančné vzťahy (zľavy, úroky),
• spracovanie a prezentovanie štatistických dát.

Pre dobré pochopenie percent je vhodné vybudovať si základný prehľad o tom, čo percentá znamenajú a ako zodpovedajú jednotlivé hodnoty grafickému znázorneniu. Pre niektoré často sa vyskytujúce hodnoty je dobrý nápad si ich význam zapamätať:

Pre počítanie s percentami je najdôležitejšie si uvedomiť, že percento je jedna stotina, teda \frac{1}{100}. Ak teda chceme vypočítať napríklad „15 % z 300“, počítame takto: 15\ \% \textrm{ z } 300 = \frac{15}{100} \cdot 300 = 15 \cdot 3 = 45.

Pre niektoré často sa vyskytujúce percentá si môžeme výpočet uľahčiť:

• 50 % = jedna polovica, delíme teda číslom 2

• 25 % = jedna štvrtina, delíme teda číslom 4

• 10 % = jedna desatina, delíme teda číslom 10

• 90 % = bez jednej desatiny

Prevod percent na zlomok v základnom tvare

Jedno percento je to isté ako jedna stotina, teda \frac{1}{100}. Vynásobíme teda číslo (udávajúce percentá) zlomkom \frac{1}{100} a následne zlomok vykrátime (pomocou delenia najväčším spoločným deliteľom) na základný tvar. Príklady:

• 45\ \% = 45 \cdot \frac{1}{100} = \frac{45}{100} = \frac{5\cdot 9}{5\cdot 20}= \frac{9}{20}
• 12\ \% = 12 \cdot \frac{1}{100} = \frac{12}{100} = \frac{4\cdot 3}{4\cdot 25}= \frac{3}{25}

Prevod zlomku na percentá

Chceme zlomok \frac{a}{b} vyjadriť ako p\ \%. Pretože jedno percento je jedna stotina, musí teda platiť \frac{a}{b} = \frac{p}{100}. Takže p = \frac{a}{b}\cdot 100. Stačí teda zlomok vynásobiť číslom 100. Príklady:

• \frac{2}{5} = \frac{2}{5} \cdot 100\ \% = \frac{200}{5}\ \% = 40\ \%
• \frac{3}{20} = \frac{3}{20} \cdot 100\ \% = \frac{300}{20}\ \% = 15\ \%

Desatinné číslo je spôsob zápisu čísla pomocou celej časti a desatinnej časti, ktorá je oddelená desatinnou čiarkou. Napríklad v zápise 154,28 je 154 celá časť a 28 desatinná časť. Na prvom mieste za desatinou čiarkou sú desatiny, na druhom stotiny, na treťom tisíciny.

Pomocou desatinných čísel vyjadrujeme čísla, ktoré nie sú „celé“. Napríklad ak rozdelíme 6 koláčov spravodlivo medzi 4 deti, dostane každé dieťa „jeden a pol“ koláča, čo zapisujeme ako 1,5.

Poznámka k zápisu desatinných čísel: v slovenčine sa používa desatinná čárka. V anglofónnom svete sa používa desatinná bodka, namiesto 154,28 sa teda píše 154.28. Tento spôsob zápisu sa používa vo výpočetnej technike po celom svete.

Desatinné čísla môžeme čítať mnohými rôznymi spôsobmi. Prvým je „priamočaré čítanie“, kedy namiesto „čiarka“ hovoríme „celé“. Desatinnú časť môžeme prečítať ako jedno číslo, alebo vymenovať po cifrách:

Ďalej môžeme desatinné číslo prečítať pomocou desatín, stotín, tisícin:

Niekedy môžeme tiež desatinné číslo pomenovať podľa zlomku, ktorý predstavuje:

Pri porovnávaní desatinných čísel nájdeme tú „najdôležitejšiu“ časť v ktorej sú rozdielne a podľa nej porovnávame. Najskôr teda porovnávame celú časť. Ak sú celé časti zhodné, porovnávame desatiny, následne stotiny, tisíciny a tak ďalej. Nesmieme tiež zabudnúť skontrolovať znamienko, ktoré má rovnaký vplyv ako v prípade celých čísel. Príklady:

• 15{,}3 < 17{,}9987 – líši sa celá časť, takže pre účely porovnania môžeme desatinné miesta úplne ignorovať.

• 0{,}2 > 0{,}17 – celá časť je rovnaká, rozhodujeme teda podľa desatín, kde 2>1. Pri príkladoch tohto typu sa často robia chyby, pretože to vyzerá, že 17 > 2, čo je však chybná úvaha. Pre lepšiu predstavu si môžeme doplniť z pravej strany nulu: 0{,}20 > 0{,}17.

• 3{,}21 > -3{,}22 – tu vôbec nehrajú rolu desatinné miesta, pretože prvé číslo je kladné a druhé záporné.

• -4{,}2791 < -4{,}2758 – porovnávanie vykonávame podľa cifier na pozícii tisícin (9 a 5), výsledok je „naopak“, pretože ide o záporné čísla.

Zaokrúhľovanie desatinných čísel funguje podobne ako zaokrúhľovanie celých čísel, pracujeme však aj s časťou za desatinnou čiarkou. Pri desatinných číslach je téma zaokrúhľovania obzvlášť dôležitá, pretože sa jej občas nemôžeme vyhnúť – niektoré čísla v desiatkovej sústave totiž nie je možné presne zapísať, napríklad \frac{1}{3} = 0{,}3333\ldots, \sqrt{2} = 1{,}4142\ldots, \pi = 3{,}14159\ldots

Zaokrúhľovanie na desatiny znamená, že číslo nahradíme najbližším násobkom čísla 0,1 (teda číslom s jednou cifrou za desatinnou čiarkou). Zaokrúhľovanie na stotiny znamená, že číslo nahradíme najbližším násobkom čísla 0,01 (teda číslom s dvomi ciframi za desatinnou čiarkou). Podobne zaokrúhľujeme aj s vyššou presnosťou. Rovnako ako pri zaokrúhľovaní celých čísel aj pri desatinných číslach zaokrúhľujeme čísla končiace sa číslicou 5 nahor. Príklady:

• 3,628 zaokrúhlené na desatiny je 3,6.

• 3,628 zaokrúhlené na stotiny je 3,63.

• 12,25 zaokrúhlené na desatiny je 12,3.

• 4,8975 zaokrúhlené na celé číslo je 5.

• 84,15 zaokrúhlené na desiatky je 80 (pozor na rozdiel medzi zaokrúhľovaním na „desatiny“ a „desiatky“).

Podobne ako pri iných číselných osiach, prvý krok je určiť, aké sú rozostupy medzi značkami na číselnej osi. Pri práci s desatinnými číslami býva často rozostup 0,1 (jedna desatina), ale nemusí to tak byť vždy.

Príklad:

Pri sčítaní a odčítaní desatinných čísel postupujeme rovnako ako pri bežnom sčítaní a odčítaní, čísla len musíme mať „zarovnané“ podľa desatinnej čiarky. Vhodnou pomôckou (hlavne pri sčítaní a odčítaní pod sebou) môže byť doplniť si nuly z pravej strany, aby mali obe čísla rovnaký počet cifier za desatinnou čiarkou. Príklady:

• 1{,}2+2{,}3 = 3{,}5

• 3{,}457+4{,}2 = 3{,}457+4{,}200 = 7{,}657

• 1{,}3-0{,}8 = 0{,}5

• 0{,}001+0{,}01+0{,}1 = 0{,}001+0{,}010+0{,}100 = 0{,}111

• 2{,}01-0{,}1 = 2{,}01 - 0{,}10 = 1{,}91

Násobenie desatinných čísel môžeme vykonať nasledujúcim spôsobom: 1) Obe čísla vynásobíme, ako keby desatinnú čiarku vôbec nemali. 2) Do výsledku umiestnime desatinnú čiarku tak, aby mal výsledok toľko desatinných miest ako oba činitele spolu. Tento postup zodpovedá násobeniu a následnému deleniu mocninami desiatky. Príklady:

• 5 \cdot 0{,}4 – násobíme 5\cdot 4 = 20, výsledok posunieme o 0+1=1 desatinné miesto, dostávame 2{,}0.

• 2{,}5 \cdot 0{,}05 – násobíme 25\cdot 5=125, výsledok posunieme o 1+2=3 desatinné miesta, dostávame 0,125.

• 0{,}9 \cdot 0{,}8 – násobíme 9\cdot 8=72, výsledok posunieme o 1+1=2 desatinné miesta, dostávame 0,72.

Výsledok je dobré skontrolovať rýchlym odhadom pomocou zaokrúhlených čísel. Napríklad pri násobení 0{,}9 \cdot 0{,}8 sú oba činitele „trochu menšie než 1“, takže aj výsledok by mal byť „trochu menší než 1\cdot 1“, pri násobení 4{,}92\cdot 3{,}06 môžeme ľahko odhadnúť, že výsledok by mal byť približne 5\cdot 3=15.

Pri delení desatinných čísel sa môžeme desatinnej časti ľahko zbaviť tak, že delenec aj deliteľ vynásobíme dostatočne veľkou mocninou desiatky. Následne potom čísla delíme rovnako ako prirodzené čísla. Príklady:

• 8:0{,}2 = 80:2 = 40
• 1:0{,}05 = 100:5 = 20
• 2{,}5:2 = 25:20 = 1{,}25

Prevod desatinného čísla na zlomok

Desatinné číslo roznásobíme pomocou mocniny desiatky tak, aby sme sa „zbavili“ desatinnej čiarky. Potom zlomok vykrátime (najväčším spoločným deliteľom), aby sme dostali zlomok v základnom tvare. Príklady:

• 1{,}5 = 1{,}5\cdot \frac{10}{10} = \frac{1{,}5\cdot 10}{10} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}

• 1{,}25 = 1{,}25 \cdot \frac{100}{100} = \frac{1{,}25\cdot 100}{100} = \frac{125}{100} = \frac{5}{4}

Počítanie nám môže uľahčiť, keď si zapamätáme niektoré užitočné prevody, s pomocou ktorých môžme vyriešiť aj ďalšie príklady:

• 0{,}01 = \frac{1}{100}

• 0{,}1 = \frac{1}{10}

• 0{,}2 = \frac{1}{5}

• 0{,}25 = \frac{1}{4}

• 0{,}333\ldots = \frac{1}{3}

• 0{,}5 = \frac{1}{2}

Prevod zlomku na desatinné číslo

Význam zlomku je jednoducho podiel čitateľa a menovateľa. Zlomok teda vyjadríme ako desatinné číslo jednoducho tak, že vydelíme čitateľ menovateľom (môže sa nám hodiť postup pre „delenie pod sebou“). Príklady:

• \frac{3}{4} = 3:4 = 0{,}75

• \frac{6}{5} = 6:5 = 1{,}2

• \frac{3}{20} = 3:20 = 0{,}15