Geometria

Geometria je oblasť matematiky, ktorá sa zaoberá štúdiom tvarov, veľkostí a priestorových vzťahov medzi objektami. Geometria rozvíja našu priestorovú predstavivosť a hrá dôležitú rolu v každodennom živote – pomáha nám chápať a popisovať svet okolo nás, od merania vzdialeností až po architektonické návrhy budov. Na jej bohaté využitie narazia nielen inžinieri a architekti, ale napríklad aj grafickí návrhári pri tvorbe plagátov alebo vývojári počítačových hier pri vykresľovaní pohybu postavičky.

Geometria je široká téma, ktoré má viacero podtém:

• Priestorová predstavivosť – rozvíjanie schopnosti vnímať a predstaviť si tvary v rovine aj v priestore
• Geometrické pojmy – základné pojmy ako sú body, priamky, roviny, uhly
• Rovinné útvary – zoznámenie sa s rôznymi tvarmi v rovine, napríklad s trojuholníkmi, štvorcami a kruhmi
• Priestorové útvary – štúdium trojrozmerných objektov ako sú kocky, gule alebo valce
• Obsah a obvod – výpočet obsahu a obvodu rôznych rovinných útvarov
• Objem a povrch – výpočet objem a povrch priestorových útvarov
• Uhly – práca s uhlami, ich meranie a vzťahy medzi nimi
• Geometrické konštrukcie – postupy a nástroje potrebné na konštrukciu geometrických objektov
• Operácie a vlastnosti v rovine – súmernosti, posunutie, otáčanie a ďalšie operácie s rovinnými tvarmi
• Analytická geometria – využitie súradnicového systému na popis geometrických útvarov a ich vlastností

Priestorová predstavivosť nám pomáha vnímať a rozumieť tvarom okolo nás, či už na papieri alebo v skutočnom svete. Precvičovanie je delené do viac podtém rôznych náročností:

• Priestorová predstavivosť v rovine – práca s tvarmi na plochej rovine
• Priestorová predstavivosť: 3D objekty – schopnosť predstaviť si, ako vyzerá trojrozmerné teleso z iného uhla pohľadu
• Nárys, pôdorys, bokorys – rôzne spôsoby zobrazenia objektov
• Počty vrcholov, stien, hrán – počítanie základných prvkov priestorových telies
• Sieť kocky – skladanie kocky z plochých častí
• Siete telies – nadväzuje na predchádzajúcu tému a zaoberá sa aj zložitejšími 3D telesami
• Rezy kocky – rezanie kocky rovinou
• Rezy telies – rezanie ďalších priestorových telies

Nárys, bokorys a pôdorys sa používajú k dvojrozmernému zakresleniu trojrozmerného objektu pomocou pravouhlého premietania. Každý z nich zachycuje pohľad na objekt z iného smeru:

• Nárys je pohľad z prednej strany.
• Bokorys je pohľad z bočnej strany.
• Pôdorys je pohľad zhora.

Pre počet vrcholov v, hrán h a stien s konvexného mnohostenu platí Eulerova veta: v - h + s = 2.

Počty vrcholov, stien a hrán pre pravidelné mnohosteny:

Sieť kocky môžeme zakresliť 11 rôznymi spôsobmi:

Sieť telesa je rovinné zakreslenie, z ktorého je možné poskladať plášť telesa. Príklady sietí:

Sieť telesa je väčšinou možné zakresliť mnohými rôznymi spôsobmi. Sieť kocky môžeme zakresliť takto:

Na rozdiel od bežného jazyka, kde majú slová väčšinou niekoľko významov, v matematike používame pojmy s presne definovaným významom. To je veľmi užitočné, pretože sa vďaka tomu môžeme vyjadrovať stručne a pritom jednoznačne. V geometrii sa využíva celý rad pojmov.

Pozn. Presné definície rovnoramenného trojuholníka sa líšia: niektorí autori vyžadujú „aspoň“ dve strany zhodné, iní „presne“ dve strany zhodné. Rozdiel je v tom, či rovnostranné trojuholníky považujeme za rovnoramenné.

Rovinné útvary sú množiny bodov v rovine, ide teda o dvojrozmerné útvary. Najznámejšie rovinné útvary sú napríklad štvorec, obdĺžnik, trojuholník, kružnica, kruh, rovnobežník, lichobežník, pravidelný alebo nepravidelný mnohouholník.

Pri niektorých rovinných útvaroch dokážeme jednoducho vypočítať ich obvod a obsah.

Trojuholník je základný geometrický útvar, ktorý má tri vrcholy a tri strany. Trojuholníky hrajú v geometrii kľúčovú rolu, pretože sa veľa problémov dá riešiť tak, že zložitejšie obrazce rozdelíme na trojuholníky a následne pracujeme s nimi.

Značenie strán a uhlov v trojuholníku:

Proti vrcholu A je strana a, proti vrcholu B je strana b a proti vrcholu C je strana c.

Výšky príslušné stranám v trojuholníku:

Výška v_a je vzdialenosť bodu A od priamky, na ktorej leží strana a. Teda je to vzdialenosť bodu A od päty kolmice na priamku BC vedenú bodom A. Táto päta kolmice môže a nemusí ležať priamo na strane a.

Témy súvisiace s trojuholníkom:

• Pojmy súvisiace s trojuholníkom (napr. rovnoramenný, rovnostranný, výška, dotyčnica, opísaná kružnica)
• Obvod trojuholníka a obsah trojuholníka (výpočty na základe zadaných údajov o trojuholníku)
• Konštrukčné úlohy s trojuholníkmi (narysovanie trojuholníkov na základe zadaných údajov, napr. s využitím viet sss, sus, usu)
• Pytagorova veta, Euklidove vety, goniometrické funkcie – (užitočné vlastnosti pravouhlého trojuholníka)

Pytagorova veta popisuje vzťah, ktorý platí medzi dĺžkami strán pravouhlého trojuholníka. Veta znie: Obsah štvorca zostrojeného nad preponou pravouhlého trojuholníka je rovný súčtu obsahov štvorcov nad obomi jeho odvesnami. Pytagorovu vetu môžeme zapísať vzťahom c^2 = a^2 + b^2, kde c označuje dĺžku prepony pravouhlého trojuholníka a dĺžky odvesien sú a, b.

Nasledujúci obrázok znázorňuje graficky znenie vety a tiež „obrázkový dôkaz“ tejto vety:

Platí aj opačný smer: Ak má trojuholník strany dĺžok a, b, c, ktoré spĺňajú rovnosť c^2 = a^2 + b^2, potom musí ísť o pravouhlý trojuholník s preponou c.

Pytagorova veta umožňuje dopočítať dĺžku tretej strany pravouhlého trojuholníka, pri ktorom poznáme dĺžky dvoch zvyšných strán:

• Dĺžka odvesny c = \sqrt{a^2 + b^2}. Ak má pravouhlý trojuholník odvesny s dĺžkou 3 metre a 6 metrov, prepona má dĺžku \sqrt{3^2+6^2} = \sqrt{9+36} = \sqrt{45} \doteq 6,41 metra.

• Dĺžka prepony a = \sqrt{c^2-b^2}. Ak má trojuholník preponu s dĺžkou 8 metrov a jedna z odvesien má dĺžku 4 metre, druhá odvesna má dĺžku \sqrt{8^2-4^2} = \sqrt{64-16} = \sqrt{48} \doteq 6,93 metra.

Pytagorejské trojice sú trojice celých čísel, ktoré spĺňajú a^2+b^2=c^2, teda trojuholník s príslušnými dĺžkami strán je pravouhlý. Typickým príkladom pytagorejskej trojice je (3, 4, 5): 3^2 + 4^2 = 9+16 = 25 = 5^2.

Ďalšie príklady pytagorejských trojíc: (5, 12, 13); (8, 15, 17); (7, 24, 25); (20, 21, 29); (9, 40, 41). Medzi pytagorejské trojice patria tiež všetky násobky týchto trojíc, napr. (6, 8, 10); (9, 12, 15); (10, 24, 26). Ak si zapamätáme niektoré základné pytagorejské trojice, predovšetkým najjednoduchšiu trojicu (3, 4, 5), tak nám to môže uľahčiť výpočty.

Pytagorova veta má v geometrii veľmi široké využitie, pretože môžeme veľa zložitejších útvarov rozložiť na pravouhlé trojuholníky.

Typickým príkladom aplikácie Pytagorovej vety je výpočet dĺžky uhlopriečky štvorca alebo výšky rovnostranného trojuholníka:

V prípade štvorca so stranou a tvorí uhlopriečka preponu pravouhlého trojuholníka s odvesnami s dĺžkou a. Pre dĺžku uhlopriečky u teda platí u^2 = a^2 + a^2. Po úpravách: u = \sqrt{a^2+a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}. Napríklad štvorec so stranou 10 cm má teda uhlopriečku s dĺžkou 10\cdot \sqrt{2} \doteq 14,1 metra.

V prípade rovnostranného trojuholníka so stranou a tvorí výška odvesnu pravouhlého trojuholníka s preponou s dĺžkou a a odvesnou s dĺžkou \frac{a}{2}. Pre dĺžku výšky v teda platí v^2 + \large(\frac{a}{2}\large)^2 = a^2. Po úpravách dostávame v^2 = a^2 - \frac{a^2}{2^2} = \frac{3}{4}a^2, v = a\frac{\sqrt{3}}{2}. Napríklad v rovnostrannom trojuholníku so stranou 5 metrov má teda výška dĺžku \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 5 \doteq 4,33 metra.

Euklidove vety sú dve tvrdenia o vlastnostiach pravouhlého trojuholníka.

Euklidova veta o výške

Obsah štvorca zostrojeného nad výškou pravouhlého trojuholníka sa rovná obsahu obdĺžnika zostrojeného z oboch úsekov prepony:

v_c^2 = c_a\cdot c_b

Euklidova veta o odvesne

Obsah štvorca zostrojeného nad odvesnou pravouhlého trojuholníka sa rovná obsahu obdĺžnika zostrojeného z prepony a úseku prepony priľahlej k tejto odvesne.

• a^2 = c\cdot c_a
• b^2 = c\cdot c_b

Obdĺžnik patrí medzi štvoruholníky. Je to rovnobežník, ktorý má všetky vnútorné uhly pravé.

Štvorec je zvláštny prípad obdĺžnika, ktorý má všetky strany rovnako dlhé.

Rovnobežník je štvoruholník, ktorého protiľahlé strany sú rovnobežné. Kedysi sa označoval tiež ako kosodĺžnik.

Špeciálne prípady rovnobežníka:

• Kosoštvorec má všetky strany rovnako dlhé.
• Obdĺžnik má vnútorné uhly pravé.
• Štvorec má vnútorné uhly pravé a všetky strany rovnako dlhé.

Lichobežník je štvoruholník, ktorého dve protiľahlé strany sú rovnobežné (hovoríme im základne) a zvyšné dve protiľahlé strany sú rôznobežné.

Pravouhlý lichobežník má dva z vnútorných uhlov pravé (základne lichobežníka sú rovnobežné, ak je jeden vnútorný uhol pravý, musí byť jeho doplnok do 180^{\circ} pri druhej základni tiež pravý).

Rovnoramenný lichobežník má ramená rovnakej dĺžky.

Kružnica s daným stredom S a polomerom r je tvorená všetkými bodmi v rovine, ktoré sú od stredu vzdialené presne o r. V prípade každého bodu v rovine potom môžeme určiť, kde ležia:

• na kružnici (ich vzdialenosť od S je rovná r)
• vo vnútornej oblasti kružnice (ich vzdialenosť od S je menšia než r, tieto body neležia na kružnici)
• vo vnútornej oblasti kružnice (ich vzdialenosť od S je väčšia než r, tieto body tiež neležia na kružnici)

Kruh s daným stredom S a polomerom r je tvorený všetkými bodmi v rovine, ktoré sú od stredu vzdialené najviac o r. Kruh s daným stredom a polomerom je teda zjednotenie kružnice s rovnakým stredom a polomerom a jej vnútornou oblasťou. Stred S kruhu je bod, ktorý patrí do kruhu. (Zatiaľ čo stred kružnice neleží na kružnici, ale v jej vnútornej oblasti.)

Priestorové útvary sú množiny bodov v priestore, ide teda o trojrozmerné útvary. Najznámejšie priestorové útvary sú napríklad kocka, kváder, ihlan, guľa, hranol, valec, kužeľ.

Pri niektorých priestorových útvaroch dokážeme jednoducho vypočítať ich objem a povrch.

Kocka a kváder sú priestorové geometrické útvary, ktoré patria medzi mnohosteny, špeciálnejšie ide o zvláštne prípady hranolov.

Kocka je priestorový útvar, ktorý má šesť stien, tvar každej steny je štvorec. Všetky hrany kocky majú rovnakú dĺžku a všetky vnútorné uhly sú pravé, teda ich veľkosť je 90°. Príklady kocky v bežnom živote zahŕňajú kocky cukru alebo Rubikovu kocku.

Na výpočet objemu kocky použijeme vzorec V = a^3, kde a je dĺžka hrany kocky.

Povrch kocky s dĺžkou hrany a sa vypočíta pomocou vzorca S = 6a^2.

Kváder je tiež hranol, ale na rozdiel od kocky majú jeho steny tvar obdĺžnikov. Kváder má tri rozmery: šírku, dĺžku a výšku, ktoré nemusia byť rovnaké, ako je tomu v prípade kocky. Kváder má šesť stien, tvar každej steny je obdĺžnik alebo štvorec, ak sú všetky steny tvaru štvorca, ide o kocku.

Príklady kvádrov v bežnom živote zahŕňajú krabice, knihy alebo tehly.

Objem kvádra získame vzorcom V = a \cdot b \cdot c, kde a,b,c sú rozmery kvádra.

Povrch kvádra vypočítame ako súčet obsahov všetkých jeho šiestich obdĺžnikových stien S = 2(ab + bc + ac). Dvojice protiľahlých stien sú zhodné obdĺžniky, preto majú rovnaké obsahy.

Hranol je priestorový geometrický útvar, ktorý má dve zhodné podstavy umiestnené v rôznych rovinách. Budeme sa zaoberať kolmými hranolmi, v ktorých sú zodpovedajúce strany podstavy vždy spojené bočnou stenou tvaru obdĺžnika alebo štvorca. (Pre kosé hranoly sú bočné steny rovnobežníky.) Podstavy hranola môžu mať rozličné tvary, napríklad môžu byť trojuholníkové, štvorcové, obdĺžnikové alebo aj mnohouholníkové.

Vzorčeky pre objem a povrch hranola

Pre výpočet objemu hranola používame vzorec V = S_p \cdot v, kde S_p je obsah jednej podstavy a v je výška hranola.

Sieť hranola sa skladá z dvoch podstáv a plášťa, preto jeho povrch vypočítame ako súčet obsahov podstáv a obsahu plášťa: S = 2S_p + S_{pl}, kde S_{pl} je obsah plášťa, čo je súčet obsahov všetkých obdĺžnikových alebo štvorcových stien tvoriacich plášť.

Príklady hranolov

Pravidelný n-boký hranol má ako podstavy dva pravidelné n-uholníky.

Špeciálne prípady štvorbokých hranolov sú kváder a kocka. Kváder môže a nemusí byť pravidelný štvorboký hranol. Kocka je pravidelný štvorboký hranol, ktorý navyše spĺňa a=v.

Ihlan je priestorový geometrický útvar, ktorý má jednu podstavu a plášť tvorený trojuholníkmi. Podstava ihlanu môže byť ľubovoľný mnohouholník (napríklad štvorec, obdĺžnik alebo trojuholník) a všetky bočné steny (plášť) sa stretávajú v jednom spoločnom bode nazývanom vrchol ihlanu. Príkladom ihlanov sú pyramídy zo starovekého Egypta, vypadajú zhruba ako ihlany so štvorcovou podstavou a štyrmi trojuholníkovými bočnými stenami.

Vzorce pre objem a povrch

Objem ihlanu V = \frac{1}{3} S_p \cdot v, kde S_p je obsah podstavy a v je výška ihlanu, čo je vzdialenosť vrcholu od roviny podstavy. (Veľkosť výšky ihlanu získame ako dĺžku úsečky, ktorá vedie od vrcholu k rovine podstavy a je kolmá na túto rovinu.)

Povrch ihlanu získame ako súčet obsahu podstavy a obsahu plášťa S_p (obsah plášťa je rovný súčtu obsahov všetkých bočných trojuholníkových stien ihlanu). Celkovo je povrch ihlanu S = S_p + S_{pl}, v prípade pravidelného šesťbokého ihlanu na obrázku je: S=Sp + 6 \cdot S_{\Delta}

Niektoré ihlany majú pravidelnú podstavu, vrchol umiestnený priamo nad stredom podstavy a všetky trojuholníkové steny z plášťa rovnaké, ale všeobecne sa môže výpočet obsahu každej z týchto trojuholníkových stien líšiť v závislosti od tvaru podstavy ihlanu.

Špeciálne prípady

Pravidelný štvorsten je ihlan, ktorého základňa aj všetky tri bočné steny sú rovnostranné trojuholníky. Je jedným z Platónskych telies.

Ak máme pravidelný štvorsten, ktorého steny sú rovnostranné trojuholníky s dĺžkou každej strany a, vieme si pomocou Pytagorovej vety vypočítať výšku každého z týchto rovnostranných trojuholníkov \frac{\sqrt{3}}{2} a.

Pravidelný n-boký ihlan má ako podstavu pravidelný n-uholník, jeho plášť tvorí n rovnoramenných trojuholníkov. Napríklad podstava pravidelného štvorbokého ihlanu je štvorec, jeho plášť tvoria štyri rovnoramenné trojuholníky.

Valec je teleso, ktoré vznikne rotáciou obdĺžnika v priestore okolo jednej strany.

Valec má dve podstavy tvaru kruhu, je jednoznačne určený polomerom (alebo priemerom) podstavy a výškou.

Vzorce na výpočet objemu a povrchu valca

Objem valca vypočítame podobne ako pri hranole V=S_p \cdot v, kde S_p je obsah kruhovej podstavy. Celkovo je teda objem valca: V=\pi \cdot r^2 \cdot v

Povrch valca je súčet obsahov jeho dvoch podstáv a obsahu plášťa S = 2\cdot S_p + S_{pl}. Podstavy sú v tvare kruhu a plášť môžeme rozvinúť do roviny ako obdĺžnik s rozmermi v a 2\pi \cdot r (výška valca a obvod jeho podstavy). Povrch valca je rovný: V = 2\pi \cdot r^2 + 2\pi \cdot r \cdot v = 2\pi r (r+v)

Guľa je priestorový geometrický útvar, ktorý má tvar dokonale guľatého telesa. Všetky body na povrchu gule sú rovnako ďaleko od stredu, táto vzdialenosť sa nazýva polomer gule. Guľa je symetrická vo všetkých smeroch, čo znamená, že nezáleží na tom, ako ju otočíme, jej tvar zostane rovnaký.

Príklady gule v bežnom živote zahŕňajú basketbalovú loptu, zemeguľu alebo guľôčku z ložiska.

Na výpočet objemu gule používame vzorec V = \frac{4}{3} \pi r^3, kde r je polomer gule.

Povrch gule sa vypočíta pomocou vzorca S = 4 \pi r^2, kde zase r značí polomer gule.

Guľa nemá rohy ani hrany, čo ju odlišuje od mnohých iných geometrických útvarov. Táto jedinečná vlastnosť dáva guli významnú rolu v rôznych oblastiach, vrátane fyziky, kde sa používa napríklad na modelovanie ideálnych telies v teórii gravitácie. Predmetom štúdia v neeuklidovskej geometrii môžu zase byť útvary, ktoré nie sú časťou roviny, ale guľovej plochy (potom ide o sférickú geometriu, teda geometriu na sfére).

Kužeľ je priestorový geometrický útvar s kruhovou podstavou. Zužuje sa smerom k jednému bodu zvanému vrchol. Ide o útvar, ktorý vznikne, keď sa okolo svojej osi otáča rovnoramenný trojuholník. Príkladom kužeľa v bežnom živote je kornút zmrzliny alebo dopravný kužeľ. 

Vzorce pre objem a povrch

Objem kužeľa je možné vypočítať pomocou vzorca: V = \frac{1}{3} \pi \cdot r^2 \cdot v, kde r je polomer podstavy a v je výška kužeľa, čo je vzdialenosť vrcholu od roviny, v ktorej leží podstava kužeľa.

Povrch kužeľa získame sčítaním obsahu základne a obsahu plášťa S = \pi \cdot r^2 + \pi \cdot r s, kde s je tzv. strana kužeľa, čo je dĺžka úsečky spájajúca vrchol kužeľa s okrajom jeho základne.

Kužeľosečky

Krivky, ktoré vznikajú prienikom kužeľového povrchu s rovinou sa nazývajú kužeľosečky. Patria medzi ne napríklad kružnica, elipsa, parabola a hyperbola.

Obsah značíme S. Obsah vyjadruje, koľko „miesta v rovine“ útvar zaberá. Meria sa v jednotkách obsahu.

Obvod značíme o. Obvod je súčet dĺžok čiar, ktoré útvar vymedzujú. Obvod sa meria v jednotkách dĺžky.

Prehľad vzorcov pre obsah a obvod základných geometrických útvarov:

Obvod trojuholníka vypočítame ako súčet dĺžok jeho strán: o=a+b+c

Príklad:

Trojuholník na obrázku má dĺžky strán a=10, b=8, c=14, takže jeho obvod je o=a+b+c=10+8+14=32.

Obvod štvorca so stranou s dĺžkou a je o=a+ a+a+a= 4a.

Obvod obdĺžnika so stranami s dĺžkami a,b je rovný o=a + b + a + b = 2\cdot (a+b).

Obvod rovnobežníka so stranami s dĺžkami a,b je rovný S=a + b + a + b = 2\cdot (a+b).

Obvod lichobežníka je súčet dĺžok jeho strán. Teda obvod lichobežníka ABCD so stranami s dĺžkami a,b,c,d vypočítame podľa vzorčeka o=a+b+c+d.

Vzorec pre obvod kruhu

Obvod kruhu (aj kružnice) s polomerom r je o=2\pi r. Pre priemer d platí o = \pi d.

Konštanta \pi sa tiež nazýva Ludolfovo číslo. \pi je iracionálne číslo, čo znamená, že nejde vyjadriť zlomkom ani zapísať presne v desiatkovej sústave. Približná hodnota \pi je 3,141 592 65.

Pri výpočte obvodu kruhu dávame dobrý pozor na to, či vychádzame zo znalosti polomeru alebo priemeru. Zámena priemeru za polomer je častou chybou.

Intuícia

Základnú intuíciu za vzorcom pre výpočet obvodu kruhu približuje nižšie uvedený obrázok. Obvod oranžového štvorca je 8\cdot r. Obvod kruhu je „o trochu menší“ – je to 2\pi \cdot r \approx 6{,}3 \cdot r.

Príklady

• Majme kruh s polomerom 3 cm. Jeho obvod je 2\pi \cdot 3 \approx 2 \cdot 3{,}14 \cdot 3 \approx 18{,}8 cm.
• Kružnica s priemerom 2 cm má dĺžku \pi \cdot 2 \approx 6,3 cm.
• Stredový kruh na futbalovom ihrisku má polomer 9{,}1 metra. Ak ho chceme obísť po jeho okrajovej čiare, prejdeme 2 \pi \cdot 9{,}1 \approx 57 metrov.

Dĺžka oblúka

Dĺžku oblúka, ktorý na kružnici s polomerom r zodpovedá stredovému uhlu \alpha vypočítame ako: \frac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot 2 \pi \cdot r

Príklady

• Dĺžka oblúka na obrázku je: \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 2\pi \cdot 3 = \frac{1}{4} \cdot 6 \pi = \frac{3}{2}\pi

• Dĺžka celej kružnice (teda pre celých 360^{\circ}) je: \frac{360^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 2\pi \cdot r = 2\pi \cdot r

Obvod trojuholníkov a štvoruholníkov je jednoducho súčet dĺžok ich strán.

Obsah trojuholníka vypočítame ako súčin dĺžky ľubovoľnej strany trojuholníka a výšky príslušnej k tejto strane, takže: S_{\triangle} = \frac12 \cdot a \cdot v_a = \frac12 \cdot b \cdot v_b = \frac12 \cdot c \cdot v_c

Čo si môžeme predstaviť ako polovicu obsahu obdĺžnika, v ktorom je náš trojuholník takto vpísaný:

Príklady k obsahu:

• Trojuholník ABC: Dĺžka strany \left| AB \right| je 2. Veľkosť k nej príslušnej výšky v_c je 3. Obsah trojuholníka ABC je rovný \frac12 \cdot 2 \cdot 3 = 3.
• Trojuholník DEF: Nevadí nám, že trojuholník na náčrtku vyzerá zvláštne natočený. Poznáme dĺžku strany \left| DE \right|, čo je 3. Veľkosť k nej príslušnej výšky v_f je 4. Obsah trojuholníka DEF je rovný \frac12 \cdot 3 \cdot 4 = 6.

• Trojuholník GHI: Nevadí nám ani keď je päta kolmice, na ktorej leží výška, mimo stranu trojuholníka. Dĺžka strany \left| GH \right| je 1. Veľkosť k nej príslušnej výšky v_i je 2. Obsah trojuholníka GHI je \frac12 \cdot 2 \cdot 1 = 1.
• Trojuholník JKL: S pravouhlým trojuholníkom si tiež poradíme. Dĺžka strany \left| JK \right| je 4. Veľkosť k nej príslušnej výšky v_l je 3 (a je to zároveň aj dĺžka strany KL nášho trojuholníka). Obsah trojuholníka JKL je \frac12 \cdot 4 \cdot 3 = 6.

Obsah štvorca so stranou dĺžky a je S=a\cdot a=a^2.

Obsah obdĺžnika so stranami s dĺžkami a,b je rovný S=a\cdot b.

Obsah rovnobežníka, v ktorom k strane s dĺžkou a patrí výška v_a, vypočítame ako S= a\cdot v_a.

Obsah lichobežníka so základňami s dĺžkami a,c a výškou v vypočítame podľa vzorčeka S=\frac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot v.

Intuíciu za týmto vzorčekom je vidieť na nasledujúcom obrázku. Obsah lichobežníka je rovný súčtu obsahov dvoch trojuholníkov.

• Prvý trojuholník má výšku v príslušnú k strane dĺžky a. Jeho obsah je S_{ABC}=\frac{1}{2} \cdot a \cdot v.
• Druhý trojuholník má výšku v príslušnú k strane dĺžky c. Jeho obsah je S_{ACD}=\frac{1}{2} \cdot c \cdot v.

Súčet obsahov týchto dvoch trojuholníkov je S = S_{ABC} + S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot v + \frac{1}{2} \cdot c \cdot v = \frac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot v

Vzorce

Obvod kruhu (aj kružnice) s polomerom r je o=2\pi r. Pre priemer d platí o = \pi d.

Obsah kruhu s polomerom r je S=\pi r^2. Pre priemer d platí S = \frac{1}{4} \pi d^2.

Konštanta \pi sa nazýva tiež Ludolfovo číslo. \pi je iracionálne číslo, čo znamená, že ho nie je možné vyjadriť zlomkom ani zapísať presne v desiatkovej sústave. Približná hodnota \pi je 3,141 592 65.

Pri výpočte obsahu a obvodu kruhu dávame dobrý pozor na to, či vychádzame zo znalosti polomeru alebo priemeru. Zámena priemeru za polomer je častou chybou.

Intuícia

Základnú intuíciu za vzorcami na výpočet obsahu a obvodu kruhu približuje nižšie uvedený obrázok. Žlté štvorce majú obsah r^2. Oranžový štvorec sa skladá zo štyroch žltých štvorcov, takže má obsah 4\cdot r^2. Kruh má „o trochu menší“ obsah než oranžový štvorec, čo zodpovedá tomu, že obsah kruhu je približne 3{,}14 \cdot r^2. Obvod oranžového štvorca je 8\cdot r. Obvod kruhu je zase „o trochu menší“ – je to 2\pi \cdot r \approx 6{,}3 \cdot r.

Príklady

• Majme kruh s polomerom 3 cm. Jeho obvod je 2\pi \cdot 3 \approx 2 \cdot 3{,}14 \cdot 3 \approx 18{,}8 cm. Jeho obsah je \pi \cdot 3^2 \approx 3{,}14\cdot 9 \approx 28,3 cm².
• Kružnica s priemerom 2 cm má obvod \pi \cdot 2 \approx 6,3 cm. Jej vnútro má obsah \frac{1}{4} \pi \cdot 2^2 = \pi \approx 3,14 cm².
• Stredový kruh na futbalovom ihrisku má polomer 9{,}1 metru. Ak ho chceme obísť po jeho okrajovej čiare, prejdeme 2 \pi \cdot 9{,}1 \approx 57 metrov. Ak by sme chceli všetku trávu v kruhu nafarbiť na ružovo, museli by sme nafarbiť \pi \cdot 9{,}1^2 \approx 260 m² trávy.

Obsah kruhového výseku

Obsah kruhového výseku so stredovým uhlom \alpha a polomerom r vypočítame ako: \frac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot \pi \cdot r^2

Dĺžka oblúka

Podobne, dĺžku oblúka, ktorý na kružnici s polomerom r a zodpovedá stredovému uhlu \alpha vypočítame ako: \frac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot 2 \pi \cdot r

Príklady

• Kruhový výsek na obrázku má obsah: \frac{150^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot \pi \cdot 3^2 = \frac{5}{12} \cdot \pi \cdot 9 = \frac{15}{4} \pi

• Obsah celého kruhu (výseku so stredovým uhlom 360^{\circ}) je: \frac{360^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot \pi \cdot r^2 = \pi \cdot r^2
• Dĺžka oblúka na obrázku je: \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 2\pi \cdot 3 = \frac{1}{4} \cdot 6 \pi = \frac{3}{2}\pi

• Dĺžka celej kružnice (teda pre celých 360^{\circ}) je: \frac{360^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 2\pi \cdot r = 2\pi \cdot r

Objem telesa vyjadruje, koľko miesta v priestore teleso zaberá. Môžeme si ho predstaviť ako množstvo vody, ktoré by sme potrebovali, keby sme chceli teleso „napustiť“. Na vyjadrenie objemu využívame jednotky objemu.

Povrch telesa je súčet obsahov všetkých plôch, ktoré teleso ohraničujú. Môžeme si ho predstaviť ako veľkosť farebného papiera, ktorý potrebujeme na „polepenie“ telesa. Na vyjadrenie povrchu využívame jednotky obsahu.

Značenie vo vzorcoch

Vzorce

Objem kvádra s dĺžkami hrán a,b,c je: V=a\cdot b\cdot c

Objem kocky s dĺžkou hrany podstavy a vypočítame rovnakým spôsobom, ako objem kvádra s a=b=c, tedy: V=a\cdot a\cdot a=a^3

Objem hranola, ktorý má podstavu s obsahom S_p a výšku v, spočítame ako V=S_p \cdot v.

Objem ihlanu, ktorý má podstavu s obsahom S_p a výšku v, vypočítame ako V=\frac{1}{3} S_p \cdot v.

Oproti hranolu s rovnakou výškou a tvarom podstavy má ihlan trikrát menší objem.

Vzorce pre objem „hranatých“ telies vychádzajú z obsahu podstavy a výšky telesa.

Objem ľubovoľného hranola je súčin obsahu podstavy a výšky: V=S_p\cdot v.

Kváder a kocka sú špeciálne prípady hranola, ktorých podstava je obdĺžnik (štvorec) a výška je zvyšná hrana. Objem kvádra je teda súčin dĺžok jeho hrán: V = abc. Objem kocky vypočítame rovnakým spôsobom. Keďže sú v kocke všetky hrany rovnako dlhé, výraz sa zjednoduší na V = a^3.

Objem ihlanu je jedna tretina súčinu obsahu podstavy a výšky, teda V=\frac{1}{3}S_p\cdot v. Pre pravidelný štvorboký ihlan potom teda V=\frac{1}{3} a^2v.

Príklady:

• Kocka s hranou 4 m má objem V = 4^3 = 64 m³.
• Kváder s hranami 3, 6 a 10 cm má objem V = 3\cdot 6 \cdot 10 = 180 cm³.
• Pravidelný štvorboký ihlan s podstavou s hranou 6 cm a výškou 4 cm má objem V=\frac{1}{3} 6^2 \cdot 4 = 48 cm³.

Objem valca s polomerom podstavy r a výškou v vypočítame ako: V=\pi \cdot r^2 \cdot v

Platí V=S_p \cdot v, kde S_p je obsah podstavy valca. Podstava valca má tvar kruhu s polomerom r, takže máme: S_p = \pi \cdot r^2

Objem kužeľa s polomerom podstavy r a výškou v vypočítame ako: V=\frac{1}{3} \pi \cdot r^2 \cdot v

Pre kužeľ platí V=\frac{1}{3} S_p \cdot v, kde S_p je obsah podstavy valca. Podstava valca má tvar kruhu s polomerom r, takže máme: S_p = \pi \cdot r^2

Oproti valcu s rovnakou výškou a polomerom podstavy má kužeľ trikrát menší objem.

Objem gule s polomerom r vypočítame takto: V=\frac{4}{3} \pi \cdot r^3

Objem „guľatých“ telies vypočítame s využitím konštanty \pi \approx 3{,}14 159 265. Vo vzorcoch označuje r polomer (gule či podstavy) a v výšku valca.

• Objem gule je V = \frac43 \pi r^3.
• Objem valca je obsah (kruhovej) podstavy vynásobený výškou, teda V = S_p \cdot v = \pi r^2 v.
• Objem kužeľa je jedna tretina obsahu podstavy vynásobeného výškou, teda V = \frac13 S_p \cdot v = \frac13 \pi r^2 v.

Povrch kvádra s dĺžkami hrán a,b,c vypočítame ako súčet obsahov všetkých jeho stien. Teda: S=2 (a\cdot b + a\cdot c + b \cdot c)

Povrch kocky s dĺžkou hrany podstavy a vypočítame rovnakým spôsobom ako objem kvádra s a=b=c, teda šesťkrát obsah jednej štvorcovej steny kocky: S = 6\cdot a\cdot a = 6a^2

Povrch hranola, ktorý má podstavu s obsahom S_p a plášť s obsahom S_{pl}, vypočítame ako S=2S_p + S_{pl}. Plášť hranola je tvorený všetkými jeho stenami okrem dvoch podstáv.

Povrch pravidelného n‑bokého hranola, ktorý má dve podstavy v tvare pravidelných n‑uholníkov a potom n rovnakých obdĺžnikových stien (obsah jednej označme S_1), vypočítame takto: S=2S_p + n\cdot S_1

Povrch ihlanu vypočítame ako súčet obsahu jeho podstavy S_p a obsahu jeho plášťa S_{pl}. Obsah plášťa vypočítame ako súčet obsahov stien ihlanu, ktoré tvoria plášť (teda všetky steny ihlanu okrem jeho podstavy).

Povrch pravidelného n‑bokého ihlanu, ktorý má podstavu v tvare pravidelného n‑uholníka a potom n rovnakých trojuholníkových stien (obsah jednej označme S_1), vypočítame takto: S= S_p + n\cdot S_1

Povrch „hranatých“ telies je jednoducho súčet obsahov jednotlivých strán.

Hranol má dve rovnaké podstavy a plášť, povrch je teda S=2\cdot S_p+S_{pl}. Ihlan má jednu podstavu a plášť, povrch je teda S=S_p+S_{pl}.

Steny kvádra sú obdĺžniky, pričom sú vždy dve rovnako veľké. Povrch teda vypočítame ako S = 2(ab+ac+bc).

Kocka má šesť stien a všetky sú tvorené rovnakým štvorcom. Povrch je S=6a^2.

Povrch valca s polomerom podstavy r a výškou v vypočítame ako: S = 2\pi r \cdot(r + v)

Platí S=2S_p + S_{pl}, kde S_p je obsah podstavy valca a S_{pl} obsah plášťa valca. Podstava valca má tvar kruhu s polomerom r a plášť valca je obdĺžnik so stranami v a 2\pi r. Celkovo máme:

• Obsah podstavy: S_p = \pi \cdot r^2
• Obsah plášťa: S_{pl}=2\pi r \cdot v
• Povrch valca: S=2\pi r \cdot (r + v)

Môže sa stať, že poznáme polomer r podstavy kužeľa a jeho výšku v, ale nemáme zadanú jeho stranu s. Potom si stranu môžeme dopočítať ako preponu pravouhlého trojuholníka s odvesnami s dĺžkami v a r. Platí: s=\sqrt{v^2+r^2}

• Obsah podstavy kužeľa: \pi r^2
• Obsah plášťa kužeľa: \frac{1}{2} \cdot 2 \pi r \cdot s = \pi r s

Povrch gule s polomerom r vypočítame takto: S=4 \pi \cdot r^2

Povrch „guľatých“ telies vypočítame s využitím konštanty \pi \approx 3{,}14 159 265. Vo vzorcoch označuje r polomer (gule či podstavy), v výšku valca, s stranu kužeľa.

• Povrch gule je S = 4\pi r^2.
• Povrch valca sa skladá z podstavy (dvakrát) a plášťa: S = 2\cdot \pi r^2 + 2\pi r v = 2\pi r (r+v).
• Povrch kužeľa sa skladá z podstavy a plášťa: S = \pi r^2 + \pi rs= \pi r(r+s).

Uhol je časť roviny vymedzená dvomi polpriamkami. Veľkosť uhla meriame najčastejšie v stupňoch, pričom plný uhol má veľkosť 360°. Uhly využívame v mnohých oblastiach geometrie a majú bohaté praktické využitie vo fyzike, navigácii (azimuty) a v podstate kdekoľvek, kde sa niečo stavia.

Pri práci s uhlami je prvý krok základné rozpoznávanie uhlov – potrebujeme získať základnú predstavu o uhloch a schopnosť odhadnúť veľkosť uhlu podľa obrázka. Ďalší krok je potom znalosť pojmov súvisiacich s uhlami, medzi ktoré patrí napríklad uhol ostrý, tupý, pravý, plný, vrcholový alebo striedavý.

Na získanie zbehlosti v práci s uhlami môže poslúžiť atraktívne cvičenie Korytnačia grafika na Vieme informatiku.

Keď zvládneme základy práce s uhlami, môžeme sa pustiť do práce s uhlami v rovinových objektoch:

• Uhly v trojuholníku
• Uhly v štvoruholníku
• Uhly a mnohouholníky
• Uhly a kružnice

Plný uhol je 360°. Často používané uhly ukazuje obrázok:

Špeciálne prípady:

• V rovnostrannom trojuholníku majú všetky vnútorné uhly veľkosť 60°.
• V rovnoramennom trojuholníku sú oba uhly pri základni rovnaké.
• V pravouhlom trojuholníku je veľkosť jedného uhla 90°, súčet veľkostí zvyšných dvoch uhlov je tiež 90°.

Pri výpočte je možné využiť aj vrcholových a vedľajších uhlov.

Príklad: Určite veľkosť oranžového uhla.

Uhol s vrcholom B tvorí s uhlom s veľkosťou 30° dvojicu vrcholových uhlov. Jeho veľkosť je teda 30°. Uhol pri vrchole A tvorí s uhlom s veľkosťou 100° dvojicu vedľajších uhlov. Jeho veľkosť je teda 180°-100°=80°. Pre veľkosť neznámeho uhla pri vrchole C potom platí: 180°-80°-30°=70°

Štvorec, obdĺžnik

• V štvorci aj obdĺžniku je veľkosť všetkých vnútorných uhlov 90°.
• V štvorci zvierajú uhlopriečky uhol s veľkosťou 90°.

Rovnobežník

• Protiľahlé uhly majú rovnakú veľkosť.
• Súčet veľkostí susedných uhlov je 180°.
• Špeciálnym prípadom rovnobežníka je kosoštvorec, ktorého uhlopriečky zvierajú pravý uhol.

Lichobežník

• Súčet veľkostí vnútorných uhlov pri ramenách je 180°.
• V rovnoramennom lichobežníku sú uhly pri základniach zhodné.

Pri výpočte neznámeho uhla môžeme tiež daný štvoruholník rozdeliť na niekoľko trojuholníkov a tiež je možné využiť aj vrcholové a vedľajšie uhly.

Príklad: Určite veľkosť oranžového uhla v rovnobežníku ABCD.

V rovnobežníku majú protiľahlé uhly rovnakú veľkosť, uhol ADC má teda veľkosť 115°. Uhol ADC tvorí s neznámym uhlom dvojicu vedľajších uhlov. Veľkosť neznámeho uhla je teda 180°-115°=65°.

Súčet vnútorných uhlov vo všeobecnom mnohouholníku s n stranami (teda n-uholníku) je 180^\circ\cdot(n-2). Napríklad v päťuholníku je súčet vnútorných uhlov 180^\circ(5-2)=540^\circ. Každý vnútorný uhol potom môže mať inú veľkosť.

Pravidelné mnohouholníky

• Každý vnútorný uhol v pravidelnom mnohouholníku s n vrcholmi má veľkosť 180^\circ\cdot\frac{n-2}{n}. Napríklad v pravidelnom osemuholníku má každý vnútorný uhol veľkosť 180^\circ\cdot\frac{8-2}{6}=135^\circ.
• Veľkosť stredového uhla pravidelného n-uholníka je \frac{360^\circ}{n}. Napríklad v pravidelnom osemuholníku má každý stredový uhol veľkosť \frac{360^\circ}{8}=45^\circ.

Pri výpočte neznámeho uhla v mnohouholníku je možné využiť aj vrcholových a vedľajších uhlov.

Príklad: Určite veľkosť oranžového uhla v pravidelnom šesťuholníku ABCDEF.

V pravidelnom šesťuholníku má každý uhol rovnakú veľkosť, a to 180^\circ\cdot\frac{6-2}{6}=120^\circ. Uhol ABC má teda veľkosť 120^\circ. Trojuholník ABC je rovnoramenný, uhly pri vrcholoch A a C sú potom zhodné. Ich veľkosť je (180^\circ-120^\circ):2=30^\circ.

Stredový uhol

• Uhol s vrcholom v strede S kružnice k, ktorého ramená prechádzajú krajnými bodmi A, B oblúka kružnice k.
• Pre každé dva body na kružnici je možné určiť dva stredové uhly. Každý prináleží tomu oblúku, ktorý v danom uhle leží.

Obvodový uhol

• Uhol, ktorého vrchol V leží na kružnici k a jeho ramená prechádzajú bodmi A, B oblúka kružnice k (A \neq V \neq B)
• Všetky obvodové uhly prináležiace oblúku AB s vrcholom V, ktorý na oblúku neleží, majú rovnakú veľkosť.
• Veľkosť stredového uhla \omega sa rovná dvojnásobku veľkosti obvodového uhla \varphi príslušného k rovnakému oblúku, \omega = 2\cdot\varphi.
• Tálesova veta: Obvodový uhol nad priemerom kružnice je pravý.

Úsekový uhol

• Uhol, ktorý zviera tetiva AB kružnice k s dotyčnicou t kružnice v bode A alebo B.
• Veľkosť úsekového uhla je rovnaká ako veľkosť obvodového uhla nad oblúkom AB.

Príklad 1: Určite veľkosť oranžového uhla.

Uhol s veľkosťou 55^\circ je úsekový uhol prináležiaci tetive AB. Vieme, že veľkosti úsekového a príslušného obvodového uhla sú rovnaké, teda 55^\circ. Neznámy uhol je stredový uhol prináležiaci menšiemu oblúku AB. Jeho veľkosť je dvojnásobkom veľkosti obvodového uhla, teda 2\cdot55^\circ=110^\circ.

Príklad 2: Určite veľkosť oranžového uhla.

Neznámy uhol je obvodovým uhlom nad menším oblúkom s koncovými bodmi 2 a 7. Určíme veľkosť príslušného stredového uhla. Z kapitoly uhly a mnohouholníky vieme, že veľkosť stredového uhla pravidelného n-uholníka je \frac{360^\circ}{n}. Pre pravidelný dvanásťuholník je teda uhol medzi spojnicami dvoch vedľajších vrcholov a stredu \frac{360^\circ}{12}=30^\circ. Stredový uhol príslušný oblúku 2 a 7 je potom 5\cdot30^\circ=150^\circ. Hľadaný obvodový uhol má polovičnú veľkosť, teda 150^\circ:2=75^\circ.

Ako konštrukčnú úlohu chápeme takú, v ktorej chceme zostrojiť určitý geometrický útvar (aspoň jeden, prípadne všetky) spĺňajúci dané podmienky. Inými slovami, pomocou pravítka, kružidla a prípadne aj uhlomeru zostrojíme geometrický útvar (trojuholník, obdĺžnik atď.), pre ktorý poznáme dĺžky jeho strán, veľkosti uhlov či iné vlastnosti.

Pred rysovaním je dobré si ujasniť:

• body značíme veľkými písmenami, napr. bod A
• priamky značíme malými písmenami, napr. priamka p

Riešenie konštrukčnej úlohy sa väčšinou skladá z niekoľkých krokov.

Náčrtok: Od ruky si nakreslíme obrázok hľadaného útvaru so všetkým, čo poznáme zo zadania. To nám pomôže predstaviť si výsledok. V rámci prehľadnosti si môžeme jednotlivé prvky vyznačiť farebne. Nezabudnite, náčrtky robíme veľké a prehľadné, aby sme v nich všetko pekne videli.

Popis konštrukcie: Popis jednotlivých krokov, ktoré musíme urobiť, aby sme dospeli k výsledku. Popis píšeme preto, aby každý mohol náš postup zopakovať. Z výsledného obrázku to nie je vždy ľahko možné. Pre zápis konštrukcie používame geometrické značenie. Popis konštrukcie väčšinou riešime až vo vyšších ročníkoch.

Konštrukcia: Je rysovanie príkladu.

Skúška správnosti: Mali by sme si overiť, či obrázok skutočne spĺňa všetky podmienky zo zadania.

Počet riešení (diskusia): Zistíme počet výsledkov, ktoré vyhovujú zadaniu úlohy. Nie vždy musíme všetky výsledky narysovať.

Ďalej využívame pre zápis geometrických konštrukcií množinové operácie, predovšetkým prienik (\cap) a zjednotenie (\cup).

Polpriamka je časť priamky, ktorá vznikne rozdelením priamky jedným jej bodom. Tento bod sa nazýva počiatočný. Polpriamku s počiatočným bodom A prechádzajúcu bodom B značíme \mapsto AB. Každý bod rozdeľuje priamku na dve opačné polpriamky so spoločným počiatočným bodom.

Základné vlastnosti * Zjednotením dvoch opačných polpriamok je priamka. * Prienikom dvoch opačných polpriamok je bod. * Prienikom polpriamok \mapsto AB a \mapsto BA je úsečka AB.

Polrovina je časť roviny, ktorá vznikne rozdelením roviny jednou priamkou. Táto priamka sa nazýva hraničná. Polrovinu s hraničnou priamkou p prechádzajúcu bodom K značíme \mapsto pK. Ak je priamka p určená bodmi A, B, môžeme tiež písať \mapsto ABK. Každá priamka rozdeľuje rovinu na dve opačné polroviny so spoločnou hraničnou priamkou.

Základné vlastnosti * Zjednotením dvoch opačných polrovín je rovina. * Prienikom dvoch opačných polrovín je hraničná priamka. * Prienikom dvoch polrovín s rovnobežnými hraničnými priamkami je pás rovnobežiek.

Pre zápis geometrických konštrukcií používame množinové operácie, hlavne prienik (\cap) a zjednotenie (\cup).

Príklad: Rozhodnite, čo je prienikom polpriamky CA a polroviny ABC.

Polrovina ABC je určená hraničnou priamkou AB a bodom C. Polpriamka CA má počiatočný bod C a prechádza bodom A. Prienikom je potom úsečka AC. Matematicky by sme úlohu zapísali: AC = \mapsto ABC \cap \mapsto CA.

Rovnobežky sú dve priamky ležiace v rovnakej rovine, ktoré sa nikde nepretínajú. Rovnobežnosť priamok p a q zapisujeme p \parallel q.

Kolmica je priamka, ktorá pretína inú priamku a zviera s ňou uhol 90°. Kolmosť priamok p a q zapisujeme p \perp q.

Dve priamky, ktoré sú kolmé na nejakú tretiu priamku a súčasne obe ležia v jednej rovine, sú rovnobežky.

Pri riešení jednoduchších úloh zostrojujeme trojuholníky, pre ktoré poznáme dĺžky strán. Nesmieme pritom zabúdať, že platí tzv. trojuholníková nerovnosť, teda že súčet dvoch strán je väčší než tretia strana. Jednoducho povedané, ak je súčet dvoch najkratších strán väčší než tretia strana, trojuholník sa dá zostrojiť.

Pri zložitejších príkladoch využívame vety o zostrojiteľnosti trojuholníkov (kde s značí stranu a u uhol):

• Veta sss — v trojuholníku sú dané dĺžky všetkých strán, platí trojuholníková nerovnosť.
• Veta sus — v trojuholníku sú dané dĺžky dvoch strán a veľkosť uhla, ktorý zvierajú (menší než 180°).
• Veta usu — v trojuholníku je daná dĺžka jednej strany a veľkosti 2 uhlov k nej priliehajúcich (súčet veľkostí daných uhlov je menší než 180°).

Tieto vety tiež používame pri určení zhodnosti trojuholníkov.

Pri najťažších príkladoch využívame pri konštrukcii ďalšie pojmy súvisiace s trojuholníkom, napríklad výška, ťažnica, či množiny bodov daných vlastností.

Pri riešení zložitejších konštrukčných úloh budeme využívať aj množiny bodov daných vlastností. Pripomeňme si tie najdôležitejšie.

Základná intuitívna predstava pre jednotlivé operácie a vlastnosti:

• Osová súmernosť: robíme „zrkadlový“ obraz útvaru podľa priamky.
• Stredová súmernosť: preklápame útvar podľa bodu.
• Rotácia: otočíme útvar okolo určitého bodu o nejaký uhol.
• Zhodnosť: dva útvary sú zhodné, ak „majú rovnaký tvar a veľkosť“ (môžu sa líšiť natočením a umiestnením).
• Podobnosť: dva útvary sú podobné, ak „majú rovnaký tvar“ (môžu sa líšiť veľkosťou, natočením a umiestením).

Téma určenie zobrazení v rovine sa potom zaoberá rozlišovaním medzi jednotlivými zobrazeniami.

Osová súmernosť je daná priamkou o a priraďuje každému bodu X mimo os taký bod X', že priamka o je osou úsečky XX'. Inými slovami: obraz má od osi rovnakú vzdialenosť ako pôvodný bod a spojnica bodov je kolmá na os. Osová súmernosť zachováva vzdialenosti aj uhly, ide teda o druh zhodnosti.

Príklady

Modré a oranžové útvary sú vzájomne osovo súmerné podľa osi o:

Pre lepšie pochopenie môže byť užitočné porovnať osovú a stredovú súmernosť.

Osovo súmerný útvar

Útvar označujeme za osovo súmerný, ak je v nejakej osovej súmernosti obrazom seba samého. Os tejto súmernosti potom nazývame osou útvaru. Obrázok uvádza príklady útvarov osovo súmerných (zelené, s vyznačenými osami súmernosti) aj tých nesúmerných (červené):

Ďalšie príklady:

• Úsečka je osovo súmerná a má v rovine jedinú os súmernosti (kolmicu v jej strede).
• Rovnoramenný trojuholník je osovo súmerný.
• Trojuholník, ktorý nie je rovnoramenný, nie je osovo súmerný.
• Všetky pravidelné mnohouholníky sú osovo súmerné. Počet osí súmernosti je rovný počtu vrcholov mnohouholníka.
• Kruh je osovo súmerný a má nekonečne veľa osí súmernosti.

Stredová súmernosť je daná bodom S a priraďuje každému bodu X taký bod X', že bod S je stredom úsečky XX'. Inými slovami: obraz má od stredu rovnakú vzdialenosť ako pôvodný bod a leží na polpriamke opačnej k SX.

Stredová súmernosť zachováva vzdialenosti aj uhly, ide teda o druh zhodnosti. Stredová súmernosť so stredom v bode S je zhodná s otočením o 180 stupňov podľa stredu S.

Príklady

Modré a oranžové útvary sú vzájomne stredovo súmerné podľa stredu S:

Pre lepšie pochopenie môže byť užitočné porovnať stredovú a osovú súmernosť.

Stredovo súmerný útvar

Útvar označujeme za stredovo súmerný, ak je v nejakej stredovej súmernosti obrazom seba samého. Stred tejto stredovej súmernosti potom nazývame stredom súmernosti objektu. Obrázok uvádza príklady útvarov stredovo súmerných (zelené, s vyznačeným stredom súmernosti) aj tých nesúmerných (červené):

Ďalšie príklady:

• Úsečka, obdĺžnik, štvorec, kosoštvorec, pravidelný šesťuholník a kruh sú stredovo súmerné.

• Žiadny trojuholník nie je stredovo súmerný.

Dva geometrické útvary sú si podobné, ak majú oba rovnaký tvar (bez ohľadu na veľkosť). Na nasledujúcom obrázku majú podobné útvary rovnakú farbu:

Presnejšie povedané, útvary sú podobné, ak jeden môžeme získať z druhého kombináciou rovnomerného zmenšenia alebo zväčšenia a následným posunutím, otočením alebo preklopením.

Podobnosť zachováva veľkosť uhlov a pomer dĺžok.

Pomer dĺžok zodpovedajúcich úsečiek v oboch útvaroch sa nazýva koeficient podobnosti.

Otočenie (rotácia) je dané bodom S a orientovaným uhlom \alpha. Bod S sa nazýva stred otočenia. Pojem orientovaný uhol znamená, že rozlišujeme, či otáčame proti smeru hodinových ručičiek (kladný smer) alebo po smere hodinových ručičiek (záporný smer). Obrazom bodu X je bod X', ktorý má rovnakú vzdialenosť od stredu S ako bod X a uhol XSX' má veľkosť \alpha.

Príklady

Bod X je otočený okolo stredu S o 90^\circ proti smeru hodinových ručičiek.

Bod Y je otočený okolo stredu S o 90^\circ v smere hodinových ručičiek, teda o uhol \alpha=-45^\circ

Trojuholník ABC je otočený okolo stredu S o 60^\circ v smere hodinových ručičiek.

Otočenie zachováva vzdialenosti aj uhly, ide teda o druh zhodnosti.

Analytická geometria nám dovoľuje zapísať geometrické problémy algebraicky a vyriešiť ich pomocou rovníc.

Najjednoduchšie objekty popísateľné analyticky sú body, úsečky a vektory v rovine alebo v priestore. Keď už dokážeme manipulovať s vektormi, môžeme ich použiť napríklad k popisu priamky alebo roviny.

V prípade priamok a rovín stále ešte ide o objekty popísateľné lineárnymi rovnicami alebo sústavami lineárnych rovníc. Ak sa začneme zaoberať aj kvadratickými rovnicami, dokážeme popísať aj kužeľosečky v rovine, napríklad kružnicu, elipsu, parabolu a hyperbolu.

Dva významné typy problémov, ktoré riešime v rámci analytickej geometrie sú polohové úlohy, v ktorých vyšetrujeme vzájomnú polohu geometrických objektov, a metrické úlohy, v ktorých počítame konkrétnu číselnú hodnotu výsledku, ako je napr. vzdialenosť dvoch bodov alebo uhol zvieraný dvomi pretínajúcimi sa priamkami.

Ak sa zaoberáme bodmi v rovine alebo v priestore, kde máme zavedenú kartézsku sústavu súradníc (v rovine s dvomi osami x,y alebo v priestore s tromi osami x,y,z), môžeme body popísať číselne súradnicami v rovine, prípadne súradnicami v priestore.

Pomocou súradníc potom dokážeme vypočítať vzdialenosť dvoch bodov „vzdušnou čiarou“ – dĺžku úsečky v rovine, prípadne v priestore.

Súradnice bodov väčšinou zapisujeme pomocou kartézskej sústavy súradníc v rovine, ktorá má ako osi dve kolmé priamky. Vodorovná priamka sa tradične označuje x a súradnica pozdĺž tejto osi sa zapisuje prvá. Zvislá priamka sa tradične označuje y a súradnica pozdĺž tejto osi sa zapisuje druhá. Priamky x, y sa pretínajú v bode [0;0].

Priamky x a y sú súradné osi, bod [0;0] je počiatok sústavy súradníc.

Príklad: Súradnice bodu A

Bod A na obrázku je v danej sústave súradníc určený ako x=1, y=2, čo môžeme zapísať ako A[1;2].

Ďalšie príklady súradníc bodov

Kartézska sústava súradníc v rovine je daná trojicou navzájom kolmých číselných os x,y,z, ktoré sa pretínajú v bode [0;0;0].

Priamky x,y,z sú súradné osi v priestore, bod [0;0;0] je počiatok sústavy súradníc.

Príklad: Súradnice bodu A

Bod A na obrázku je v danej sústave súradníc určený ako x=4, y=2, z=3, čo môžeme zapísať ako A[4;2;3].

Vzdialenosť dvoch bodov v rovine môžeme vypočítať, keď poznáme ich súradnice.

Ak sú dané súradnice A=[a_x,a_y], B=[b_x,b_y], je vzdialenosť bodu A od bodu B:

|AB| = \sqrt{(b_x-a_x)^2 + (b_y-a_y)^2}

Vzorec vychádza z Pytagorovej vety. Všimnime si pravouhlého trojuholníka s dĺžkami odvesien (b_x-a_x) a (b_y-a_y), ktorého prepona má dĺžku |AB|.

Vzdialenosť dvoch bodov v priestore vypočítame podobne ako v rovine pomocou ich súradníc. Ak máme súradnice bodov A=[a_x,a_y,a_z], B=[b_x,b_y,b_z], môžeme ich vzdialenosť určiť takto:

|AB| = \sqrt{(b_x-a_x)^2 + (b_y-a_y)^2 + (b_z-a_z)^2}

Podobným spôsobom (dvakrát po sebe použijeme Pytagorovu vetu) počítame dĺžku telesovej uhlopriečky kvádra.

Úsečka je časť priamky medzi dvomi krajnými bodmi (vrátane týchto bodov). Úsečka je v rovine aj v priestore jednoznačne zadaná svojimi krajnými bodmi.

Dĺžku úsečky v rovine vypočítame rovnako ako vzdialenosť bodov v rovine.

Ak sú dané súradnice A[x_A; y_A], B[x_B; y_B], je dĺžka úsečky AB:

|AB| = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}

Vzorec vychádza z Pytagorovej vety.

Stred úsečky delí úsečku na dve rovnaké časti. Ak ležia krajné body úsečky AB na číselnej osi a ich polohám zodpovedajú hodnoty a a b, potom jej stredu S zodpovedá číslo s=\frac{a+b}{2}. Stred úsečky je „priemerom“ jej krajných bodov.

Pre úsečku v rovine bude situácia nasledujúca. Situácia na oboch súradných osách je rovnaká ako predtým. Vypočítame obe súradnice stredu ako priemery zodpovedajúcich súradníc krajných bodov.

Pre stred S[s_1;s_2] úsečky AB, kde A[x_A; y_A], B[x_B; y_B] platí:

s_1 = \frac{x_A+x_B}{2}, s_2 = \frac{y_A+y_B}{2}

Dve úsečky v rovine môžu mať spoločné krajné body, potom hovoríme, že sú totožné. Ak sa úsečky pretínajú v jednom bode, hovoríme, že sú rôznobežné. Úsečky sa tiež nemusia pretínať, nemajú teda žiadny spoločný bod. Špeciálne môžu v tomto prípade byť rovnobežné.

Dĺžku úsečky v priestore vypočítame rovnako ako vzdialenosť bodov v priestore.

Ak sú dané súradnice A[x_A; y_A;z_A], B[x_B; y_B;z_B], je dĺžka úsečky AB:

|AB| = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}

Stred úsečky v priestore vypočítame podobne ako stred úsečky v rovine. Vypočítame všetky súradnice stredu ako priemery zodpovedajúcich súradníc krajných bodov.

Pre stred S[s_1;s_2;s_3] úsečky AB, kde A[x_A; y_A;z_A], B[x_B; y_B;z_B] platí:

s_1 = \frac{x_A+x_B}{2}, s_2 = \frac{y_A+y_B}{2} , s_3 = \frac{z_A+z_B}{2}

Podobne ako v rovine môžu mať dve úsečky spoločné krajné body, potom hovoríme, že sú totožné. Ak sa úsečky pretínajú v jednom bode, hovoríme, že sú rôznobežné. Úsečky sa tiež nemusia pretínať, nemajú teda žiadny spoločný bod. Špeciálne môžu v tomto prípade byť rovnobežné.

Vektor je množina všetkých zhodne orientovaných úsečiek, ktoré majú rovnakú dĺžku. Každú z týchto úsečiek nazývame umiestnením vektora.

Vektor je určený počiatočným a koncovým bodom, graficky znázorňujeme so šípkou pri koncovom bode, zapisujeme: \vec{u}=\overrightarrow{AB}

Na obrázku je A počiatočný bod vektora \vec{u}, B je koncový bod vektora \vec{u}.

Opačné vektory sú vektory, ktoré majú rovnakú dĺžku a opačnú orientáciu:

Kolineárne vektory sú vektory, ktoré môžeme umiestniť na jednu priamku. Teda nemusia mať rovnakú dĺžku, môžu mať rovnakú alebo opačnú orientáciu:

Kolmé vektory sú vektory, ktoré zvierajú pravý uhol:

Súradnice vektora sú pravouhlé priemety vektora do súradných osí, teda vektor \vec{u}=\overrightarrow{AB} má súradnice: \vec{u}=(u_1;u_2)=(b_1-a_1;b_2-a_2)

Veľkosť vektora \vec {u}=\overrightarrow{AB} je dĺžka úsečky AB, značíme \left| \vec{u} \right| a platí: \left| \vec{u} \right|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}

Jednotkový vektor má dĺžku 1.

Nulový vektor má nulovú dĺžku, teda splýva jeho počiatočný a koncový bod.

Už vieme, že vektor je množina nekonečne veľa orientovaných úsečiek, jedna z nich má počiatok v počiatku súradného systému, v bode O=[0;0]. Súradnice koncového bodu sú súradnice daného vektora.

Všimnite si, že súradnice vektora \overrightarrow{AB} sme získali odčítaním súradníc bodu A od súradníc bodu B

Pre súradnice vektora \overrightarrow{AB} určeného bodmi A=[a_1;a_2], B=[b_1;b_2] platí: \overrightarrow{AB}=B-A=(b_1-a_1;b_2-a_2)

Veľkosť vektora \overrightarrow{AB} je dĺžka úsečky AB. Vektor, ktorý má dĺžku 1, sa nazýva jednotkový vektor:

Vektor, ktorý má nulovú dĺžku (počiatočný a koncový bod vektora splýva) sa nazýva nulový vektor:

Veľkosť vektora \vec{u}=(u_1;u_2) určíme s využitím Pytagorovej vety: \left| \vec{u} \right|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}

Vo vyfarbenom trojuholníku je dĺžka vektora prepona, odvesny majú dĺžky u_1 a u_2.

Opačné vektory sú vektory, ktoré majú rovnakú dĺžku a opačnú orientáciu. K vektoru \vec{u}=(u_1;u_2) je opačný vektor \vec{v}=(-u_1;-u_2)

Kolineárne vektory sú vektory, ktoré môžeme umiestniť na jednu priamku. S vektorom \vec{u}=(u_1;u_2) je kolineárny každý vektor \vec{v}=(k\cdot u_1;k \cdot u_2), kde k je reálne nenulové číslo. Pre k > 0 majú vektory rovnaký smer, pre k < 0 majú vektory opačný smer.

Kolmé vektory sú vektory, ktoré zvierajú pravý uhol Na vektor \vec{u}=(u_1;u_2) je kolmý každý vektor \vec{v}=(-k\cdot u_2;k \cdot u_1), kde k je reálne nenulové číslo.

Vektory v rovine môžu byť zapísané ako dvojice čísel – súradníc v rovine, podobne trojrozmerné vektory je možné zapísať ako trojice čísel – súradníc v priestore.

Operácie ako súčet, rozdiel a vynásobenie reálnym číslom, ktoré vieme jednoducho vykonávať s číslami, je možné s vektormi vykonávať po jednotlivých súradniciach. Tým sa zaoberá kapitolka Vektory: násobenie konštantou, súčet, rozdiel. Príklady praktického použitia týchto operácií s vektormi:

• vrabec letí rovnakým smerom ako mucha a dvakrát rýchlejšie než mucha – vektor rýchlosti vrabca získame, keď vektor rýchlosti muchy vynásobíme konštantou 2,
• satelitné snímky ukazujú, že ráno ešte vozidlo Marka Watneyho stálo na marsovskej základni, za dnes prekonal 50 km na východ – jeho novú polohu získame, keď k súradniciam základne pripočítame vektor (50;0),
• slimák preliezol rovno po monitore z ľavého horného rohu (súradnice v pixeloch [0;0]) do bodu [1007;555] – vektor, ktorého súradnice sú počty pixelov, ktoré slimák prekonal v horizontálnom a vertikálnom smere, získame ako rozdiel jeho umiestnenia na konci pohybu a jeho umiestnenia na začiatku pohybu.

Špeciálna operácia, ktorú je možné vykonať s dvomi vektormi rovnakej dimenzie (majú rovnaký počet súradníc), je skalárny súčin. Vstup tejto operácie sú dva vektory, výstup je reálne číslo.

Vďaka skalárnemu súčinu môžeme vypočítať napríklad aký uhol vektory zvierajú, špeciálne či sú na seba kolmé (v takom prípade ich skalárny súčin vyjde nulový).

Súčet vektorov

Vektory \vec{u} a \vec{v} sčítame takto: počiatočný bod vektora \vec{v} posunieme do koncového bodu vektora \vec{u}. Súčet vektorov \vec{u} a \vec{v} je vektor \vec{w}, ktorý má počiatočný bod rovnaký ako vektor \vec{u} a koncový bod rovnaký ako vektor \vec{v}. Píšeme: \vec{u}+\vec{v}=\vec{w}

Vektory na obrázku sú označené \vec{u}=\overrightarrow{AB}, \vec{v}=\overrightarrow{BC}. Súčet týchto vektorov: \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}

Majme vektory so súradnicami \vec{u}=(u_1;u_2), \vec{v}=(v_1;v_2). Potom súčet vektorov \vec{u} a \vec{v} je vektor \vec{w} so súradnicami \vec{w}=(u_1+v_1; u_2+v_2).

Rozdiel vektorov

Rozdiel vektorov \vec{u} a \vec{v} je súčet vektora \vec{u} s vektorom opačným k \vec{v}. Teda:

\vec{u}-\vec{v}=\vec{u}+(-\vec{v})

Ak máme súradnice vektorov: \vec{u}=(u_1;u_2), \vec{v}=(v_1;v_2), potom rozdiel vektorov \vec{u} a \vec{v} je vektor \vec{w}, ktorý má súradnice: \vec{w}=(u_1-v_1; u_2-v_2).

Násobok vektora

Vektor \vec{u} môžeme vynásobiť ľubovoľným reálnym číslom k. Dostaneme vektor \vec{v}, ktorému hovoríme násobok vektora. Píšeme \vec{v}=k \cdot \vec{u}

• Ak k > 0, vektory \vec{u} a k \cdot \vec{u} majú rovnaký smer
• Ak k < 0, vektory \vec{u} a k \cdot \vec{u} majú opačný smer
• Ak k = 0, vektor k \cdot \vec{u} je nulový vektor

Ak máme súradnice vektora \vec{u}=(u_1;u_2), potom jeho násobok \vec{v}=k \cdot \vec{u} má súradnice \vec{v}=(k \cdot u_1; k\cdot u_2).

Skalárny súčin vektorov \vec{u} a \vec{v} označujeme \vec{u}\cdot \vec{v}. Pre vektory \vec{u}, \vec{v} s veľkosťami \left| \vec{u} \right| a \left| \vec{v} \right|, ktoré spolu zvierajú uhol \alpha, je skalárny súčin definovaný nasledovne:

\vec{u}\cdot \vec{v}=\left| \vec{u} \right|\cdot\left| \vec{v} \right|\cdot \cos \alpha

Vlastnosti skalárneho súčinu

• Výsledkom skalárneho súčinu dvoch vektorov je číslo (teda skalár).
• Skalárny súčin nulového vektora s ľubovoľným iným vektorom je vždy rovný 0.
• Skalárny súčin vektorov, ktoré sú na seba kolmé, je tiež rovný nule.

Výpočet pomocí súradníc

Ak máme súradnice vektorov \vec{u}=(u_1;u_2), \vec{v}=(v_1;v_2), potom hodnota ich skalárneho súčinu je:

u_1\cdot v_1+u_2 \cdot v_2

Určenie uhla zvieraného dvomi vektormi

S využitím vzťahu pre skalárny súčin môžeme určiť uhol vektorov: \cos \alpha=\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\left| \vec{u} \right|\cdot\left| \vec{v} \right|}

Priamka je jednoznačne určená bodom, ktorý na nej leží, a smerovým vektorom, čo si môžete prakticky vyskúšať v kapitolke Určenie priamky.

V rovine aj v priestore sa dá zapísať priamku ako množinu bodov, ktoré spĺňajú parametrickú rovnicu. V rovine dokážeme pre danú priamku napísať tiež všeobecnú rovnicu (ale v priestore nie).

Ak máme priamku popísanú rovnicou, dokážeme určiť vzájomnú polohu dvoch priamok alebo vzájomnú polohu priamky a bodu výpočtom.

Priamka je jednoznačne určená dvomi bodmi, na obrázku je priamka p určená bodmi A a B. Každý vektor, ktorý je rovnobežný s vektorom \overrightarrow{AB} sa nazýva smerový vektor priamky p. Ktorýkoľvek z vektorov na obrázku je smerový vektor priamky p. K tomu, aby sme určili konkrétnu priamku ešte potrebujeme poznať jeden bod na priamke (priamka p na obrázku je určená bodom A a ktorýmkoľvek z vektorov \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}).

Parametrické rovnice priamky

Priamka určená bodom A=[a_1;a_2] a vektorom \vec{u}=(u_1;u_2) má parametrické rovnice tvaru: \begin{array}{rrl}x&=&a_1+t\cdot u_1\\y&=&a_2+t\cdot u_2\\&&t\in\mathbb{R}\end{array} Skrátene môžeme vyjadriť p:X=A+t\vec{u}, číslo t nazývame parameter.

Všeobecná rovnica priamky

Každý vektor kolmý k priamke p sa nazýva normálový vektor priamky p. Všeobecná rovnica priamky je rovnica v tvare: ax+by+c=0, kde konštanty a a b sú súradnice normálového vektora a c reálne číslo.

Bod a priamka

Bod M=[m_1;m_2] leží na priamke, ak jeho súradnice vyhovujú rovnici priamky. Ak je priamka daná všeobecnou rovnicou ax+by+c=0, pre súradnice bodu, ktorý leží na priamke platí: a\cdot m_1+b\cdot m_2+c=0. Ak je priamka daná parametricky, po dosiahnutí súradníc bodu vychádza z oboch rovníc rovnaká hodnota parametra t. (Viac o vzájomnej polohe bodu a priamky.)

Dve priamky

Priamky rovnobežné majú rovnaký smer, teda ich smerové vektory sú kolineárne. Normálové vektory dvoch rovnobežných priamok sú tiež kolineárne. V špeciálnom prípade môžu byť priamky totožné.

Priamky rôznobežné majú jeden spoločný bod, tento bod musí spĺňať rovnice oboch priamok. Ich smerové vektory nie sú kolineárne, normálové vektory tiež nie sú kolineárne.

Viac o vzájomnej polohe dvoch priamok.

Priamka v priestore

Priamku v priestore nie je možné vyjadriť všeobecnou rovnicou. Parametrickú rovnicu priamky v priestore určíme podobne ako v rovine na základe znalosti súradníc smerového vektora a jedného bodu na priamke.

Priamka je väčšinou určená bodom a vektorom, prípadne dvomi bodmi.

Priamka p na obrázku je určená napríklad:

• bodom A=[1;2], ktorý na nej leží a smerovým vektorom \vec{u}=(1;-2)
• alebo dvomi rôznymi bodmi [1;2] a [2;0], ktoré na nej ležia

Priamka určená bodom A=[a_1;a_2] a smerovým vektorom \vec{u}=(u_1;u_2) má parametrické rovnice tvaru:

\begin{array}{rrl}x&=&a_1+t\cdot u_1\\y&=&a_2+t\cdot u_2\\&&t\in\mathbb{R}\end{array}

Skrátene môžeme vyjadriť p:X=A+t\vec{u}, číslo t nazývame parameter. Ak poznáme dva body A, B ležiace na priamke, smerový vektor je napríklad \vec{u}=\overrightarrow{AB}.

Parametrické rovnice priamky p určenej bodmi A=[1;2] a B=[3;1]

• priamka p je určená bodom A a smerovým vektorom \vec{u}=\overrightarrow{AB}=B-A=(2;-1)
• parametrické rovnice priamky p: \begin{array}{rrl}x&=&1+2t\\y&=&2-t\\&&t\in\mathbb{R}\end{array}

Všeobecná rovnica priamky v rovine má tvar: ax+by+c=0, kde konštanty a a b sú súradnice normálového vektora a c reálne číslo. Normálový vektor \vec{n}=(a;b) je vektor kolmý na danú priamku, teda aj kolmý na smerový vektor priamky.

Každú priamku p, ktorá nie je rovnobežná s osou y môžeme vyjadriť v tvare: y=kx+q, kde k,q\in\mathbb{R}.

Tento tvar sa nazýva smernicový tvar rovnice priamky.

Konštanta k sa nazýva smernica a jej hodnota je tangens uhla, ktorý zviera priamka p s kladnou časťou osi x, teda: k=\tan \varphi.

Konštanta q určuje priesečník priamky p s osou y, súradnice priesečníka sú: P=[0;q]. Pre priamku, ktorá prechádza počiatkom je q=0, teda smernicový tvar jej rovnice je: y=kx.

Smernica priamky, ktorá má smerový vektor \vec{u}=(u_1;u_2) je podiel súradnic smerového vektora:

k=\tan \varphi=\frac{u_2}{u_1}

Dve priamky

Dve rovnobežné priamky zvierajú s kladnou časťou osi x rovnaký uhol, majú teda rovnakú smernicu.

Pre dve na seba kolmé priamky platí:

• priamka p má smerový vektor \vec{u}=(u_1;u_2) a teda smernicu: k=\frac{u_2}{u_1}
• každá priamka na ňu kolmá má smerový vektor (-u_2;u_1) a teda smernicu: \frac{-u_2}{u_1}=-\frac{1}{k}

Vzájomnú polohu dvoch priamok môžeme ľahko určiť, ak poznáme súradnice ich smerových, prípadne normálových vektorov. Rovnobežne priamky majú rovnaký smer, teda ich smerové vektory sú kolineárne. Normálové vektory dvoch rovnobežných priamok sú tiež kolineárne. V špeciálnom prípade môžu byť priamky totožné. Rôznobežné priamky majú jeden spoločný bod, tento bod musí spĺňať rovnice oboch priamok. Ich smerové vektory nie sú kolineárne, normálové vektory tiež nie sú kolineárne.

Rovnobežky zadané všeobecnými rovnicami

Určite vzájomnú polohu dvoch priamok daných všeobecnými rovnicami p: 2x+y-1=0 a q:4x+2y+3=0.

• normálový vektor priamky p:\hspace{0.25cm}\vec{n}=(2;1)
• normálový vektor priamky q:\hspace{0.25cm}\vec{m}=(4;2)
• Priamky p a q sú rovnobežné, pretože ich normálové vektory sú kolineárne.
• Overíme, že priamky nie sú totožné. Stačí určiť, či bod, ktorý leží na jednej priamke neleží na priamke druhej.
• Na priamke p leží napríklad bod A=[0;1].
• Overíme, či A leží na p dosadením súradníc bodu A do rovnice priamky p: 4\cdot0+2\cdot1+3\neq 0
• A nespĺňa rovnicu, takže neleží na priamke q \Rightarrow priamky nie sú totožné

Súvislosť počtu spoločných bodov priamok s počtom riešení sústavy rovníc

Na určenie spoločného bodu (bodov) dvoch priamok, vždy riešime sústavu rovníc. Táto sústava môže mať:

• jedno riešenie – priamky sú rôznobežné
• žiadne riešenie – priamky sú rovnobežné
• nekonečne veľa riešení – priamky sú totožné

Bod leží na priamke, ak jeho súradnice vyhovujú rovnici priamky.

• Ak je priamka daná všeobecnou rovnicou, po dosadení súradníc bodu, ktorý na priamke leží do rovnice priamky nastane rovnosť.
• Ak je priamka daná parametricky, po dosadení súradníc bodu vychádza z oboch rovníc rovnaká hodnota parametra t.

V polohových úlohách riešime analyticky vzájomnú polohu geometrických útvarov v rovine. Najčastejšie ide o vzájomnú polohu dvoch priamok alebo o vzájomnú polohu priamky a bodu.

V metrických úlohách v analytickej geometrii býva úlohou vypočítať konkrétnu číselnú hodnotu veličín ako je:

• vzdialenosť dvoch objektov, napr. vzdialenosť bodu od priamky,
• odchýlka dvoch priamok v rovine.

Vzdialenosť bodu od priamky je dĺžka najkratšej úsečky určenej bodom M a bodom ležiacim na priamke p. Ako je vidieť z obrázka, táto najkratšia úsečka leží na kolmici z bodu M k priamke p. Vzdialenosť bodu od priamky teda môžeme určiť takto:

1. nájdeme priamku k, ktorá prechádza bodom M a je kolmá na priamku p
2. určíme priesečník P priamky k s priamkou p
3. vzdialenosť bodu M od priamky p je dĺžka úsečky PM

Vzorec pre vzdialenosť bodu od priamky danej všeobecnou rovnicou

Vzdialenosť bodu M=[m_1;m_2] od priamky p danej všeobecnou rovnicou ax+by+c=0 je daná vzorcom: d=\frac{\left| am_1+bm_2+c \right|}{\sqrt{a^2+b^2}}

Vzdialenosť dvoch rovnobežiek

Ak vieme určiť vzdialenosť bodu od priamky, ľahko určíme tiež vzdialenosť dvoch rovnobežiek. Stačí si uvedomiť, že všetky body ležiace na jednej priamke majú od druhej priamky rovnakú vzdialenosť. Preto je vzdialenosť rovnobežiek rovnaká ako vzdialenosť ľubovoľného bodu na jednej priamke od priamky druhej.

Odchýlka rovnobežiek je 0^\circ. Odchýlka rôznobežiek je veľkosť ostrého alebo pravého uhla, ktorý priamky zvierajú.

Odchýlku rôznobežiek p a q môžeme vypočítať na základe znalosti smerových alebo normálových vektorov priamok. Vzorec na výpočet uhlov rôznobežiek je podobný ako vzorec na výpočet uhla vektorov.

Odchýlka rôznobežiek je uhol \alpha, pre ktorý platí: \cos \alpha =\frac{\left| \vec{u} \cdot \vec{v} \right|}{\left| \vec{u} \right|\cdot \left| \vec{v} \right|} Vektory \vec{u} a \vec{v} uvedené vo vzorci sú smerové vektory \overrightarrow{s_p} a \overrightarrow{s_q} alebo normálové vektory \overrightarrow{n_p} a \overrightarrow{n_q} priamok p a q.

Pre dve na seba kolmé priamky platí, že ich odchýlka \alpha=90^\circ a teda \cos\alpha=0.

Rovina je určená tromi bodmi, ktoré neležia na jednej priamke. Z predchádzajúcich kapitol už vieme, že dvojica bodov určuje priamku, prípadne vektor, preto je veľa ďalších spôsobov, ako určiť rovinu:

• bodom a priamkou
• dvomi rôznobežnými priamkami
• dvomi rovnobežnými priamkami
• bodom a dvomi vektormi

V priestore je možné zapísať rovinu ako množinu bodov, ktoré spĺňajú parametrickú rovnicu alebo všeobecnú rovnicu.

Ak máme rovinu popísanú rovnicou, dokážeme určiť vzájomnú polohu roviny a bodu výpočtom.

Priamka je jednoznačne určená bodom a dvomi vektormi, ktoré nie sú kolineárne. Na obrázku je rovina \alpha určená bodom A a vektormi \vec{u}, \vec{v}. Každý vektor, ktorý je kolmý na rovinu \alpha sa nazýva normálový vektor roviny \alpha. Na obrázku je normálový vektor \vec{n}.

Parametrické rovnice roviny

Rovina určená bodom A=[a_1;a_2;a_3] a vektormi \vec{u}=(u_1;u_2;u_3) a \vec{v}=(v_1;v_2;v_3) má parametrické rovnice tvaru:

\begin{array}{rrl}x&=&a_1+t\cdot u_1+s\cdot v_1\\y&=&a_2+t\cdot u_2+s\cdot v_2\\z&=&a_3+t\cdot u_3+s\cdot v_3\\&&t,s\in\mathbb{R}\end{array}

Skrátene môžeme vyjadriť \alpha:X=A+t\vec{u}+s\vec{v}, kde t, s nazývame parametrami.

Všeobecná rovnica roviny

Všeobecná rovnica roviny je v tvare ax+by+cz+d=0, kde konštanty a, b, c sú súradnice normálového vektora a d reálne číslo.

Bod a rovina

Bod M=[m_1;m_2;m_3] leží v rovine, ak jeho súradnice vyhovujú rovnici roviny.

• Ak je rovina daná všeobecnou rovnicou ax+by+cz+d=0, pre súradnice bodu, ktorý leží na priamke platí: a\cdot m_1+b\cdot m_2+c\cdot m_3+d=0
• Ak je rovina daná parametricky, po dosadení súradníc bodu do parametrických rovníc dostaneme sústavu troch rovníc pre dve neznáme t, s, ktorá má presne jedno riešenie (dvojicu reálnych čísel).

Dve rovnobežné roviny

Normálové vektory dvoch rovnobežných rovín \alpha: a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0 a \beta: a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0 sú kolineárne, teda súradnice jedného vektora sú k-násobok súradníc druhého vektora. Pre konštanty vo všeobecných rovniciach musí platiť:

\begin{array}{rll}a_2&=&k\cdot a_1\\ b_2&=&k\cdot b_1\\c_2&=&k\cdot c_1\\&&k\in\mathbb{R}\end{array}

Ak by platilo i d_2=k\cdot d_1 roviny sú totožné.

Na určenie parametrických rovníc roviny potrebujeme poznať súradnice jedného bodu a dvoch nekolineárnych vektorov v rovine \alpha. Rovina určená bodom A=[a_1;a_2;a_3] a vektormi \vec{u}=(u_1;u_2;u_3) a \vec{v}=(v_1;v_2;v_3) má parametrické rovnice tvaru:

\begin{array}{rrl}x&=&a_1+t\cdot u_1+s\cdot v_1\\y&=&a_2+t\cdot u_2+s\cdot v_2\\z&=&a_3+t\cdot u_3+s\cdot v_3\\&&t,s\in\mathbb{R}\end{array}

Skrátene môžeme vyjadriť \alpha:X=A+t\vec{u}+s\vec{v}, kde t,s \in \mathbb{R} sú parametre.

Všeobecná rovnica roviny má tvar ax+by+cz+d=0, kde konštanty a, b, c sú súradnice normálového vektora a d reálne číslo. Normálový vektor \vec{n}=(a;b;c) je vektor kolmý na danú rovinu.

Bod leží v rovine, ak jeho súradnice vyhovujú rovnici roviny. Ak je rovina daná všeobecnou rovnicou, po dosiahnutí súradnic bodu do rovnice roviny nastane rovnosť. Ak je rovina daná parametricky, po dosiahnutí súradníc bodu dostaneme sústavu troch rovníc pre dve neznáme, ktorá má presne jedno riešenie.

Ako už názov napovedá, majú kužeľosečky spoločný pôvod. Vzniknú ako rez rotačnej kužeľovej plochy rovinou.

• Kružnica vznikne rezom roviny kolmej na os kužeľovej plochy.
• Ak rovinu rezu trochu nakloníme, vznikne elipsa.

• Ak rovinu rezu nakloníme toľko, že bude rovnobežná s niektorou z priamok na kužeľovej ploche, vznikne parabola.
• Pri ďalšom nakláňaní už rovina rezu pretne obe časti kužeľovej plochy a vnikne dvojdielna hyperbola.

Kužeľosečky môžeme tiež chápať ako množiny bodov danej vlastnosti. V analytickej geometrii často zapisujeme tieto množiny pomocou rovníc.

Kružnica je množina všetkých bodov v rovine, ktoré majú od daného pevného bodu S rovnakú vzdialenosť r. Bod S nazývame stred kružnice, hodnotu r nazveme polomer kružnice.

Stredová rovnica kružnice

Stredová rovnica kružnice so stredom S[m;n] a polomerom r je v tvare: (x-m)^2 +(y-n)^2=r^2

Všeobecná rovnica kružnice

Podobne ako existuje niekoľko tvarov rovníc priamky, môžeme aj rovnicu kružnice zapísať rôznymi spôsobmi. Všeobecná rovnica kružnice je v tvare: x^2 +y^2-2mx-2ny+p=1.

Každá rovnica v tomto tvare ale nemusí ešte byť všeobecnou rovnicou kružnice. Pre všeobecnú rovnicu kružnice musí platiť, že výraz m^2+n^2-p je kladný. Praktické overenie, či ide o kružnicu, ale väčšinou vykonávame prevedením na stredovú rovnicu kružnice.

Kružnica a priamka

• priamka s pretína kružnicu v dvoch bodoch – sečnica kružnice
• priamka t pretína kružnicu v jednom bode – dotyčnica kružnice
• priamka v kružnici nepretína – vonkajšia priamka kružnice

Rovnice dotyčnice kružnice v bode, ktorý leží na kružnici

Polára kružnice

Z bodu R mimo kružnicu môžeme zostrojiť dve dotyčnice k danej kružnici. Priamka určená bodmi dotyku dotyčníc sa nazýva polára kružnice vzhľadom k bodu R.

Rovnica poláry kružnice (x-m)^2 +(y-n)^2=r^2 vzhľadom k bodu R[r_1;r_2] je (r_1-m)(x-m) +(r_2-n)(y-n)=r^2.

Elipsa je množina všetkých bodov v rovine, ktoré majú od dvoch rôznych bodov (ohnísk) stály súčet vzdialeností 2a, ktorý je väčší než vzdialenosť ohnísk.

Stredová rovnica elipsy

Tvar stredovej rovnice elipsy so stredom S[m;n] s veľkosťami hlavnej a vedľajšej polosi a a b závisí od polohy hlavnej osi:

• hlavná os je rovnobežná s osou x, rovnica je v tvare: \frac{(x-m)^2}{a^2} +\frac{(y-n)^2}{b^2}=1

• hlavná os je rovnobežná s osou y, rovnica je v tvare: \frac{(x-m)^2}{b^2} +\frac{(y-n)^2}{a^2}=1

Všeobecná rovnica elipsy

Podobne ako existuje niekoľko rovníc priamky, môžeme aj rovnicu elipsy zapísať iným spôsobom. Všeobecná rovnica elipsy je v tvare:

Ax^2 +By^2+Cx+Dy+E=1, A\ne B, A\cdot B>0.

Každá rovnica v tomto tvare ale nemusí byť všeobecnou rovnicou elipsy. Praktické overenie, či ide o elipsu vykonávame prevedením na stredovú rovnicu.

Elipsa a priamka

• priamka s pretína elipsu v dvoch bodoch – sečnica elipsy
• priamka t pretína elipsu v jednom bode – dotyčnica elipsy
• priamka v elipsu nepretína – vonkajšia priamka elipsy

Rovnice dotyčnice elipsy v bode, ktorý leží na elipse

Elipsa daná rovnicou \frac{(x-m)^2}{a^2} +\frac{(y-n)^2}{b^2}=1 má v bode T[x_0;y_0] dotyčnicu určenú rovnicou:

\frac{(x-m)(x_0-m)}{a^2} +\frac{(y-n)(y_0-n)}{b^2}=1

Podobne môžeme zapísať aj rovnicu dotyčnice elipsy, ktorá má hlavnú os rovnobežnú s osou y.

Parabola je množina všetkých bodov roviny, ktoré majú rovnakú vzdialenosť od daného bodu (ohnisko) a danej priamky (riadiaca priamka).

Vrcholová rovnica paraboly

Tvar rovnice závisí od umiestnenia osi:

• os paraboly rovnobežná s osou y, vrcholová rovnice má potom tvar: (x-m)^2=\pm 2p(y-n)
• os paraboly rovnobežná s osou x, vrcholová rovnica má potom tvar: (y-n)^2=\pm 2p(x-m)

V rovnici paraboly označujú m, n súradnice vrcholu paraboly, teda vrchol je bod V=[m;n]. Ďalej p je parameter paraboly = vzdialenosť ohniska od riadiacej priamky. Znamienko pred parametrom závisí od polohy na vrchole vzhľadom k bodom paraboly.

Príklad paraboly s osou rovnobežnou s osou y

• body paraboly majú y súradnicu aspoň tak veľkú ako vrchol (teda n)
• vrcholová rovnica: (x-m)^2= + 2p(y-n)

Príklad paraboly s osou rovnobežnou s osou y, druhá orientácia

• body paraboly majú y súradnicu najviac tak veľkú ako vrchol (teda n)
• vrcholová rovnica: (x-m)^2= - 2p(y-n)

Príklad paraboly s osou rovnobežnou s osou x

• body paraboly majú x súradnicu aspoň tak veľkú ako vrchol (teda m)
• vrcholová rovnica: (y-n)^2= + 2p(x-m)

Príklad paraboly s osou rovnobežnou s osou x, druhá orientácia

• body paraboly majú x súradnicu najviac tak veľkú ako vrchol (teda m)
• vrcholová rovnica: (y-n)^2= - 2p(x-m)

Všeobecná rovnica paraboly

Tvar rovnice závisí od umiestnenia osi:

• os paraboly je rovnobežná s osou y: y=ax^2+bx+c
• os paraboly je rovnobežná s osou x: x=ay^2+bx+c

Príklad paraboly s osou rovnobežnou s osou y, všeobecná rovnica

• všeobecná rovnica: y=ax^2+bx+c
• kde a>0

Príklad paraboly s osou rovnobežnou s osou y, druhá orientácia, všeobecná rovnica

• všeobecná rovnica: y=ax^2+bx+c
• kde a < 0

Príklad paraboly s osou rovnobežnou s osou x, všeobecná rovnica

• všeobecná rovnica: x=ay^2+bx+c
• kde a > 0

Príklad paraboly s osou rovnobežnou s osou x, druhá orientácia, všeobecná rovnica

• všeobecná rovnica: x=ay^2+bx+c
• kde a < 0

Priamka a parabola

• priamka b pretína parabolu v dvoch bodoch – sečnica paraboly
• priamka a sa dotýka paraboly v jednom bode – dotyčnica paraboly
• priamka c nepretína parabolu

Rovnica dotyčnice paraboly v bode, ktorý leží na parabole

• parabola daná rovnicou (x-m)^2=\pm 2p(y-n) má v bode T=[x_0;y_0] dotyčnicu: (x-m)(x-x_0)=\pm p(y-n)\pm p(y-y_0)
• parabola daná rovnicou (y-n)^2=\pm 2p(x-m) má v bode T=[x_0;y_0] dotyčnicu: (y-n)(y-y_0)=\pm p(x-m)\pm p(x-x_0)

Hyperbola je množina všetkých bodov v rovine, ktoré majú od dvoch rôznych bodov (ohnísk) stály rozdiel vzdialeností 2a, ktorý je menší než vzdialenosť ohnísk. Hyperbola sa skladá z dvoch častí – vetiev hyperboly. Tieto dve vetvy sa blížia k priamkam, ktoré nazývame asymptoty.

Stredová rovnica hyperboly

Tvar stredovej rovnice hyperboly so stredom S[m;n] s veľkosťami hlavnej a vedľajšej polosi a,b závisí od polohy hlavnej osi.

Stredová rovnica hyperboly s hlavnou osou rovnobežnou s osou x

Ak je hlavná os rovnobežná s osou x, rovnica je v tvare \frac{(x-m)^2}{a^2} -\frac{(y-n)^2}{b^2}=1

Stredová rovnica hyperboly s hlavnou osou rovnobežnou s osou y

Ak je hlavná os rovnobežná s osou y, rovnica je v tvare -\frac{(x-m)^2}{b^2} +\frac{(y-n)^2}{a^2}=1

Oproti elipse, nemusí byť v prípade hyperboly vždy hlavná polos a dlhšia než vedľajšia polos b. Pre rovnoosú hyperbolu dokonca platí a=b.

Rovnice asymptot

Už vieme, že asymptoty sú priamky, ku ktorým sa hyperbola blíži. Pomôžu pri vykreslení hyperboly. Rovnica asymptot závisí od tvaru stredovej rovnice hyperboly.

Pre hyperbolu danú rovnicou v tvare \frac{(x-m)^2}{a^2} -\frac{(y-n)^2}{b^2}=1 sú rovnice asymptot:

y=\pm\frac{b}{a}(x-m)+n

Pre hyperbolu danú rovnicou v tvare -\frac{(x-m)^2}{b^2} +\frac{(y-n)^2}{a^2}=1 sú rovnice asymptot:

y=\pm\frac{a}{b}(x-m)+n

Ako načrtnúť hyperbolu?

• Najskôr si vyznačíme stred, hlavné a vedľajšie vrcholy.
• Potom zostrojíme charakteristický obdĺžnik hyperboly. To je obdĺžnik, ktorý má strany rovnobežné s osami a vrcholmi hyperboly sú stredy jeho strán. Dĺžky jeho strán sú teda 2a a 2b.
• Asymptoty sú uhlopriečky charakteristického obdĺžnika.

Všeobecná rovnica hyperboly

Podobne ako existuje niekoľko rovníc elipsy, môžeme aj rovnicu hyperboly zapísať rôznymi spôsobmi. Všeobecná rovnica hyperboly je v tvare: Ax^2 +By^2+Cx+Dy+E=1, A\cdot B \lt 0. Podmienka A\cdot B \lt 0 zaručuje, že konštanty A, B majú opačné znamienka. Každá rovnica v tomto tvare ale nemusí byť všeobecnou rovnicou hyperboly. Praktické overenie, či ide o hyperbolu vykonávame prevedením na stredovú rovnicu.

Hyperbola a priamka

• priamka s pretína hyperbolu v dvoch bodoch – sečnica hyperboly
• priamka t pretína hyperbolu v jednom bode – dotyčnica hyperboly
• priamka v hyperbolu nepretína – vonkajšia priamka hyperboly

Špeciálnou polohou sečnice hyperboly je priamka, ktorá je rovnobežná s asymptotou. Taká sečnica potom pretína hyperbolu v jednom bode.

Rovnica dotyčnice hyperboly v bode, ktorý leží na hyperbole

Hyperbola daná rovnicou \frac{(x-m)^2}{a^2} -\frac{(y-n)^2}{b^2}=1 má v bode T[x_0;y_0] dotyčnicu danú rovnicou:

\frac{(x-m)(x_0-m)}{a^2} -\frac{(y-n)(y_0-n)}{b^2}=1.

Podobne môžeme zapísať aj rovnicu dotyčnice hyperboly, ktorá má hlavnú os rovnobežnú s osou y.